柯西中值定理的兩種新證法

牛麗娜，古麗米熱·爾肯，熱比古麗·吐尼亞孜

（新疆理工學(xué)院，新疆 阿克蘇 843100）

眾所周知，微分中值定理包含了羅爾中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，是一元微分學(xué)中十分重要的結(jié)果.一般微積分（高等數(shù)學(xué)）教材[1-5]中對微分中值定理的證明都是采用以下步驟進(jìn)行的:

在“函數(shù)f（x）和g（x）在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)”的條件下,應(yīng)用費馬引理證明羅爾定理→通過分析拉格朗日中值定理的幾何意義構(gòu)造滿足羅爾定理的輔助函數(shù)來證明拉格朗日中值定理→通過分析柯西中值定理的結(jié)論構(gòu)造滿足羅爾定理的輔助函數(shù)來證明柯西中值定理.

長期以來,已經(jīng)有許多學(xué)者對如何通過構(gòu)造不同輔助函數(shù)來證明柯西中值定理提供了多種方法[6-13],但大多仍然是從分析結(jié)論出發(fā)來構(gòu)造輔助函數(shù).所以自然的問題是:

能否不從分析柯西中值定理的結(jié)論出發(fā)構(gòu)造輔助函數(shù),而是在給定的條件下使用已知的結(jié)論(比如拉格朗日中值定理),或者通過其它已知的知識來比較自然地導(dǎo)出滿足羅爾定理條件的函數(shù),從而實現(xiàn)對柯西中值定理的證明？

針對以上問題,本文的目的是采用兩種不同的比較自然直接的方法證明以下結(jié)論：

定理如果函數(shù)f（x），g（x）在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo),那么至少存在一點ξ∈（a,b），使得.

此外,我們采用的兩種證明方法提供了分析和證明柯西中值定理的比較自然的思路，使學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時更好地了解兩條平面曲線在給定區(qū)間上導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

二、定理的兩種證明

滿足F（a）=F（b）.由定理的條件可知函數(shù)F（x）滿足羅爾中值定理條件，所以至少存在一點ξ∈（a,b）使得F'（ξ）=0，即于是定理得證.

證法2注意到在定理的條件下我們可使用的只有函數(shù)f（x）和g（x）在[a,b]兩個端點處的函數(shù)值f（a）,f（b）,g（a）,g（b），而點P=（f（a）,f（b））,Q=（g（a）,g（b））代表平面上兩個向量，這兩個向量是否共線，或者等價，對應(yīng)坐標(biāo)是否成比例，可由二階行列式

是否為零來確定.雖然這兩個向量是否共線與我們要證明的結(jié)論沒有直接關(guān)系,但上面等式右端的表達(dá)式使得我們能夠分析推導(dǎo)函數(shù)f（x）和g（x）在[a,b]兩個端點的函數(shù)值之間的關(guān)系:

這表明函數(shù)F（x）=（f（a）-f（b））g（x）+（g（b）-g（a））f（x）滿足F（a）=F（b）.由定理的條件可知函數(shù)F（x）滿足羅爾中值定理條件，所以至少存在一點ξ∈（a,b）使得F''（ξ）=0，即（f（b）-f（a））g'（ξ）=（g（b）-g（a））f'（ξ），于是定理得證.

[注]如同證法2 所表明的那樣，在定理給定的條件下，借助選定的P=（f（a），f（b））和Q=（g（a），g（b））兩點代表的平面上兩個向量，使用判別兩個向量是否共線的二階行列式的展開式來分析推導(dǎo)出兩個函數(shù)在區(qū)間端點處函數(shù)值之間的關(guān)系,從而導(dǎo)出滿足羅爾中值定理條件的函數(shù)F（x），與行列式是否為零沒有直接關(guān)系.

三、定理的兩個推論

推論1（拉格朗日中值定理）設(shè)函數(shù)f（x）在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點ξ∈（a,b），使得

證明在定理1 中，令g（x）=x 即可得該結(jié)論.

推論2（柯西中值定理）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo).如果在（a,b）上g'（x）≠0，那么至少存在一點ξ∈（a,b），使得

證明這由定理結(jié)論立即可得.