面向離散地形的欠驅(qū)動雙足機(jī)器人平衡控制方法

韓連強(qiáng) 陳學(xué)超 ,2 余張國 ,2 高志發(fā) 黃 巖 ,2 黃 強(qiáng) ,2

雙足機(jī)器人在復(fù)雜環(huán)境中的運(yùn)動適應(yīng)能力是其走向應(yīng)用的重要指標(biāo)之一.近年來雙足機(jī)器人的動態(tài)運(yùn)動得到大量研究,其在復(fù)雜環(huán)境中的適應(yīng)能力有了很大提升[1-2].但傳統(tǒng)全驅(qū)動位置控制機(jī)器人由于動態(tài)性限制,很難在崎嶇地形中靈活運(yùn)動.而欠驅(qū)動雙足機(jī)器人由于本身具有的動態(tài)特性,表現(xiàn)出很強(qiáng)的地形適應(yīng)性[3].這類機(jī)器人的腳踝具有1 個或0 個驅(qū)動關(guān)節(jié),所以腳板通常會被點足替代,因此欠驅(qū)動雙足機(jī)器人像人類高蹺運(yùn)動一樣需要交替邁動雙腳完成行走功能.由于靈活的運(yùn)動能力通常需要連續(xù)地形環(huán)境,相比能夠?qū)崿F(xiàn)準(zhǔn)確落腳位置[4]的全驅(qū)動位置控制雙足機(jī)器人[5-7],采用關(guān)節(jié)力矩控制方法[8]的欠驅(qū)動雙足機(jī)器人缺少精確的落腳點控制以保證自身平穩(wěn)通過隨機(jī)離散地形環(huán)境.因此使欠驅(qū)動雙足機(jī)器人具備精確落腳控制能力可以擴(kuò)大其應(yīng)用場景,活動范圍覆蓋全地形環(huán)境,進(jìn)而完成任務(wù)式運(yùn)動需求.

欠驅(qū)動雙足機(jī)器人的動態(tài)行走研究近幾年得到巨大突破,但行走環(huán)境被限定為連續(xù)地形.Kim 等[9]提出的基于落腳點調(diào)節(jié)的全身運(yùn)動優(yōu)化控制,使機(jī)器人成功在室內(nèi)進(jìn)行三維行走;Luo 等[10]提出一種三維欠驅(qū)動雙足機(jī)器人整體操作空間控制框架,觀測質(zhì)心狀態(tài)更新控制周期與步長位置,實現(xiàn)了魯棒平衡;Daneshmand 等[11]提出了可變尺度模型預(yù)測控制 (Model predictive control,MPC) 框架,通過實時修正落腳點實現(xiàn)室內(nèi)三維運(yùn)動;為了獲得更魯棒的控制效果,早期Westervelt 等[12]提出了混合零動力 (Hybrid zero dynamic,HZD) 的控制方法,離線構(gòu)建多個步態(tài)庫,通過在線調(diào)節(jié)使二維機(jī)器人在平地上進(jìn)行行走,隨后該方法被推廣至三維運(yùn)動控制中,已經(jīng)實現(xiàn)連續(xù)起伏地形下的三維行走[13-14].而Matthew 等[15]在HZD 基礎(chǔ)上使用基于快速指數(shù)穩(wěn)定控制Lyapunov 方程的模型預(yù)測控制方法,獲得了機(jī)器人二維動態(tài)行走能力.Guo 等[16]提出基于質(zhì)心模型預(yù)測的步態(tài)合成規(guī)劃方法,能夠在線實時控制三維機(jī)器人穩(wěn)定行走.Gong 等[3]在此基礎(chǔ)上增加了實時擺動腿角度調(diào)節(jié),使得機(jī)器人能夠在草地、雪地等復(fù)雜環(huán)境行走.雖然上述方法的控制形式不同,但都并未將落腳位置作為最終控制目標(biāo),本質(zhì)都是通過落腳點位置控制機(jī)器人的運(yùn)動速度,因此無法實現(xiàn)期望步長的控制.并且,上述研究方法的測試場景都是連續(xù)不平整地面或起伏的草地,當(dāng)環(huán)境出現(xiàn)如石頭等離散立足點時,這些控制方法將出現(xiàn)很大局限性.

欠驅(qū)動雙足機(jī)器人在隨機(jī)離散地形中的運(yùn)動控制在上述問題中被深入研究,主要思想是步長的實時修正.Negri 等[17]應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練出不同步長可調(diào)節(jié)的被動步態(tài)參考生成器,使用非線性MPC跟蹤參考軌跡,但只應(yīng)用在被動步行中.姚淵等[18]提出了基于自適應(yīng)前饋控制算法的變步長穩(wěn)定運(yùn)動控制策略,通過改變步長與質(zhì)心參考跟蹤速度,成功實現(xiàn)了機(jī)器人的非連續(xù)地面行走.Yao 等[19]針對人體變步長步態(tài)特征,提出基于質(zhì)心狀態(tài)的前饋控制策略,將變高度等效于坡度變化控制,實現(xiàn)了連續(xù)臺階行走仿真.由于欠驅(qū)動雙足機(jī)器人與地面接觸點上自由度的不可控原因,機(jī)器人在擺動中的狀態(tài)不能準(zhǔn)確預(yù)測與控制[20],并且這種隨時間變化的步行軌跡很容易受外界擾動出現(xiàn)提前觸地的情況,造成自身的不穩(wěn)定.

為了解決這一問題,Grizzle 等[21]提出通過虛擬約束 (Virtual constraint,VC) 建立機(jī)器人狀態(tài)與控制目標(biāo)變量間關(guān)系的方法.這種方法雖然在動力學(xué)特性上與機(jī)械約束不同,但運(yùn)動學(xué)特性能夠滿足機(jī)器人步態(tài)的要求.在此基礎(chǔ)上,Yang 等[22]提出在全身動力學(xué)模型上設(shè)計多個動態(tài)周期步態(tài)并預(yù)先獲得控制器,實現(xiàn)了步態(tài)庫每一個元素的精準(zhǔn)切換,盡管這種方法可實現(xiàn)不同步長步行,但控制器數(shù)量呈指數(shù)增長.Nguyen 等[23]建立了長度和高度地形離散信息,在HZD 基礎(chǔ)上通過離線軌跡優(yōu)化獲得不同的步態(tài)庫,在已知下一步離散落腳點后插值控制參數(shù)得到所需的步態(tài).但當(dāng)機(jī)器人自由度增多時,非線性優(yōu)化求解困難,并且對未構(gòu)建的地形適應(yīng)能力減弱[24].

為避免離線優(yōu)化問題并實現(xiàn)在線實時調(diào)節(jié),以增強(qiáng)欠驅(qū)動雙足機(jī)器人離散地形的魯棒性,在前期動態(tài)運(yùn)動控制的工作基礎(chǔ)上[25-26],本文提出基于虛擬約束的變步長調(diào)節(jié)方法.其創(chuàng)新點如下:

1) 提出VC 參數(shù)化的尺度縮放因子實時調(diào)節(jié)方法,不僅將機(jī)器人實時狀態(tài)與參考軌跡建立關(guān)系,并構(gòu)建行走中的步態(tài)軌跡,還能在不同步長與高度需求間在線任意銜接;

2) 為實現(xiàn)步態(tài)軌跡的精確跟蹤,使用反饋線性化的MPC 控制實現(xiàn)期望的規(guī)劃步態(tài)跟隨控制;

3) 采用平面欠驅(qū)動雙足機(jī)器人模型進(jìn)行了多種隨機(jī)離散地形的穩(wěn)定行走控制和算法的仿真驗證.

本文結(jié)構(gòu)內(nèi)容安排如下: 首先建立了欠驅(qū)動雙足機(jī)器人動力學(xué)模型,然后詳細(xì)描述了基于非時變尺度縮放因子的步態(tài)規(guī)劃設(shè)計方法,之后闡述了基于反饋線性化的MPC 軌跡跟蹤控制算法,隨后展示了在不同場景的離散地形下實時穩(wěn)定運(yùn)動的仿真結(jié)果,最后是總結(jié)與展望部分.

1 欠驅(qū)動雙足機(jī)器人動力學(xué)模型

基于欠驅(qū)動雙足機(jī)器人行走運(yùn)動的周期性和對稱性,可以將運(yùn)動分為單腳支撐期和雙腳碰撞沖擊期兩個階段.忽略雙腳支撐狀態(tài),擺動腳瞬間觸地碰撞后成為下一階段的支撐腿,而原本的支撐腿變?yōu)閿[動腿,進(jìn)而形成步態(tài)循環(huán).考慮實際機(jī)器人結(jié)構(gòu),使用多連桿剛體動力學(xué)簡化模型構(gòu)建該過程.如圖1 所示,機(jī)器人模型擁有5 個連桿,包括1 個軀干 tor、2 個大腿 fem 和2 個小腿 tib,以及2 個髖關(guān)節(jié) hip 和2 個膝關(guān)節(jié) knee.各連桿動力學(xué)參數(shù)有長度Lυ、質(zhì)量mυ、相對關(guān)節(jié)的質(zhì)心位置lυ和轉(zhuǎn)動慣量Iυ,其中υ∈[tor,fem,tib],默認(rèn)左右腿參數(shù)相同.

1.1 單腳支撐模型

在機(jī)器人單腳支撐期時,如圖1 左圖所示,腳與地面的接觸認(rèn)為是鉸接觸,機(jī)器人無滑動,即模型為固定基座的運(yùn)動鏈.因此以接觸點為原點建立x-z平面坐標(biāo)系,θ1表示支撐腿小腿與坐標(biāo)軸z方向的夾角,而θ2,θ3,θ4,θ5依次是下一連桿相對上一連桿的夾角,如圖1 中圖所示,使用虛線表示上一連桿,規(guī)定順時針為正方向.

圖1 機(jī)器人動力學(xué)模型與運(yùn)動階段Fig.1 Dynamic model and motion stage of robot

通過牛頓-歐拉方程可得到單腳支撐模型的動力學(xué)方程:

1.2 碰撞模型

欠驅(qū)動雙足機(jī)器人碰撞模型被描述為擺動腿與地面的瞬間碰撞,進(jìn)而導(dǎo)致速度產(chǎn)生突變而位置不變的映射模型.該模型已被大量使用在機(jī)器人運(yùn)動控制中,詳細(xì)的理論推導(dǎo)過程請參考文獻(xiàn)[12].設(shè)是碰撞后的系統(tǒng)狀態(tài),S是碰撞發(fā)生時的狀態(tài)判定域.狀態(tài)判定域可以包括擺動腿在支撐腿前、擺動腿末端高度為零等.則當(dāng)x處于S時,滿足離散更新的條件:

Δ:R10×1→R10×1表示碰撞映射關(guān)系,即將碰撞前后的機(jī)器人狀態(tài)進(jìn)行關(guān)聯(lián).因此,平面欠驅(qū)動雙足機(jī)器人可以被一個由連續(xù)時間動態(tài)方程式(3)和一個離散更新方程式(4)組成的混合非線性沖擊系統(tǒng)完整描述.

2 基于虛擬約束的尺度縮放因子設(shè)計

VC 能夠建立多個變量間的相互關(guān)系,因此可以使雙足機(jī)器人步態(tài)不依賴于時間變化,而只依賴自身的運(yùn)動學(xué)狀態(tài).通過尺度因子調(diào)節(jié)變量間比例關(guān)系即可快速生成不同環(huán)境需求下的步態(tài)軌跡并在運(yùn)行中隨時修正.基于VC 的尺度縮放可以簡化運(yùn)動學(xué)的規(guī)劃,但會間接設(shè)計出一組零動力學(xué).本文并不通過設(shè)計的零動力學(xué)產(chǎn)生周期軌道運(yùn)動,但為了使擁有混雜動力學(xué)的系統(tǒng)軌跡相容,通過切換后的平滑處理來減小跳變的發(fā)生.

2.1 行走步態(tài)的虛擬約束設(shè)計

在欠驅(qū)動雙足機(jī)器人行走運(yùn)動中,上身姿態(tài)、擺動腿軌跡和支撐腿長度的設(shè)計規(guī)劃非常重要[9-10,12,14-16],它們共同組成了運(yùn)動步態(tài).如圖2 所示,由于平面欠驅(qū)動雙足機(jī)器人只有4 個驅(qū)動自由度,因此行走步態(tài)中規(guī)劃4 個控制目標(biāo)即可.為了避免計算腿部逆運(yùn)動學(xué)以及由于欠驅(qū)動自由度導(dǎo)致的不可控量,本文分別選擇上身與豎直方向的夾角αtor、支撐腿髖關(guān)節(jié)的豎直高度zhip、擺動腿末端 foot 的豎直高度zfoot和水平位置xfoot進(jìn)行規(guī)劃設(shè)計.而為構(gòu)建VC關(guān)系,需要選擇機(jī)器人運(yùn)動過程中單調(diào)遞增的狀態(tài)作為相變量δ.如圖2 選擇機(jī)器人髖關(guān)節(jié)與支撐點的水平距離xhip,即δ=xhip,這是因為機(jī)器人在向前或向后運(yùn)動中xhip能夠單調(diào)遞增或遞減.以上各位置均可由正運(yùn)動學(xué)計算得到.接下來,首先規(guī)劃平地行走時虛擬約束設(shè)計,然后在此基礎(chǔ)上表述變步長與高度的尺度縮放因子的設(shè)計.

圖2 機(jī)器人步態(tài)中的虛擬約束設(shè)計Fig.2 Virtual constraint design in robot gait

為穩(wěn)定欠驅(qū)動雙足機(jī)器人行走運(yùn)動,通常控制上身姿態(tài)αtor為恒定的目標(biāo)角度,而通過模型可知αtor=θ1+θ2+θ3與相變量δ無關(guān),因此只需要設(shè)定控制目標(biāo):

機(jī)器人在平地行走時,穩(wěn)定運(yùn)動的基本條件就是周期性的步態(tài),在實際中的體現(xiàn)為碰撞后的運(yùn)動狀態(tài)是下一運(yùn)動階段的開始.為了步態(tài)的周期對稱性,擺動腿和支撐腿的相關(guān)軌跡采用一元二次方程的約束規(guī)劃方式,具體操作如下: 設(shè)定固定的單步步長為Lstep(在碰撞階段兩腳的水平距離),為了使機(jī)器人在設(shè)定的步長上運(yùn)動,需要滿足擺動腿末端在xfoot=Lstep時zfoot=0 以保證雙足碰撞階段的發(fā)生,進(jìn)而切換到下一單腳支撐階段.同時設(shè)髖關(guān)節(jié)時刻保持在兩腿末端中間以穩(wěn)定質(zhì)心狀態(tài),因此擺動腿末端關(guān)于髖關(guān)節(jié)與支撐點應(yīng)滿足對稱條件:

由于上述約束,在平地行走時相變量將被限制在一個取值范圍-0.5Lstep≤δ ≤0.5Lstep內(nèi).這也符合目標(biāo)落腳點的要求,即機(jī)器人不應(yīng)該超出目標(biāo)步長,從而進(jìn)一步保證機(jī)器人不會踩空.

2.2 變步長與變高度的尺度縮放設(shè)計

當(dāng)下一步落腳點水平距離不等于固定步長Lstep(在碰撞階段兩腳的水平距離)時,需要改變式(8a)和式(9a),并考慮上一步和下一步步長信息,以獲得平滑的虛擬約束軌跡.在上述平地行走的VC 參數(shù)設(shè)計之上,通過設(shè)計尺度縮放因子就可以適應(yīng)不同步長與高度的地形行走.假設(shè)已知當(dāng)前一步的參考落腳點,如圖3 所示,設(shè)定上一步步長為和相對地面高度為,而當(dāng)前目標(biāo)步長為及相對地面高度為,這些量都是相對支撐點.需要說明的是,由于碰撞沖擊階段的轉(zhuǎn)換及以支撐點為坐標(biāo)原點的原因,在碰撞發(fā)生后,當(dāng)前相對地面高度變成上一步高度時滿足取反變換,即

圖3 隨機(jī)離散地面的參數(shù)示意圖Fig.3 Parameter diagrams of random discrete ground

欠驅(qū)動雙足機(jī)器人能夠準(zhǔn)確落腳在規(guī)劃的目標(biāo)步長和高度的本質(zhì)原理就是在機(jī)器人擺動腿末端到達(dá)期望目標(biāo)時與環(huán)境發(fā)生碰撞,從而切換進(jìn)入下一單腳支撐期.由上文行走步態(tài)的VC 設(shè)計可知,擺動腿末端有2 個控制量,分別是豎直高度zfoot和水平位置xfoot.其中xfoot被實時控制在2 倍于相變量δ的目標(biāo)上,因此可以通過縮放當(dāng)前步長,控制豎直高度zfoot在目標(biāo)步長時等于0,進(jìn)而達(dá)到控制步長的目的.

因此設(shè)定改變步長的尺度縮放因子γ=Lstep/,可將式(8a)修改為:

由于機(jī)器人的機(jī)械響應(yīng)限制,作為參考軌跡需要連續(xù)且沒有較大跳變,但由于每一步的目標(biāo)步長是離散的,因此需要對步長尺度縮放因子在發(fā)生碰撞后進(jìn)行平滑過渡處理:

即當(dāng)相變量大于等于0 后,調(diào)節(jié)目標(biāo)步長固定不變.需要強(qiáng)調(diào)的是,式(11)中的平滑處理仍然只取決于相變量而不依賴時間的變化.可以想象當(dāng)機(jī)器人向后倒回時,擺動腿仍然能夠回退到起腳時的著地點,而不會踩到其他地方,從而進(jìn)一步增強(qiáng)自身的穩(wěn)定性.

同樣,在平地變步長的基礎(chǔ)上增加落腳高度調(diào)節(jié)時,核心思想是在達(dá)到期望步長時到達(dá)期望高度,因此調(diào)節(jié)著地時的落腳高度如下:

高度尺度縮放因子λ通過平滑函數(shù)χ(δ)和κ(δ)在上一步與下一步高度間過渡.當(dāng)相變量為0 時擺動腿保持原來的抬腳高度是為了保證機(jī)器人的平穩(wěn)運(yùn)動,而擺動腿不會踢碰到障礙物.

由圖3 所示,由于落腳高度的改變且機(jī)器人坐標(biāo)原點在支撐點上的坐標(biāo)系變化,因此兩個支撐期間切換時虛擬約束中的支撐腿髖關(guān)節(jié)高度會產(chǎn)生跳變.通過調(diào)整避免上述跳變發(fā)生,設(shè)發(fā)生碰撞時髖關(guān)節(jié)相對碰撞點的位置為則下一支撐期起始時刻支撐腿髖關(guān)節(jié)參考高度應(yīng)為由式(9a)可計算下一階段VC 的髖關(guān)節(jié)高度參數(shù):

3 基于反饋線性化的MPC 軌跡跟蹤控制

在上述軌跡規(guī)劃基礎(chǔ)上,需要通過控制驅(qū)動關(guān)節(jié)的力矩使機(jī)器人達(dá)到軌跡跟蹤的目的,從而控制機(jī)器人完成行走運(yùn)動.在單腿支撐期時,機(jī)器人如同倒立擺一樣處于不穩(wěn)定狀態(tài),從而相對支撐點發(fā)生轉(zhuǎn)動.這時擺動腿到達(dá)下一步落腳點,進(jìn)而切換支撐腿防止機(jī)器人摔倒,重復(fù)上述過程即實現(xiàn)機(jī)器人的動態(tài)穩(wěn)定.因此定義欠驅(qū)動雙足機(jī)器人的穩(wěn)定性(平衡性)為: 順利通過離散地形而不傾倒.本文方法的算法框圖如圖4 所示,主要包括兩部分: 當(dāng)已知未來一步地面信息后,通過VC 參數(shù)化單腳支撐期軌跡并設(shè)計尺度縮放因子獲得參考軌跡;然后通過狀態(tài)反饋線性化的MPC 滾動優(yōu)化控制實現(xiàn)軌跡跟蹤,進(jìn)而控制機(jī)器人在離散地形中的行走.接下來描述軌跡實現(xiàn)使用的控制方法.

圖4 控制算法框圖Fig.4 Control algorithm block diagrams

3.1 狀態(tài)反饋線性化

為控制機(jī)器人實現(xiàn)第2 節(jié)設(shè)定的VC 參考軌跡,設(shè)定單腳支撐期系統(tǒng)輸出:

對于非線性系統(tǒng)的輸出y=y(x),由于只取決于狀態(tài)中的位置變量,則其相對度為2,輸出的二階導(dǎo)數(shù)為:

但由于模型與實際機(jī)器人的誤差,控制中需要增加一個微小的誤差調(diào)節(jié)量η(y,):

3.2 MPC 滾動優(yōu)化調(diào)節(jié)控制

如反饋線性化控制式(18)中所示,η(y,)表示系統(tǒng)輸出及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù),通常被選為比例-微分(Proportional-derivative,PD) 控制器的輸出.但為了能夠優(yōu)化能耗,使用MPC 的滾動優(yōu)化特點獲得這個誤差調(diào)節(jié)量.為了獲得能夠用于MPC 控制的線性系統(tǒng),將式(18)代入式(16)中,得到經(jīng)過反饋線性化后的二階系統(tǒng)微分方程:

設(shè)定控制周期為 ΔT,式(20)經(jīng)過離散化可得離散空間狀態(tài)形式:

下角標(biāo)表示第k步與第k+1 步變量.設(shè)定MPC 的預(yù)測步長為NP,而控制量步長相同,通過迭代關(guān)系獲得完整NP步預(yù)測模型:

由于原系統(tǒng)輸出式(15)全部為0 時即系統(tǒng)達(dá)到VC 要求,所以對于預(yù)測模型式(22)的滾動優(yōu)化目標(biāo)即狀態(tài)量趨近于0.控制量力矩為了減少能耗所以應(yīng)盡量小,但狀態(tài)量相對放松限制,設(shè)定優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為:

其中,W與R∈R(8×NP)×(8×NP)為權(quán)重系數(shù)的對角矩陣.將式(22)代入式(23)然后去除無關(guān)量后,得到標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃 (Quadratic programming,QP)形式:

因此建立了具有約束的QP 優(yōu)化為:

其中,τmin,τmax表示誤差調(diào)節(jié)量η(y,)的邊界值.設(shè)實際機(jī)器人驅(qū)動關(guān)節(jié)的輸出力矩邊界為umin,umax,通過式(18)可知在當(dāng)前狀態(tài)下,物理約束的驅(qū)動力矩限制與誤差調(diào)節(jié)量的邊界有如下關(guān)系:

最后取優(yōu)化結(jié)果U的第一組值,即是誤差控制量η.

4 仿真結(jié)果

為驗證本文提出的基于尺度縮放離散地形雙足機(jī)器人動態(tài)行走控制算法的有效性,基于雙足機(jī)器人BHR-6S 動力學(xué)模型,通過使用數(shù)學(xué)工具常微分方程 (Ordinary differential equation,ODE)積分算法構(gòu)建仿真環(huán)境進(jìn)行數(shù)值仿真.使用的BHR-6S機(jī)器人模型參數(shù)如圖5 所示:

圖5 仿真機(jī)器人模型參數(shù)Fig.5 Model parameters of simulation robot

需要說明的是模型各連桿的質(zhì)心分布在幾何中心處.其他控制參數(shù)如表1.虛擬約束參數(shù)中上身姿態(tài)角度限制在0°,最大抬腿高度不超過0.1 m,跨步步長不超過0.5 m,髖關(guān)節(jié)期望高度在0.6 m～0.7 m 之間.其中狀態(tài)和控制權(quán)重系數(shù)給出了矩陣對角線的一個值,其他值是相同的.驅(qū)動力矩邊界值同樣設(shè)定為與4 個驅(qū)動關(guān)節(jié)邊界值相同.

表1 仿真參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameters setting in simulation

下面通過平地定步長(第4.1 節(jié))、隨機(jī)變步長(第4.2 節(jié))、隨機(jī)離散變步長與變高度(第4.3 節(jié))和隨機(jī)擾動(第4.4 節(jié))的實驗數(shù)據(jù)分析驗證算法的有效性和魯棒性.這里需要強(qiáng)調(diào)的是機(jī)器人僅已知當(dāng)前一步的環(huán)境落腳點位置,對下一步環(huán)境信息是未知的,因此隨機(jī)地形的變化考驗著機(jī)器人實時控制策略的有效性.

4.1 機(jī)器人等步長的平地運(yùn)動

首先進(jìn)行了固定步長0.4 m 的平地仿真.如圖6所示為仿真的動畫截圖.

圖6 機(jī)器人平地固定步長行走仿真截圖Fig.6 Simulation screenshot of robot walking with fixed step length on flat ground

如圖7 所示為行走步態(tài)的極限環(huán),橫坐標(biāo)是相變量,縱坐標(biāo)為髖關(guān)節(jié)的前進(jìn)速度.由于碰撞的跳變速度會偏離穩(wěn)定點,但基于反饋線性化的MPC控制很快將其穩(wěn)定在極限環(huán)軌道上,說明了本文VC設(shè)計與控制的有效性.

圖7 機(jī)器人運(yùn)動狀態(tài)的極限環(huán)Fig.7 Limit cycle of robot motion state

行走中的單步長周期內(nèi)關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩如圖8 所示,整個運(yùn)動過程力矩保持在機(jī)械能力限制內(nèi),并經(jīng)過快速穩(wěn)定的優(yōu)化控制過程后力矩實現(xiàn)平穩(wěn)變化,進(jìn)一步保證了機(jī)器人周期狀態(tài)的平穩(wěn)調(diào)節(jié).

圖8 機(jī)器人單腳支撐期的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩Fig.8 Joint driving torque of robot during one leg support period

圖9 顯示了單步運(yùn)行過程中的VC 參考軌跡以及機(jī)器人實際狀態(tài)的跟蹤情況,控制目標(biāo)跟蹤性很好,從而保證了機(jī)器人能夠準(zhǔn)確下踩在期望的落腳點上,即實現(xiàn)參考步長.

圖9 機(jī)器人運(yùn)動過程中VC 軌跡的跟蹤效果Fig.9 Tracking effect of VC trajectory in robot motion

4.2 機(jī)器人隨機(jī)變步長的平地運(yùn)動

圖10 顯示了機(jī)器人在離散變步長地形中的仿真情況,為表現(xiàn)機(jī)器人成功通過離散地形給出了全場景截圖,但對于機(jī)器人來說僅知曉當(dāng)前一步落腳點位置,控制器根據(jù)目標(biāo)步長與高度實時調(diào)整軌跡步態(tài).最終共進(jìn)行了20 步的行走,隨機(jī)出現(xiàn)的步長分別為: 0.40 m、0.20 m、0.35 m、0.45 m、0.30 m、0.20 m、0.30 m、0.45 m、0.50 m、0.20 m、0.30 m、0.20 m、0.35 m、0.20 m、0.20 m、0.30 m、0.40 m、0.30 m、0.15 m、0.30 m.

圖10 機(jī)器人變步長離散地形行走仿真截圖Fig.10 Simulation screenshot of robot walking on discrete terrain with variable step-size

步長尺度縮放因子與VC 參考軌跡的變化如圖11 所示,實線表示擺動腳x方向的參考值.在單腳支撐期時,整個模型的原點在支撐點上,而擺動腳通常需要從后擺動到前面,所以曲線從負(fù)值連續(xù)變到正值.在當(dāng)前一步完成后,經(jīng)碰撞模型映射后,再次進(jìn)入單腳支撐期,擺動腿參考值從正值突變到負(fù)值,所以突變表示支撐腿切換的過程.由于僅建立了單腳支撐期模型而不區(qū)分左右腿,所以之后的圖像都是綜合了兩條腿的結(jié)果.隨著步長的需求變化,γ在支撐期的前半程平滑過渡.參考步長變小時,γ變大,擺動腿水平參考位置變小;當(dāng)γ變小時表示參考步長變大,γ減小到1 附近,當(dāng)小于1 時表示參考步長超過Lstep,如上述參考步長中的0.45 m.這證明步長尺度縮放因子能夠有效地實時控制機(jī)器人的步長變化.

圖11 離散平地變步長運(yùn)動中的尺度因子與VC 軌跡變化Fig.11 Scale factor and VC trajectory variation in discrete flat variable step-size motion

而圖12 則展示了機(jī)器人實際步長與參考步長的誤差,柱狀圖頂部的數(shù)字為參考步長,步長控制效果非常好,也為真實實驗提供了有力理論支撐.

圖12 離散平地變步長行走的步長誤差Fig.12 Step error of discrete variable step-size walking on flat ground

4.3 機(jī)器人隨機(jī)變步長與變高度的離散地形運(yùn)動

圖13 展示了機(jī)器人在隨機(jī)離散地面上的行走情況,該地形是在變步長仿真的基礎(chǔ)上更改了地面高度,高度隨機(jī)分布在[-0.1 m,0.1 m]區(qū)間中.圖14表示了機(jī)器人實際落腳點與參考落腳點的空間分布,實際落腳點與參考落腳點幾乎重合,而精確的落腳控制保證了機(jī)器人順利通過復(fù)雜離散地形.

圖13 隨機(jī)離散變步長變高度行走的仿真截圖Fig.13 Simulation screenshot of random discrete variable step-size and variable height walking

圖14 空間中參考落腳點與實際落腳點的示意圖Fig.14 Schematic diagram of reference foothold and actual foothold in space

圖15 中展示了機(jī)器人通過隨機(jī)離散地形時的高度尺度縮放因子和VC 參考軌跡的變化情況.可以看出當(dāng)參考高度改變時,λ先從上一階段參考高度相對值回到0,保證機(jī)器人的抬腿高度能夠避開障礙,然后被平滑至參考高度,從而控制機(jī)器人落腳在參考點.碰撞發(fā)生后為避免支撐腿參考高度與實際高度差距大而發(fā)生跳變,參數(shù)被重新修改,因此參考的支撐腿髖關(guān)節(jié)高度和擺動腿末端豎直高度發(fā)生跳變,以適應(yīng)新階段狀態(tài)控制,進(jìn)而保證了下一步的平穩(wěn)運(yùn)行.隨機(jī)離散地形的實驗結(jié)果驗證了高度實時調(diào)節(jié)中尺度縮放因子的有效性.

圖15 隨機(jī)離散地形運(yùn)行中的尺度縮放因子和VC 參考軌跡Fig.15 Scaling factor and VC reference trajectory in random discrete terrain

4.4 機(jī)器人一步內(nèi)擾動的穩(wěn)定表現(xiàn)

最后進(jìn)行了機(jī)器人在隨機(jī)離散地形中行走時受擾動的仿真驗證(如圖16),測試VC 軌跡在增加了尺度縮放因子后的非時變穩(wěn)定性.

圖16 機(jī)器人行走中受擾動的仿真截圖Fig.16 Simulation screenshot of robot disturbed during walking

圖17 顯示了機(jī)器人通過隨機(jī)離散地形時的高度尺度縮放因子和VC 參考軌跡的變化情況.當(dāng)參考高度改變時,λ先被相變量改變到0,保證機(jī)器人直立時的原有抬腿高度避開障礙,按照變尺度縮放因子設(shè)計之后將再次平滑至參考高度,從而控制機(jī)器人落腳在參考點.但在行進(jìn)中受到作用在髖關(guān)節(jié)位置上的500 N 水平反方向擾動,作用時間0.15 s后,相變量又再次越過0 回到負(fù)值,即機(jī)器人參考軌跡回退到階段初始狀態(tài).這驗證了依賴自身狀態(tài)的非時變尺度縮放因子既可以調(diào)整機(jī)器人到目標(biāo)參考點,又可以保障機(jī)器人受到大擾動后穩(wěn)定落腳點變化使機(jī)器人不會 “踩空”導(dǎo)致傾倒,從而回退到上一步支點.本文將這種不隨時間變化的平衡調(diào)節(jié)能力定義為非時變穩(wěn)定性.因此本文提出的實時調(diào)節(jié)方法將機(jī)器人約束在兩個已知可行支撐點上,面對更復(fù)雜的崎嶇地形都能實現(xiàn)穩(wěn)定行走.

圖17 機(jī)器人行走受擾動后的尺度因子變化情況Fig.17 The change of scale factor after the robot is disturbed in walking

圖18 給出了在有無外力擾動情況下,當(dāng)前一步內(nèi)上身軀干姿態(tài)角的變化情況.實線表示軀干角度在無擾動下的變化,暗示著在即將落腳時上身前傾的表現(xiàn).虛線表示軀干角度在有擾動下的變化,當(dāng)受到擾動而后退時角度偏離正常變化,但控制器仍然將其控制在期望角度附近而穩(wěn)定步行.

圖18 機(jī)器人行走中有無擾動下軀干姿態(tài)變化Fig.18 The posture change of the trunk with or without disturbance during robot walking

5 結(jié)論

為使欠驅(qū)動雙足機(jī)器人能準(zhǔn)確邁出特定步長及高度且穩(wěn)定運(yùn)動,從而通過隨機(jī)離散地形,本文提出了基于實時尺度伸縮的VC 軌跡規(guī)劃方法,并使用了反饋線性化的MPC 控制機(jī)器人實現(xiàn)設(shè)定的約束步態(tài),最后在仿真實驗中驗證了算法的有效性.非時變的VC 軌跡只依賴機(jī)器人自身狀態(tài)變化,這使得抗擾動能力更強(qiáng),即使在運(yùn)動中受到?jīng)_擊仍然能夠踩在預(yù)定的落腳點上或回退到上一步落腳點,從而保證運(yùn)動的穩(wěn)定性.盡管在本文VC 的尺度縮放調(diào)節(jié)中目標(biāo)步長無法為0,但能夠設(shè)置一個很小的步長在實際控制中達(dá)到相似的效果,而且通過離散地形時對步長為0 的需求很小.從仿真結(jié)果中可以看到控制效果較好,這也為實際機(jī)器人控制提供了有力保障.

在后續(xù)的研究工作中,可以將算法在真實BHR-6S 機(jī)器人平臺上進(jìn)行實驗驗證.通過為機(jī)器人左右方向增加自由度和變尺度虛擬約束,進(jìn)一步擴(kuò)展算法在三維模型上的應(yīng)用,最終使欠驅(qū)動雙足機(jī)器人適應(yīng)復(fù)雜的隨機(jī)離散地形環(huán)境從而走向應(yīng)用.另外這種尺度因子設(shè)計還可以引入在線優(yōu)化設(shè)計,例如使擺動腿能夠在跨越過程中,避免碰觸路面障礙,從而讓機(jī)器人能夠適應(yīng)連續(xù)地形中的離散落腳點需求.