溫度場影響下功能梯度圓錐殼振動特性分析

石先杰， 左 朋,2

(1. 中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621999； 2. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 近代力學(xué)系，合肥 230026)

功能梯度材料(functionally graded material, FGM)在厚度方向上具有平滑且連續(xù)的材料特性變化。由于其獨特的性能，F(xiàn)GM已成功應(yīng)用到各個工程領(lǐng)域。由其所制成的圓柱殼[1-2]、圓錐殼[3-4]和環(huán)形板[5-6]是飛機(jī)、航天器和軍事工業(yè)領(lǐng)域常見的結(jié)構(gòu)元件。此外，F(xiàn)GM利用陶瓷的耐熱和耐腐蝕性以及金屬的高拉伸強(qiáng)度、韌性和黏合能力等良好的材料特性，被開發(fā)用于航空航天結(jié)構(gòu)和反應(yīng)堆等高溫環(huán)境。因此，研究它們在溫度場影響下的振動特性對工程設(shè)計和制造具有重要的實際工程意義。

在國外，Malekzadeh等[7]采用微分正交法分析了受熱環(huán)境影響的FGM圓錐殼振動特性。考慮材料特性與溫度的相關(guān)性，Zhou等[8]研究了FGM板的振動特性及顫振行為。Li等[9]使用特征正交多項式詳細(xì)分析了FGM階梯圓柱殼的自由振動、穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)響應(yīng)。Li等[10]根據(jù)微分求積法和Hamilton原理對FGM圓板的熱振特性進(jìn)行了研究。基于廣義微分求積法求解控制方程，Shakouri[11]研究了材料性質(zhì)與溫度有關(guān)的旋轉(zhuǎn)FGM圓錐殼振動問題。采用有限元方法結(jié)合高階剪切變形理論，Singha等[12]研究了旋轉(zhuǎn)預(yù)扭曲FGM夾層圓錐殼板在均勻熱環(huán)境下的自由振動行為。在國內(nèi)，滕兆春等[13]應(yīng)用微分求積法對FGM薄環(huán)形板的面內(nèi)自由振動特性進(jìn)行了分析。基于改進(jìn)傅里葉級數(shù)法，呂朋等[14]分析了具有彈性邊界約束的FGM薄環(huán)形板的面內(nèi)熱振特性。

從國內(nèi)外研究情況可知，目前關(guān)于FGM結(jié)構(gòu)熱振特性的研究已經(jīng)取得一定的成果，但在國內(nèi)，絕大多數(shù)還只是局限于環(huán)板結(jié)構(gòu)，而對于同樣應(yīng)用廣泛的FGM圓錐殼結(jié)構(gòu)的研究還較少。鑒于此，文中基于譜幾何法構(gòu)建了可以有效分析熱環(huán)境下FGM圓錐殼振動特性的半解析分析模型。假設(shè)有效材料特性與溫度有關(guān)并沿厚度方向變化。基于一階剪切變形理論推導(dǎo)出FGM圓錐殼在溫度場影響下的能量方程，然后采用譜幾何法[15]求解能量方程得到熱環(huán)境下殼體結(jié)構(gòu)自由和瞬態(tài)振動特性。通過將模型求解結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)解和有限元仿真分析結(jié)果進(jìn)行對比分析以驗證文中方法有效性。最后，利用所構(gòu)建參數(shù)化模型開展參數(shù)影響規(guī)律研究，探討邊界條件、幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料屬性以及溫度場等因素對FGM圓錐殼瞬態(tài)振動的影響。

1 理論方法

1.1 FGM圓錐殼的能量表達(dá)式

圖1 FGM圓錐殼的幾何模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of geometric model of FGM conical shell

U(s,θ,z,t)=u(s,θ,t)+zψs(s,θ,t)V(s,θ,z,t)=v(s,θ,t)+zψθ(s,θ,t)W(s,θ,z,t)=w(s,θ,t)

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，B=ssinα以及Rθ=stanα分別為沿θ方向的拉密系數(shù)以及主曲率半徑。

因此，F(xiàn)GM圓錐殼的本構(gòu)關(guān)系可以表示為

(5)

(6)

(7)

式中，彈性常數(shù)Qjk(z,T)為厚度方向z以及溫度值T(單位為K)的函數(shù)，具體表達(dá)式參照Zhou等的研究。在高溫環(huán)境下，所研究的FGM圓錐殼的有效材料特性P(包括彈性模量E, 熱膨脹系數(shù)αT, 質(zhì)量密度ρ, 熱導(dǎo)率κ和泊松比ν)會發(fā)生顯著變化，因此考慮溫度依賴性，材料特性可以表示為

P(T)=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2+P3T3)

(8)

式中，P0,P-1,P1,P2和P3為溫度系數(shù)，由其組成材料所決定。此外，F(xiàn)GM通常情況下是由兩種材料混合而成，其有效材料特性沿厚度方向可以被描述為

P(z,T)=[Pc(T)-Pm(T)]× [(h+2z)/2h]φ+Pm(T)

(9)

式中：φ為梯度指數(shù)；Pc(T)和Pm(T)分別為FGM圓錐殼內(nèi)表面和外表面材料的有效材料特性。因為z∈[-h/2,h/2]，故根據(jù)式(9)，φ的取值范圍應(yīng)為[0,∞)。當(dāng)φ=0時，P(z,T)=Pc(T)，此時的功能梯度材料屬性與內(nèi)表面材料保持一致；而當(dāng)φ=∞時，P(z,T)=Pm(T)，此時的功能梯度材料屬性與外表面材料保持一致。

為了獲得熱環(huán)境下FGM圓錐殼振動特性分析模型，其拉格朗日泛函可描述為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中，ΔT=T-T0為殼體溫度值T和參考溫度值T0的溫度差。對于均勻溫度場，T是恒定的。而對于線性和非線性溫度場，T沿著殼體厚度方向有著如下的變化。

線性溫度場

(15)

非線性溫度場

(16)

式中：Tc和Tm分別為FGM圓錐殼內(nèi)表面和外表面的溫度值；κ為熱導(dǎo)率，其定義是單位溫度梯度在單位時間內(nèi)經(jīng)單位導(dǎo)熱面所傳遞的熱量，在非均勻溫度場下，κ為關(guān)于z的函數(shù)。

本文基于人工彈簧理論來模擬圓錐殼邊界約束條件，因此邊界勢能即為儲存在彈簧中的彈性勢能

(17)

式中： 上標(biāo)“0”和“1”分別對應(yīng)FGM圓錐殼的左邊界和右邊界；k為約束對應(yīng)位移分量的彈簧剛度值,k=diag(ku,kv,kw,ks,kθ)。

(18)

式中：f為外力向量，與加載位置相關(guān)，故為s和θ的函數(shù)；Ls與Lθ為載荷作用區(qū)域； 其中，f=(fu,fv,fw,fs,fθ)T為激勵幅值， (fu,fv,fw)為s，θ，z方向上的力矢量， (fs,fθ)分別為s和θ方向上的力矩。

1.2 求解過程

由于圓錐殼結(jié)構(gòu)的位移變量在空間中具有對稱性，可將其沿周向坐標(biāo)方向采用傅里葉正余弦函數(shù)展開，同時根據(jù)譜幾何法[15]的基本原理，F(xiàn)GM圓錐殼的位移容許函數(shù)可以表示為

p(s,θ,t)=[Θp(s,θ),Θf,p(s,θ)]Apeiωt

(19)

(20)

將方程相關(guān)能量表達(dá)式和結(jié)構(gòu)的位移容許函數(shù)代入式(10)，并運用Rayleigh-Ritz法對未知系數(shù)進(jìn)行變分操作，可以得到熱環(huán)境下FGM圓錐殼的振動特性特征方程，即

(K-ω2M)H=F

(21)

式中，K和M分別為FGM圓錐殼的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣

(22)

Muu=I0UTU,Mvv=I0VTV,Mww=I0WTW,Mss=I2STS,Mθθ=I2ΘTΘ,Mus=I1UTS,Mvθ=I0VTΘ

(23)

(24)

diag[Kbr,uu,Kbr,vv,Kbr,ww,Kbr,ss,Kbr,θθ]s=LR1}dθ

(25)

式中：I0，I1和I2為轉(zhuǎn)動慣量；Muu,Mvv,Mww,Mss,Mθθ,Mus,Mvθ為質(zhì)量分塊矩陣表達(dá)式；K為整體剛度矩陣；Kc為結(jié)構(gòu)剛度矩陣；Kb為邊界彈簧的剛度矩陣； 下標(biāo)bl為邊界彈簧布置在s=0邊界處； 下標(biāo)br為邊界彈簧布置在s=l邊界處；U,V,W,S,Θ為軸向方向傅里葉級數(shù)展開式組成的向量。

限于篇幅，這里不再詳細(xì)給出K矩陣內(nèi)部各分塊矩陣的表達(dá)式。

H為全局廣義坐標(biāo)向量，而F則為外力矢量矩陣。當(dāng)F=0時，則式(21)簡化為一個標(biāo)準(zhǔn)的特征值問題，可方便求解獲取自由振動特性(固有頻率及其對應(yīng)的特征向量)。

對于瞬態(tài)振動問題，功能梯度圓錐殼的動力學(xué)方程可以描述為

(26)

2 數(shù)值算例與分析

首先，將模型求解結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)解和有限元分析結(jié)果進(jìn)行對比分析，以驗證模型的正確性和可行性。本章對FGM圓錐殼的熱振特性(包括自由振動和瞬態(tài)振動)進(jìn)行了研究。在此基礎(chǔ)上，最后還考慮了一些參數(shù)對FGM圓錐殼瞬態(tài)響應(yīng)的影響。為簡便起見，以下數(shù)值討論中選擇的FGM圓錐殼結(jié)構(gòu)，在沒有特殊說明的前提下其默認(rèn)的幾何與材料屬性分別定義為：α=30°,h=0.1 m,R0=0.5 m,L=4 m/cosα，內(nèi)表面材料為SUS304，外表面為Si3N4，這兩種材料在受溫度場影響下的有效材料特性可參考Zhou等的研究。邊界條件的設(shè)置通過改變邊界彈簧的剛度值而實現(xiàn)，本文研究涉及了自由(F)、固支(C)和簡支(S)3種經(jīng)典邊界，其邊界彈簧剛度值按Li等的研究設(shè)置。圓錐殼的邊界條件可通過這些符號的組合進(jìn)行描述，第一個符號代表圓錐殼小端的邊界條件，第二個符號代表圓錐殼大端的邊界條件。

2.1 自由振動分析

由建模過程可知，文中構(gòu)建的位移容許函數(shù)的軸向部分在理論上可以展開為無窮多項。但在實際計算時，由于計算硬件資源有限，無法取無窮多級數(shù)展開項進(jìn)行計算。因此，在滿足計算精度的要求下，通常需進(jìn)行有限項數(shù)的截斷來獲得較為逼近精確解的近似計算結(jié)果。因此，在熱環(huán)境下振動特性研究之前，有必要分析文中方法對FGM圓錐殼結(jié)構(gòu)熱振特性計算的收斂特性。不同邊界條件下FGM圓錐殼的第1階、第3階、第5階、第7階和第9階頻率結(jié)果隨軸向級數(shù)截斷值M的變化曲線，如圖2所示。圓錐殼的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)為默認(rèn)參數(shù)值，溫度變化為ΔT=50 K，功能梯度指數(shù)φ=1，同時還考慮了C-C和C-F兩種邊界條件。由圖2可知：無論是C-C還是C-F邊界，所有頻率結(jié)果都隨著M的線性增加而迅速收斂；當(dāng)M≥12時，所有頻率結(jié)果都收斂于穩(wěn)定值。因此，在接下來的研究中，M的值設(shè)定為20。

圖2 不同級數(shù)截斷值M下FGM圓錐殼結(jié)構(gòu)的頻率結(jié)果Fig.2 Frequency results for FGM conical shell structures with different truncated values M

不考慮溫度場影響的FGM圓錐殼的前10階頻率結(jié)果對比，如表1所示。結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)為：α=40°,h=0.1 m,R0=0.5 m,L=2 m/cosα。其內(nèi)外表面材料分別是氧化鋯(陶瓷)和鋁(金屬)，其材料特性參數(shù)見文獻(xiàn)[16]。邊界條件為F-C，考慮了φ=1,φ=5,φ=50和∞這4種梯度指數(shù)。與采用廣義微分正交法的文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行了對比，可以看出兩種方法的計算結(jié)果可以很好的匹配。

表1 具有不同梯度指數(shù)的F-C FGM圓錐殼的前10階頻率結(jié)果對比Tab.1 Comparisons of the first tenth frequency results of F-C FGM conical shells with different gradient indices Hz

均勻溫度場下的FGM圓錐殼的前10階頻率結(jié)果對比，如表2所示。參考溫度T0=300 K，溫度差ΔT=50 K。梯度指數(shù)φ=0，考慮了C-C, F-C, S-S和S-F 4種邊界條件。對比數(shù)據(jù)為有限元分析結(jié)果，有限元模型網(wǎng)格尺寸采用四邊形網(wǎng)格單元，尺寸為0.02 m×0.02 m。通過結(jié)果對比可知，兩種方法的計算結(jié)果可以較好的匹配，最大相對誤差均在0.6%以內(nèi)。因此，文中構(gòu)建分析模型可以有效準(zhǔn)確地分析溫度場影響下FGM圓錐殼的自由振動特性。

表2 具有不同邊界條件的FGM圓錐殼在溫度場影響下的前10階頻率結(jié)果對比Tab.2 Comparisons of the first 10 frequency results of FGM conical shells with different boundary conditions under the influence of temperature field Hz

2.2 瞬態(tài)振動分析

本節(jié)針對FGM圓錐殼在溫度場影響下的瞬態(tài)振動特性進(jìn)行了研究。在接下來的分析中，施加的載荷為f=(0, 0, -1 N, 0, 0)T，時間范圍為0～0.02 s，載荷激勵時間為0.01 s，激勵位置為Ls=[s0,s1],Lθ= [θ0,θ1]。其中：s0和s1分別為沿s方向的起點和終點位置； 而θ0,θ1分別為沿θ方向的起點和終點位置。因此根據(jù)激勵位置的不同可以分為點力、線力和面力3種類型。

FGM圓錐殼在溫度場影響下的瞬態(tài)振動曲線對比，如圖3所示。邊界條件為C-C，梯度指數(shù)φ=1，溫度差ΔT=0，其余參數(shù)與表2算例保持一致。載荷的激勵位置為Ls=[1 m/cosα, 1 m/cosα],Lθ= [0, 0]，采用的是矩形脈沖。其中還包括了3種測點位置(s,θ)，分別是：測點1(2 m/cosα, 0)，測點2(2.5 m/cosα, 0)和測點3(3 m/cosα, 0)。與基于有限元法得到的瞬態(tài)響應(yīng)特性進(jìn)行對比可以發(fā)現(xiàn)，兩種方法獲得的瞬態(tài)振動響應(yīng)無論是趨勢還是峰值都能很好的吻合。故文中方法可以有效預(yù)測FGM圓錐殼在溫度場影響下的瞬態(tài)振動特性。

圖3 C-C FGM圓錐殼在溫度場影響下的瞬態(tài)振動響應(yīng)對比Fig.3 Comparisons of transient vibration characteristics of C-C FGM conical shell under the influence of temperature field

在上述數(shù)值驗證的基礎(chǔ)上，接下來將開展參數(shù)化分析研究。邊界約束彈簧剛度值變化對圓錐殼測點2的瞬態(tài)振動特性的影響情況，如圖4所示。研究過程中將某幾組彈簧剛度值(k)分別取為0, 1×108, 1×1011和1×1014，而將其余各組彈簧剛度值均設(shè)為1×1014。分析模型其余參數(shù)與圖3算例參數(shù)保持一致。由圖4可知，ku和kv的變化對結(jié)構(gòu)瞬態(tài)振動的影響更為明顯，尤其是剛度值在1011～1014，ku和kv的變大會使得瞬態(tài)振動曲線明顯向左移動，而且幅值也有所降低。

圖4 邊界彈簧剛度值的變化對于FGM圓錐殼瞬態(tài)振動的影響規(guī)律Fig.4 The influence of boundary spring stiffness on transient vibration of FGM conical shell

不同溫度場對FGM圓錐殼的瞬態(tài)振動特性的影響，如圖5所示。邊界條件為C-C，結(jié)構(gòu)的幾何材料屬性以及載荷激勵的設(shè)置與圖4算例一致。需要注意的是，對于線性和非線性溫度場而言，T′=Tc-Tm。不難看出，對于3種溫度場而言，ΔT或者T′的增大都會使得結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)振動曲線稍向右移動，而且在均勻溫度場下的變化要較為明顯。

圖5 溫度場的變化對FGM圓錐殼瞬態(tài)振動的影響規(guī)律Fig.5 The influence of temperature field change on transient vibration of FGM conical shell

梯度指數(shù)φ、殼體厚度h以及半頂角α等幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)對FGM圓錐殼瞬態(tài)振動特性的影響，如圖6所示。在研究過程中，除了需要變化的參數(shù)外，其余的設(shè)置均與圖4算例保持一致。由圖6可知：φ的增大會使得結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)振動曲線出現(xiàn)向右移動的趨勢，而其當(dāng)φ>20后，趨勢逐漸不明顯；而h的增大會非常明顯的降低曲線的幅值；α的變大會令曲線向右移動，而且幅值也會有所增大。

圖6 幾何材料屬性的變化對FGM圓錐殼瞬態(tài)振動的影響Fig.6 The influence of geometry and material properties on the transient vibration of FGM conical shell

最后研究了載荷的脈沖類型對FGM圓錐殼瞬態(tài)振動曲線的影響，對比情況如圖7所示。考慮了矩形、三角形、半正弦以及指數(shù)4種脈沖類型，它們的定義可參考Li等的研究。線力的激勵位置為Ls=[1 m/cosα, 2 m/cosα],Lθ=[0, 0]；面力的激勵位置為Ls=[1 m/cosα, 2 m/cosα],Lθ=[0, 30°]。點力以及其余參數(shù)設(shè)置均與圖4算例保持一致。通過對比分析不難看出，無論是點力、線力還是面力，相比較三角形和半正弦脈沖而言，矩形和指數(shù)脈沖下的瞬態(tài)曲線有著更明顯的幅值。

圖7 不同載荷脈沖類型所對應(yīng)的FGM圓錐殼瞬態(tài)振動曲線Fig.7 Transient vibration curves of FGM conical shells corresponding to different load pulse types

3 結(jié) 論

基于人工彈簧理論模擬邊界約束條件，在一階剪切變形理論和譜幾何法框架下構(gòu)建了熱環(huán)境影響下FGM圓錐殼自由振動和瞬態(tài)振動特性分析模型。通過將模型解與相關(guān)文獻(xiàn)解和有限元分析結(jié)果進(jìn)行對比分析，驗證了所構(gòu)建分析模型的準(zhǔn)確性和可靠性。在此基礎(chǔ)上開展參數(shù)化分析，獲得了材料屬性、幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)、邊界條件、熱環(huán)境等參數(shù)對FGM圓錐殼瞬態(tài)振動特性的影響規(guī)律：

(1) 在邊界條件方面，邊界彈簧ku和kv對結(jié)構(gòu)瞬態(tài)振動的影響更為明顯，在一定區(qū)間內(nèi)，ku和kv的增大會使得瞬態(tài)曲線向左移動并降低幅值。

(2) 均勻溫度場下的溫度變化會較為明顯地影響結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)振動響應(yīng)，響應(yīng)特性曲線會隨著溫度差的變大而稍向右移動。

(3) 梯度指數(shù)或者半頂角的增大會使得結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)振動響應(yīng)曲線出現(xiàn)向右移動的趨勢，而殼體厚度的增大會非常明顯的降低響應(yīng)幅值。

(4) 對于載荷的脈沖類型，矩形和指數(shù)脈沖作用下的瞬態(tài)曲線的幅值更加明顯。