借助中點精準溯源，探究一題多解本質

鮑利輝

（杭州師范大學東城中學 浙江杭州 310019）

作為從初中幾何學習初便涉及的知識點，“中點”有諸多相關知識點與衍生知識點，內容體系相對復雜，因此學生在面對題目中此類條件時會顯得手足無措，無從入手.只有在整體視角下對這些知識點進行梳理，結合具體的圖像，實現精準溯源，才能真正理解與掌握中點相關的知識網絡，從而達到一題多解。

一、知識溯源分析法的意義

在平常教學過程中，經常存在解法單一的情況，究其根源與忽視對多解生成本源的思考有關。就數學轉化思想而言，所有的數學問題都可以用已經學過的知識解決，但究竟如何聯系卻是教學過程中的難點。教師在教學過程中經常教的是“怎么做”，因此學生在實際解題過程中往往存在思維定勢.為了突破這一困局，教學應當以“怎么想到這么做”為切入點，建構起“條件—知識源”之間的關聯，并以此為抓手加強學法指導，切實提升學生分析問題和解決問題的轉化能力[1]。

知識溯源分析法關鍵有三步：明確解題目標；追溯知識源；選擇知識源。知識溯源分析法的優勢性在于：通過目標鎖定明確解決問題的思考方向，借助知識溯源掌握處理問題的轉化策略，依據過程分析提升受阻思維的調控技巧，從而不僅詳細地剖析輔助線生成的來龍去脈，在呈現“怎么做”的同時更加明晰“為什么這么做”，強化對學生轉化能力和遷移能力的有效培養[2]。

二、基于圖形載體的中點溯源

借助知識溯源分析法，可以在初中數學中，對中點有關的知識點在整體視角下基于圖形的載體進行精準溯源。首先在初中里面和中點直接有關的第一個概念便是中線。在初中的學習過程中，可以把三角形的種類作為分類依據，對中線作用進行梳理。在任意三角形中的中線作用為平分線段，平分面積。而在等腰三角形中，中線的另一作用便是三線合一，即底邊上的中線、高線和頂角的角平分線重合。在直角三角形中，斜邊上的中線又衍生出來斜中線定理[3]。

另外一個中點衍生知識點便是中位線。與中線不同的是，連接同一個三角形兩邊上中點時，便產生了中位線。當然，中位線的難點不僅僅是找到中位線，而更重要的是能在解題過程中理解中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，因此這里要建立二級鏈接，即中點-中位線-三角形第三邊。

其次，如果中點和垂線相聯系，便會產生中垂線，中垂線的性質非常豐富，其最重要的性質為中垂線上的點到線段兩端距離相等。而同一個三角形中三邊上的中垂線相交，便構成了三角形的外心，三角形的外心又是圓中的一個重要概念。

最后，將中點放在圓中來看，除了弦的中點還可以是弧的中點，而不論是哪種，都可以與垂徑定理建立聯系，而將弧的中點和弦的中點作為能相互推導的結論，便可以聯想到圓心角定理及其推論，而弧與圓周角度數是一一對應的，因此也可以聯想到圓周角定理。

三、借知識溯源探本質

實際上能夠根據條件聯想到所需要的知識源固然重要，但只根據知識源也不能做到一題多解，解法多樣，最重要的不僅僅是關注多解的挖掘，更重要的是關注對多解生成本源的思考。下面在知識溯源的基礎上，以具體題目為例探究一題多解生成的本質。

1.基于選擇知識源不同產生多解

例1.如圖，已知H是△ABC的垂心，O是外心，OL⊥BC于L.求證：AH＝2OL。

分析：對于這道題目而言，條件較為簡單。其中垂心的作用，便是延長構造出諸多的垂線。而三角形的外心很自然地可以聯想到構造△ABC的外接圓，因此可以得到第一種方法。

另外基于外心，可以逆向追溯，從外心的本質入手，中垂線與垂心相互聯系，可以得到多對平行，再結合中位線的性質，可以構造出來平行四邊形，因此得到第二種方法。

證法1：如圖2-1，作△ABC的外接圓⊙O，連接BO并延長交⊙O于D，連接CD，AD，由中位線易得CD=2OL.又因CD⊥BC，AH⊥BC，可得AH∥CD.同理，AD∥HC，得四邊形AHCD為平行四邊形，可得AH=CD，即AH=2OL。

證法2：如圖2-2，作OM⊥AC于M，取CH的中點K，連接MK，LK，則有MK∥AH∥OL，LK∥BH∥OM，可得四邊形OLKM為平行四邊形，則MK=OL.又MK＝AH，所以AH=2OL。

證法比較：兩種方法基于不同的處理路徑，一種是基于外心的合情推理，一種從外心的本質出發，再由中點進一步聯想，通過中位線進行聯系，兩種方法殊途同歸，不分伯仲，也切實證明了選擇知識源不同多解可行性。

2.基于構圖位置不同產生多解

例2：在△ABC中，P為邊AB上一點.M為CP的中點，AC＝2，AB＝3，∠PBM＝∠ACP，求BP的長。

分析：基于題目中所給的∠PBM＝∠ACP，可以延長BM與AC相交，這樣便可以得到兩對相似，進而由兩對相似的對應線段比構造等量關系可以求出BP的長。

從另一個角度來看，當一個中點無法形成有效聯想，那么從題中觀察到，如果取AP的中點可以構造出中位線，而這條中位線既可以聯系AC，又可以將轉換到∠PBM和∠ACP斜A型相似的基礎模型中，從而構造方程求解。其次，如果把BM當作中位線考慮，可以通過倍長BP的方式構造出相似三角形，同樣也可以求解。

解 法3：如 圖3-3，延 長PB至 點D，使BP=BD，連接CD.設BP=x，則PD=2x，∠PBM=∠ACP=∠PDC，∠PAC=∠CAD，可得△APC～△ACD.由AC2=AP·AQ得22=（3-x）（3+x），可得BP=x=

解法比較：對于上述三種解法，可以看到，如果單單把中點當作中線來考慮，雖然也可以解決該問題，但是不管從計算量還是思維難度上來講都要求較高。但如果將中點放在中位線的角度來看，通過合理地添加輔助線，可以有效減少計算量，減少思維的難度，并且將圖像轉換到我們熟知的A字形和斜A型相似，利用射影定理能快速求解。

3.基于輔助線的表述不同產生多解

同一輔助線從不同的角度描述，往往會產生不同的解題思路。以例題2解法3為例，較為簡單的，若輔助線的表述為“延長PB至點D，使PD=2BP”，那么需要從PD=2BP推得BM為中位線。若輔助線的表述為“作CD//BM，交AB延長線于D”，需要通過CD//BM推得△BPM～△DPC，進而得到BP=BD。再進一步，輔助線的表述還可為“作∠BCD=∠CBM，交AB延長線于D”，此時需要從∠BCD=∠CBM得到BM//CD。

解法雖然并不會因為輔助線的作法不同而產生思路上本質的改變，但是不同輔助線的表述及后續的推導過程也體現了數學的嚴謹性與邏輯性，而這恰恰也是學生經常忽略并所欠缺的點。

4.基于不同知識體系的關聯性產生多解

例3：如圖，AB是⊙O的直徑，且AB＝10，弦CD⊥AB于點E，G是弧AC上任意一點，延長AG，與DC的延長線交于點F，連接AC，BC，DG.若求DG的長。

分析：題目中的弦CD⊥AB，AG=BG很自然聯想到垂徑定理，由垂徑定理可以得到AB⊥OG，那么很自然地聯想到求DG的長度便是構造直角三角形，利用AB＝10很容易得到所需的直角三角形的各邊長，從而求解。從不同知識體系上講，建立平面直角坐標系求點D、G的坐標，從而通過兩點間距離公式求出DG的長度。

解法比較：兩種解法雖然在解題過程中有所相似，但垂徑定理在兩個種解法中起到的作用卻有所差異。但兩種解法起始的知識體系有著本質的不同，第一種解法是立足于幾何的圖形直觀，通過尋找線段的等量關系，再結合求不共線線段的長度一般性做法求解。另一種是基于解析幾何的一般觀念，通過求點的坐標，再結合已經有的公式進行求解。這種多解的思考過程，無疑拓寬了思維的廣度。

四、教學導向

1.構建知識網絡，提高知識完備性

初中階段學生對需要作輔助線的題目感覺到困難的原因，很大一部分是教師很多時候只教怎么做，不教怎么想，教師只分析解題過程，學生的“懂”，也僅僅停留在解題過程中的聽懂層面，并未了解解題思路生成的本質。因此教師在教學過程中更加應當關注基于條件的知識溯源挖掘，幫助學生構建更加嚴密完整的知識網絡，并能夠打通各塊知識之間的聯系，而這又離不開教師本身對于教材知識的發掘與整理，只有教師做到知識體系的充分完整，才能夠讓學生體會到各部分知識之間的聯系。當學生的知識網絡逐漸完善，那么輔助線的作法自然不在話下，一題多解便能有其生長的基礎條件。

2.掌握基本構圖，提高轉化能力

然而事實上很多時候就算有完備的知識儲備，解題過程也并非一帆風順，遇到困難也在所難免。這就要求教師在日常教學過程中更應該對一些重要的轉化技巧進行提煉、總結、升華。首先學生應掌握基本圖形的構圖策略，這是提升學生轉換技巧的重要途徑，例如倍長中線和構造中位線是處理線段中點的兩大基本技巧，構造A字形、八字形相似也是建立邊與邊之間聯系的重要橋梁。其次，重現圖形的演變過程更有利于理解，例如先將復雜圖形的基本結構抽離出來，讓學生進行辨識，緊接著逐步添加線段或圖形演變為最終圖像，讓學生一步步分析，明確添加的線段的作用以及將會產生的關聯，幫助學生系統性地學習分析問題的方法，這樣一題多解才有生長點。