論積分不等式的多種證明方法

劉碧森 高騰偉 任 青

（1.電子科技大學 數(shù)學科學學院 四川成都 611731；2.電子科技大學 計算機科學與工程學院 四川成都 611731；3.成都人民北路中學 四川成都 611731）

一、原題展示

一道好的數(shù)學習題往往更易于啟發(fā)學生的思維，能讓學生充分開動創(chuàng)造力。設(shè)有一個函數(shù)f(x) 在[a,b] 上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：

二、證明方法

方法一（積分上限函數(shù)求導(dǎo)法）：

方法二（利用定積分的保號性證明）：

同樣，兩邊對x從a到b積分之后化簡即可得出相同的結(jié)論。

小結(jié)：法一、二均為利用了函數(shù)的單調(diào)性，不同的是方法一從結(jié)論入手構(gòu)造函數(shù)，方法二則從單調(diào)性的性質(zhì)來入手先構(gòu)造不等式后得出結(jié)論。

方法三（用定積分的定義來證明）：

g(x)中的求和部分每個第r項和第n-r項之和均大于0∴g(x) ≥ 0 原命題得證。

小結(jié)：定義是證明積分相關(guān)問題的常用方法，通過證明和式的關(guān)系來證明積分的關(guān)系。

方法四（積分第一中值定理）：

首先引入一個定理，即積分第一中值定理。

令m=inff(x),M=supf(x),(x∈[a,b])，即下確界和上確界。若函數(shù)g(x) 在區(qū)間[a,b] 上非負（或非正），則，其中μ∈[m,M]。特別地，對連續(xù)函數(shù)的情況有：f(x)∈C[a,b]，

由于積分第一中值定理要求相乘的函數(shù)有一個符號不變，所以我們將積分拆分成兩部分來計算，利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得：

由積分第一中值定理得：

方法五：積分第二中值定理

由于f(x)是單遞增函數(shù)，由積分第二中值定理得

小結(jié)：積分第一和第二中值定理要注意雖然相似，但是需要的條件不同，第一中值定理要求非負，第二中值定理則要求單調(diào)。

證法六（構(gòu)造函數(shù)法一）

證法七（構(gòu)造函數(shù)法二）：

說明：此方法雖然也為函數(shù)構(gòu)造法，但在此證明方法中，并未對F(x)進行二階求導(dǎo)，而是利用定積分的保號性直接證明出F′(x) ≥ 0，即F(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增。

證法八：因為f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，

證法九（反證法）：

因為f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增

顯然①式與②式相悖，所以假設(shè)不成立，所以得出結(jié)論：

證法十：首先證明一個結(jié)論：

設(shè)f(x)，g(x) ∈C[a,b]，且g(x) ≥ 0、g(x)在區(qū)間[a,b]上不恒等于0，則存在點ε∈[a,b]，使得

證明：因為f(x) ∈C[a,b]，由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，

f(x)在區(qū)間[a,b]有最大值M，最小值m。

即m≤f(x)≤M

因為g(x) ≥ 0，所以mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)

由連續(xù)函數(shù)的保序性可知

由介值定理可知

（3）由② -①得

三、結(jié)論

本文通過對定理：若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則的多角度證明，有效證明了該定理的正確性，可以在一定程度上幫助我們解決實際生活中定積分大小的比較問題、定積分的估算問題等。對于積分不等式的證明，方法多種多樣，但根本是根據(jù)被積函數(shù)的形式來決定方法，從題中所給函數(shù)的性質(zhì)來進行推導(dǎo)，進而得出答案[4]。不同的性質(zhì)對應(yīng)不同的方法，俗話說：“條條大路通羅馬?！绷私膺@些方法的特點和適用范圍有助于我們更好地研究這類問題，也有助于我們更好地運用這些方法中涉及的思想去解決更多其他的問題，達到舉一反三的效果[5]。