船舶橫搖系統的多穩態動力學及其控制

趙文浩， 張 文， 李高磊， 樂 源

(西南交通大學 力學與工程學院 應用力學與結構安全四川省重點實驗室,成都 610031)

在動力系統中，不同的吸引子在給定參數的情況下出現共存現象，被稱為多穩定性或者多穩態動力學。多穩態動力學存在于許多不同的科學領域中，如力學系統、化學系統、生態系統、經濟系統以及自然系統等[1-5]。系統在不同的初始條件下，可能會出現不同的動力學現象，初始條件決定了多穩態系統的最終狀態。從實際應用的角度來說，一方面，多穩態現象會產生不利的影響：為達到特定目的，動力系統需要避免多穩態現象，或者在噪聲環境中把期望的狀態穩定化；另一方面，多穩態存在有利的一面：可以采取一定的控制方法，實現在不改變系統的主要參數的條件下，使系統到達期望的運動狀態。

近20年來，關于多穩態動力學及其控制的研究是非線性動力學領域最重要的課題之一[6]，并取得顯著成果。Halse等[7]采用解析法證明了小阻尼齒輪傳動系統在不同初始條件下，存在多穩定性共存現象。張惠等[8]利用改進胞映射法研究了含間隙及預緊彈簧分段光滑碰撞振動系統的共存吸引子的吸引域。Wiggers等[9]考慮了一類具有5個參數的Van der Pol-Duffing強迫振子的動力學，在固定系統參數的條件下，通過吸引域研究周期吸引子與混沌吸引子的共存現象。顏科鵬等[10]采用試驗方法研究了非線性柔性約束梁結構的多穩態響應，在不同的參數條件下，梁結構的位移響應表現出多個穩態現象，且在外部擾動作用下，各穩態之間可以相互切換。Goswami等[11]利用小諧波參數調制法，破壞系統多個吸引子共存的現象，使其變為單穩定。柴凱等[12]研究了一類兩自由度非線性隔振系統的吸引子共存現象，并利用不同控制方法實現了系統不同周期吸引子之間的遷移控制。Liu等[13]利用線性增大控制方法，研究了碰撞系統中共存吸引子的控制問題，并通過延續方法確定控制參數，從而在最優的性能指標下對系統進行控制。Liu等[14]提出一種間歇控制方法，將該方法應用到光滑和非光滑動力系統，并以Duffing振子和碰撞系統為例，用數值和試驗結果證明了該方法能使系統在兩個穩定吸引子之間切換。

歐陽茹荃等[15]通過平均化方法分析了船舶橫搖的穩定性，運用數值積分與胞映射的方法觀察到吸引子共存現象。胡開業等[16]設計了一種可提高船舶橫搖穩定性的分岔控制器，并制定相應的控制策略，來延緩或抑制系統分岔的產生，最后通過算例分析該控制器和控制方法是正確和有效的。但是，上述的研究結果只是分析了船舶在正橫規則波中的穩定性，以及抑制或延緩非線性橫搖運動系統分岔的產生，并不能將船舶橫搖系統穩定在期望的軌跡上。

本文考慮一類單自由度的船舶橫搖系統，由于存在恢復力矩和阻尼力矩等因素，系統呈現出強非線性特性。通過間歇控制方法，在不改變系統的主要參數的情況下，可使系統在不同的狀態之間切換，將系統的周期解控制到穩定的區域上，從而提高船舶非線性橫搖運動的穩定性。

1 船舶橫搖方程

在正橫規則波中，Nayfeh等[17]假定船舶的波浪擾動力矩與船舶和波浪的相對運動有關，且正橫規則波的波長遠大于船波。船舶的橫搖運動微分方程可寫為

(1)

(2)

2 多穩態動力學

選取Wright和Marshfield的低干舷船模為本文研究對象，其船型參數見表1[18]。

表1 Wright和Marshfield的低干舷船模參數表

本文取遭遇波浪頻率Ω=3.18，以最大波傾角F來表征波浪激勵，以F為分岔參數分析系統的動力學行為變化。采用變步長Runge-Kutta法和延續算法對系統的運動微分方程進行求解，通過選取不同的初值，得到隨參數F變化的分岔圖，如圖1所示。從分岔圖中可以觀測到，當0.206 5

圖1 系統隨參數F變化的分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram of the system with respect to F

圖2 當參數F=0.21時系統的相軌跡圖Fig.2 Phase trajectory diagram of the system with the parameter F=0.21

圖3 當參數F=0.211 3時系統產生混沌現象Fig.3 The system produces a chaotic phenomenon with the parameter F=0.211 3

當F=0.21時，系統的全局吸引域如圖4所示。圖中的離散點為吸引子，與分岔圖中吸引子的顏色一一對應。從吸引域中可以觀察到，不同吸引子的吸引域邊界具有分形結構，表現出非常復雜的全局特性。這些吸引子對初值非常敏感，微小的初值擾動都可能使系統被吸引到其他吸引子的吸引域上。吸引域中間也存在一個集中的區域，此區域為小振幅周期1吸引子的吸引域，相對于其他類型的吸引子而言，系統在此吸引子下比較穩定，是船舶橫搖運動中期望的運動軌跡。

圖4 當參數F=0.21時系統的全局吸引域Fig.4 The global basins of attraction for the system with the parameter F=0.21

3 間歇控制方法

船舶橫搖運動過程中，具有非常復雜的動力學現象。若在某個初始條件下，其周期解落在這些分形交織的吸引域中，系統是局部不穩定的，微小的初始擾動會使系統的狀態發生改變，此時的船舶在運動過程中極易發生傾覆。在不改變系統主要參數的情況下，引入一個控制信號，將落在分形區域中的周期解控制到集中的區域上，即圖4中的紅色小振幅周期1吸引子的吸引域。

將船舶橫搖運動方程用一個標準的二階常微分方程來表示為

(3)

(4)

定義e1和e2為當前周期解與期望周期解之間的誤差變量

e1=x-xd

(5)

(6)

用式(4)減去式(3)得到誤差方程

(7)

定義控制信號為

(8)

式中：kp與kd為控制參數；δ為當前周期解與期望周期解的位移最大允許誤差。定義的控制信號是根據線性反饋控制方法確定的，但不同于連續反饋控制，本文提出的控制信號屬于間歇反饋控制，其目的是不改變原系統的動力學方程以及其共存吸引子。連續反饋控制是使用的周期時間驅動控制，而間歇反饋控制是使用的事件驅動控制，即當滿足領域邊界條件|e1|≤δ時，控制信號的沖力才會在短時間內被激活直到誤差變量e1和e2收斂到0。δ定義的最大允許誤差可以區分連續反饋控制和間歇反饋控制：當δ足夠小時，控制信號產生的沖力會在短時間間隔內不斷施加，屬于間歇反饋控制；當δ無窮大時，控制信號產生的沖力就會一直作用，屬于連續反饋控制。控制信號的穩定性可以通過構造一個正定的Lyapunov函數的方法來確定。Lyapunov函數的收斂速度可以通過選取適當的kp與kd參數來控制。

鄰域邊界條件如圖5所示，圖5中交點表示當前周期解與期望周期解橫搖角相同的時刻，即當e1=0時。也就是說當誤差變量e1小于某個足夠小的值δ時，系統的外部控制信號的沖力才被激活。當時間t不斷增大，系統從當前周期的解軌跡被逐漸控制到期望周期解的軌跡上，控制信號u(t)逐漸衰減到0附近，因此受控系統式(3)就變為不受控制的系統式(4)。這就指出這種控制方法是不改變原系統的動力學方程以及其共存吸引子的。

圖5 鄰域邊界條件Fig.5 Neighborhood boundary conditions

4 數值模擬

對于其他具有共存吸引子的非自治動力系統，例如Duffing振子系統以及非光滑碰撞振動系統，數值結果均表明該控制方法均有良好的控制效果。

在船舶橫搖的運動過程中，為了不使船舶發生傾覆，需要將船舶的周期解控制到穩定區域上。本文屬于船舶普遍意義上的動力學行為的研究，所選參數均是參考橫搖模型試驗結果并在可能出現的參數域中選取的，且具有實際意義。選取系統參數見表1，得系統方程為

(9)

并取控制參數kp=1，kd=200，δ=0.01，可得控制方程為

(10)

通過數值模擬，得到系統隨時間t變化的控制過程，如圖6所示。圖6(a)展示了系統的橫搖角x和控制信號u(t)的時間歷程圖；圖6(b)展示了系統軌跡的控制過程。研究結果表明，系統首先是穩定在大振幅的周期1響應上，在t=8時輸入控制信號，當t=8.225時，當前周期解與期望周期解的軌跡第一次滿足鄰域條件(即|e1|≤δ)。系統受到控制信號的作用，在t∈[8.225,8.265]時從大振幅的周期1響應成功被控制到小振幅的周期1響應上。同時也可以觀測到，一旦當系統穩定在所期望的軌跡上，控制信號就會衰減到0附近。整個控制的暫態過程非常短暫，僅為0.04 s。這是由于在施加控制時，當前周期解與期望周期解之間的誤差變量e1非常小，而且控制信號u(t)的幅值相當大，能夠在極短的時間內使得橫搖角角速度產生巨大的變化。而在實際系統中，還需考慮控制器的能量消耗，若直接施加如此大的一個控制沖力可能會對系統產生一定的影響或者損壞控制器。

圖6 系統的控制過程Fig.6 The control process of the system

接下來，為了避免控制信號幅值過大的問題，對原來的控制方程加以改進。重新定義控制信號為

(11)

式中：umax為輸入的最大控制信號；sign(·)為符號函數。

這種含約束的間歇控制方法和間歇控制方法類似，不同之處在于，在限制了最大控制信號的情況下，先將當前系統的軌跡控制到一個暫態的軌跡上，再通過間歇控制不斷的調整，使其最終穩定到期望周期解的軌跡上。取與間歇控制相同的系統參數以及控制參數，但將控制信號的最大值限制為umax=60。圖7為該參數條件下，系統隨時間t變化的控制過程。同樣在t=8時輸入控制信號，當t∈[8.225,8.233]時，沖力第一次被激活，系統被控制到一個暫態的軌跡上。當系統暫態的軌跡與期望周期解的軌跡不再滿足鄰域條件時，沖力受到抑制，控制信號跳躍到0，系統處于一個不受控的暫態軌跡上，直到與期望周期解的軌跡再次滿足鄰域邊界條件時，沖力才被再次激活。從圖7(b)可以看出，在整個控制過程中，系統一共受到了6次間歇脈沖力的作用，大振幅的周期1響應被成功控制到小振幅的周期1響應上。與間歇控制方法相比，含約束的間歇控制方法具有暫態動力學的特性，相對來說，橫搖角角速度的變化沒有那么大，橫搖角在6個間歇的控制中逐漸被控制到期望值，且整個控制過程相對平緩，所經歷的時間相對較長。因此，含約束的間歇控制方法可以減少控制器的能量消耗，避免對控制器造成損壞。

圖7 系統的控制過程Fig.7 The control process of the system

5 結 論

本文研究了一類船舶橫搖系統，發現多個吸引子共存的動力學現象，觀察到系統的各個吸引子的吸引域邊界具有分形的幾何特性，落在在分形區域中的周期解非常不穩定。通過引入一個控制信號，將周期解控制到穩定的區域上，以提高船舶橫搖運動的穩定性。采用間歇控制的方法，將系統的運動軌跡控制到期望的周期軌跡上。通過數值模擬方法，繪制了控制過程的時間歷程圖以及相軌跡圖，驗證了這種控制方法的有效性。系統的期望軌跡既可以通過一次性輸入較大的控制信號來實現，也可以通過分多次輸入較小的控制信號來實現。通過對比發現，含約束的間歇性控制方法的整個控制過程相對平緩，同時又可以控制單次輸入信號的強度大小，更適用于多穩態的動力系統。本文的研究結果對于提高船舶橫搖時的穩定性有一定的理論參考意義，此控制方法同樣適用于其他存在吸引子共存的非自治動力系統，具有一定的普適性。