基于事件觸發的AUVs 固定時間編隊控制

王洪斌 高 靜 蘇 博 王躍靈

隨著海洋科學技術的進步,自主水下航行器(Autonomous underwater vehicle,AUV)在各種水下作業得到廣泛應用,如在海底探測、地形測繪和水下施工等[1-5].在復雜作業環境下,需要多AUVs協同作業,提升作業效率,實現性能和指標,對一致性和編隊控制則提出更高的要求.其中多AUVs 編隊控制因具有作業范圍廣、效率高、容錯性好等特點成為AUVs 系統重點研究方向.常用編隊協調控制方法有領航者-跟隨者法[6-8]、虛擬結構法[9]和基于行為控制法[10]等,其中領航者-跟隨者法因其控制簡單、編隊隊形結構實現難度低等優點,備受科研人員青睞.此方法是在多AUVs 編隊系統中指定其中某個AUV 為領航者,其他AUVs 則為跟隨者,領航者跟蹤預先設定的參考軌跡,每個跟隨者依據和領航者之間的位置誤差和速度誤差設計控制律,以一定的間隔距離與角度跟蹤領航者,從而實現期望的編隊目標.

多AUVs 編隊控制是一項具有挑戰性的工作.一方面,因其系統受限于有限的通信資源,傳統連續時間通信會導致通信資源和能量的浪費.為了有效的利用通信資源,事件觸發通訊機制[11-12]運用而生.事件觸發控制是指只有當單個智能體的某一個狀態變化量超過給定閾值時,該智能體被觸發并與鄰居進行信息傳輸,此方法能減少系統能耗和控制器的更新次數.文獻[11]針對具有外部干擾的線性多智能體系統,提出一種分布式事件觸發一致性協議,有效地減輕整個通信網絡的通信負擔.文獻[12]討論了高階多智能體系統在外部擾動作用下的時變編隊問題,提出一種事件觸發積分滑模控制策略,節約了能耗,且避免觸發時間序列的Zeno 行為.文獻[13]針對一類非嚴格反饋的多智能體系統一致性跟蹤問題,在考慮全狀態約束和指定性能的基礎上提出了一種事件觸發自適應控制算法.

另一方面,編隊的收斂速度是多AUVs 編隊控制中的一個重要性能指標.理想的編隊控制應在足夠短的有限時間內完成所需編隊.由于多數AUVs編隊控制是漸近穩定的,基于收斂率的問題,有限時間[14-16]編隊控制的研究提高了系統的收斂速度.文獻[14]研究了基于有限時間擴張狀態觀測器的水面船舶分布式編隊控制問題.文獻[15]考慮具有視線范圍和角度約束的自主水面船舶編隊問題,提出了一種容錯有限時間領航-跟隨編隊控制方案.文獻[16]針對存在模型不確定性和環境擾動的欠驅動無人水面船舶編隊問題,提出一種自適應有限時間擾動觀測器,在有限時間內達到既定的編隊目標.基于有限時間的編隊控制提高了編隊收斂速度,但其收斂時間取決于系統的初始狀態,而初始狀態在實際工程中隨機變化,造成編隊的收斂時間的不確定性.固定時間穩定理論[17-21]不僅可以提高系統收斂速度,而且其編隊系統的收斂時間與初始狀態無關,僅取決于控制器的設計參數,所以基于固定時間理論的控制器更符合實際系統.

本文同時考慮多AUVs 系統受限于有限的通信資源以及編隊收斂速度慢等問題,提出一種基于事件觸發的AUVs 固定時間編隊控制方法.將分布式事件觸發機制引入多AUVs 編隊控制研究中,并且基于固定時間穩定構造出觸發函數,設計出基于事件觸發的編隊控制器,保證系統全局固定時間有界性收斂,且收斂時間不受初始狀態的影響,既加快系統的收斂速度,又通過降低控制器的觸發頻次和通信次數,提高對有限通信資源利用率,節約系統通信能量,同時證明無Zeno 行為;此外,在反步法中引入動態面技術避免了 “微分爆炸”問題,降低了控制器的復雜性.

1 問題描述

1.1 系統模型與假設

由2 個網絡結構組成的AUV 隊列,如圖1 所示.每個跟隨AUV 都配備一個傳感器來接收相對位置和姿態信息.

圖1 領航-跟隨多AUVs 編隊示意圖Fig.1 The diagram of leader-follower formation of AUVs

假設所有AUV 都有固定的姿態,則第i個AUV的水平面運動學及動力學模型[22]為:

控制目標: 在假設1 下,對于模型(1),基于反步動態面控制算法、固定時間控制理論和分布式事件觸發通訊機制為跟隨AUV 設計編隊控制律,使跟隨AUV 在安全距離內跟蹤上領航AUV 的軌跡,完成編隊控制目標,同時保證所有閉環信號達到全局固定時間穩定,即:

1.2 相關引理

引理1[21].考慮如下系統x∈Rn:

式中,γ1、γ2、α、β均是正常數,0＜α ＜1,β＞1.故系統在平衡點固定時間穩定的,其收斂時間T有界且不依賴于系統的初始狀態,T滿足不等式:

則系統是全局固定時間穩定的,且收斂時間T滿足不等式(10).

3)若任意的x(t)滿足不等式:

則該系統是實際固定時間穩定的,且存在正常數θ,0＜θ ＜1,使得收斂時間T滿足:

2 主要結果

本節基于反步動態面控制算法,將分布式事件觸發控制策略引入到多AUVs 編隊控制策略中,設計編隊控制器,同時選擇合適的觸發函數,保證系統達到全局固定時間穩定,實現期望編隊控制的目標,其控制框圖如圖2 所示.

圖2 編隊跟蹤控制示意圖Fig.2 The diagram of formation control

2.1 事件觸發編隊控制器的設計

考慮到多AUVs 系統受限于有限帶寬和有限通信資源,基于反步動態面算法思想,構造分布式事件觸發機制,對于每個跟隨AUV 給出基于狀態信息的觸發條件,當狀態誤差滿足觸發條件時才被觸發,有效地減少控制器更新頻率,降低通信資源的浪費.

用t0,t1,···來表示事件觸發時間序列,其中tk表示跟隨AUV 的觸發時間.控制器設計如下:

將事件觸發機制定義為:

式中,fi(t) 為觸發函數.當tk到達時,fi(t)≥0,事件觸發控制器(17)被觸發更新.在兩次觸發時刻之間,控制器保持不變.

將測量誤差定義為:

在領航-跟隨編隊控制策略、反步動態面控制算法和李雅普諾夫理論的基礎上,利用固定時間理論,基于事件觸發的編隊控制器的設計過程分2 步.

步驟1.定義位置跟蹤誤差為:

為了驗證z1(t)的收斂性,構造如下正定的李雅普諾夫函數:

結合式(25)～ (26)、假設1 和Young's 不等式,對其求導,可得:

進一步可得:

由引理1～ 2,可得系統z1(t)是固定時間穩定的.

步驟2.定義速度跟蹤誤差:

由式(33)和定義1 對V2(t)求導,并依據假設1 和Young's 不等式,可得:

綜上,根據引理2,可得系統z2(t)是固定時間穩定的.

定理1.考慮被控對象式(1),滿足假設1 條件下,將分布式事件觸發控制引入AUVs 編隊控制策略中,設計出基于事件觸發的控制器式(16),將觸發函數選擇為:

證明.為了驗證整個多AUVs 編隊控制系統穩定性,構造如下李雅普諾夫函數:

綜合式(25)～ (26)和式(33),對V(t)求導,并依據Young's 不等式和定義1,可得:

2.2 可行性分析

事件觸發通訊機制的關鍵是排除Zeno 行為,若存在Zeno 行為會使其控制器被無限次觸發,通過證明任意兩次觸發間隔{tk+1-tk,k ∈N}都存在一個正下界,即可說明事件觸發過程無Zeno 行為.

定理2.考慮多AUVs 編隊系統(1),根據假設2,對于任意的初始狀態,在事件觸發控制器(16)和觸發條件(37)作用下,以任意兩次觸發時刻為端點的區間段,其區間長度{tk+1-tk,k ∈N}一定存在某一固定的正下界.

根據式(18)、式(22)、式(33)和假設2,得到如下不等式:

由式(27)和式(34)中正定的李雅普諾夫函數,可得不等式:

3 仿真研究

為了說明本文提出的控制方法的有效性,本文對4 艘AUV 組成的系統進行編隊控制的仿真研究.

3.1 仿真條件

3.2 仿真結果

3.2.1 本文算法的仿真實例

為了驗證本文提出編隊控制策略的有效性和合理性,在相同條件下對兩種工況(見表1)進行仿真驗證,區別在于工況1 和工況2 取值于任意不同初始狀態.其中AUV 0、AUV 1、AUV 2 和AUV 3 代表1 個領航者和3 個跟隨者.控制器參數選擇如下:k=diag{30,30,30},α1=β1=0.01,α2=2,β2=80,γ1=0.7,γ2=1.1.

工況1.依據本文提算法及上述參數對工況1中不同初始狀態(見表1) 進行仿真,仿真結果如圖3～ 12 所示.

表1 跟隨 AUVs 的任意初始狀態Table 1 The arbitrary initial state of AUVs

圖3 為多AUVs 的運動軌跡,顯然在所提出的事件觸發編隊控制律下,跟隨AUV 在安全距離內跟蹤上領航AUV,實現所需的編隊目標.圖4～ 5分別為每個運動方向上位置狀態和位置跟蹤誤差z1(t),z1(t)很好地收斂到原點附近.圖6～ 7 為速度跟蹤效果及其誤差z2(t),可以看出,在事件觸發編隊控制器作用下,2 秒內所有跟隨AUVs 的速度很好地跟蹤上領航AUV 的速度,達到期望的收斂效果和控制精度.圖8～ 9 分別為跟隨AUVs 的虛擬控制器(t) 和控制輸入向量τf(t).圖10 給出在工況1 下所有跟隨AUVs 的事件觸發時刻示意圖,可以看出,每個AUV 的事件觸發時刻不在同一時刻,驗證了本文設計的觸發機制是分布式的,從而降低網絡通信負擔.此外,為了更加直觀說明引入事件觸發機制節約了通信資源,將工況1 下所有跟隨AUVs 的觸發次數統計結果在后續表2 中給出并進行分析.

表2 跟隨者AUVs 的事件觸發次數和觸發率Table 2 Event-triggered and triggered ratios for follower AUVs

圖3 工況 1 下的軌跡Fig.3 The trajectory under working Condition 1

圖4 工況 1 下的位置Fig.4 The position under working Condition 1

圖5 工況 1 下的位置跟蹤誤差Fig.5 The position tracking error under working Condition 1

圖6 工況 1 下的速度Fig.6 The velocity under working Condition 1

圖7 工況 1 下速度跟蹤誤差Fig.7 The velocity tracking error under working Condition 1

圖8 工況 1 下的虛擬控制律Fig.8 The virtual control law under working Condition 1

圖9 工況 1 下的控制輸入Fig.9 The control input under working Condition 1

圖10 工況 1 下的事件觸發時刻仿真圖Fig.10 The triggered interval under working Condition 1

為進一步說明基于事件觸發通訊機制的編隊控制器可節約有限的通信資源等性能,特給出工況1下AUV 1 的控制輸入和事件觸發時刻仿真圖,見圖11～ 12 所示.圖11 顯示連續通信和事件觸發通信下跟隨AUV 1 的實際控制輸入的變化情況,可以看出相比于未引入事件觸發的連續控制器c(t),基于事件觸發的控制器τf(t)出現分段情況,每一段的開始和結束時刻為AUV 1 的觸發時刻,τf(t)在觸發時刻更新,在觸發時刻之間保持為常數不變,從而減少因不必要的頻繁通信造成的資源浪費.由式(37) 生成的事件觸發時刻如圖12 所示,結合圖11 可看出在前2 秒觸發間隔較小,2 秒之后控制器逐漸變小,系統逐漸趨于穩定,觸發時刻變得稀疏,這與預期的結果一致.說明本文將分布式事件觸發引入到AUVs 編隊控制中,降低了通信次數和控制器的更新頻次,提高了資源的利用率.

圖11 跟隨AUV 1 的控制輸入τf(t)Fig.11 The control input τ f(t) of AUV 1

圖12 跟隨 AUV 1 的事件觸發時刻Fig.12 The triggered interval of AUV 1

工況2.為了驗證本文算法的正確性且系統收斂時間與初始狀態無關,在相同參數條件下對工況2 中任意初始狀態(見表1)進行仿真驗證,仿真結果見圖13～ 17 所示.由圖13～ 17 可以看出,在初始狀態與期望狀態差別較大情況下,本文提出的基于事件觸發的AUVs 固定時間編隊控制算法的合理性.此外,根據工況1 和工況2 仿真結果驗證了本文基于固定時間收斂算法在改善編隊系統收斂率的同時其收斂時間與初始狀態無關,即在任意不同初始狀態下,編隊均在2 秒內實現收斂.

圖13 工況2 下的軌跡Fig.13 The trajectory under working condition 2

圖14 工況 2 下的位置跟蹤誤差Fig.14 The position tracking error under working condition 2

圖15 工況 2 下速度跟蹤誤差Fig.15 The velocity tracking error under working condition 2

圖16 工況 2 下的控制輸入Fig.16 The control input under working condition 2

綜上所述,為了更直觀地說明引入事件觸發機制節約了通信資源,表2 給出在分布式事件觸發機制下,多AUVs 系統在10 秒內控制器的觸發次數和觸發比率,由表2 數據結合圖10 和圖17 的不同工況下的觸發時刻圖以及圖11 不同通訊機制的控制器對比,可以看出,本文將事件觸發通訊機制引入到多AUVs 編隊控制中,降低了AUV 的采樣和控制器的更新次數,改進了連續通訊因不必要的通訊造成資源的浪費;在有限網絡帶寬內,減少信息通訊次數可以降低能耗.顯然,本文的基于事件觸發控制算法比連續通訊更能節省通訊資源.

圖17 工況 2 下的事件觸發時刻仿真圖Fig.17 The triggered interval under working condition 2

3.2.2 與比例-積分-微分控制算法的比較

基于工況2 中的AUV 1 給出的初始狀態,將本文算法與傳統的PID 控制算法進行比較,并給出比例-積分-微分控制算法(Proportional-integralderivative,PID)控制器如下:

圖18～ 19 描述了本文基于事件觸發的固定時間控制算法與PID 控制算法下的編隊位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差比較,由仿真結果可以看出,相比于本文算法,PID 控制算法存在瞬態性能不足,即編隊誤差在2 秒左右有一個峰值,說明本文所提出的算法不僅加快了編隊系統的收斂時間,還具有較好的瞬態性能和穩態性能,可以更好地實現AUVs的編隊.此外,表3 通過各個誤差信號的均方差D和平均值E給出本文控制算法和PID 算法的一個量化比較結果,進一步直觀地驗證了本文所提出的算法不僅改善了編隊的收斂時間,還提高了系統的控制性能,比PID 算法的系統控制性能更好.

圖18 跟隨 AUV 1 的位置跟蹤誤差Fig.18 The position tracking error of AUV 1

圖19 跟隨 AUV 1 的速度跟蹤誤差z2(t)Fig.19 The velocity tracking error of AUV 1

表3 本文算法和PID 算法的比較結果Table 3 Comparison results in the algorithm of proposed in paper and PID

4 結束語

本文提出一種基于事件觸發機制的多AUVs固定時間編隊控制算法,同時解決了多AUVs 編隊系統有限通信資源的限制以及編隊收斂速度慢的問題.基于反步動態面控制算法,將分布式事件觸發通訊機制引入多AUVs 領航-跟隨編隊控制策略中,根據固定時間控制理論的思想,構造出事件觸發函數,設計出基于事件觸發的編隊控制器,保證編隊系統實現全局固定時間收斂.除了加快系統的收斂速度外,其收斂時間不受初始狀態的影響;同時通過減少控制器的更新頻次和通信次數,降低系統通信能耗,提高對有限通信資源的利用率.