相似三角形問題的解題策略研究

胡紅偉 周鳳霞

（1.湖北省十堰市茅箭區三堰小學 湖北十堰 442000;2.湖北省十堰市茅箭區致遠學校 湖北十堰 442000）

緒論：有關三角形的存在性問題，中考常考查等腰三角形、直角三角形、相似三角形這三種，本篇重點講解“相似三角形問題”的解題策略。相似三角形作為初中數學的重要組成部分，在歷年的中考中已經越來越凸顯其重要地位。相似三角形是全等三角形知識的延伸與拓展，作為中考的核心考點之一，它不僅考查學生對圖形相似認識的深刻程度，更是對知識的綜合應用提出了較高要求。

一、相似三角形證明與求解問題的分類梳理

1.對相似三角形的定義的辨析掌握

對應角相等、對應邊成比例的兩個三角形叫作相似三角形。平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似。相似三角形是初中數學學習的重點內容，對學生的能力培養與訓練，有著重要的地位，而“相似三角形判定定理一”又是相似三角形這章內容的重點與難點所在，“難”的不是定理的本身，而是要跟以前學過的“角的等量關系”證明聯系緊密，綜合性比較強，因此對定理的運用也帶來了障礙。“相似三角形判定定理一”應用的一個方面，這是根據對最近幾年中考、各區縣模擬考的壓軸題的研究，發現全等三角形證明當中，我們可以找到“一條直線上有三個相等的角”這樣的條件原型，所以，這節課就是基于這樣的原型，選擇了相關內容，試圖從一個側面突破的難點。

2.對相似三角形判定定理的運用

在對比中反復體驗判定條件的運用，整理分析思路，積累解題格式和套路。這是以下判定方法證明的基礎，也是不斷梳理這類問題證明方法的分類積累。

常用的判定定理有以下6條，判定定理1至6：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。判定定理2：如果兩個三角形的兩組對應邊成比例，并且對應的夾角相等，那么這兩個三角形相似。判定定理3：如果兩個三角形的三組對應邊成比例，那么這兩個三角形相似。判定定理4：兩三角形三邊對應平行，則兩三角形相似。判定定理5：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。判定定理6：如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形相似。

學生所用的判定方法主要有以下5種：有平行截線：用平行線的性質，找“等角”；有一對等角：找“另一對等角”或“夾邊對應成比例”；有兩邊對應成比例：找“夾角相等”或“第三邊也對應成比例”或“有一對直角”；直角三角形：找“一對銳角相等”或“兩直角邊對應成比例”；等腰三角形：找“頂角相等”或“一對底角相等”或“底和腰對應成比例”。

3.需要改進的地方

相似三角形的判定教學內容還有待于進一步改進。教學的實踐課要站在更高的角度來思考，反映出我們要不斷歸納，應該把類題型至少要細分為基本圖形的形成、基本圖形的鞏固、基本圖形的拓展應用三個層次，相似三角形判定的引例、判定定理（1）的內容在探究方法上又具有一定的相似性，因此教學安排上注意方法上的新舊聯系，以幫助學生形成認知上的正遷移。此外，由于判定定理2的條件相應的夾角相等在應用中容易讓學生忽視，所以教學設計采用了小組討論加集中展示反例的學習形式來加深學生的印象，在具體引導學生接受過程中，要力求使探究途徑多元化，把學生利用作圖工具作靜態探究與應用。

讓學生充分感受探究的全面性，豐富探究的內涵，協同式小組合作學習的開展不僅提高對三角形判定的定理的反復運用。對比條件核查與已知條件相適應的判定模式，直到證明或求解模式構建成功，分析解題套路打通，形成經驗積累中相對固定的解題建構模型。

4.從學生的認知規律中梳理相似三角形的判定問題

學生在體驗了“實驗操作——探索發現——科學論證”的學習過程后，從單純地重視知識點的記憶、復習變為有意識關注學習方法的掌握、數學思想的領悟。學生在探究矩形的比值時，就能意識地把解決特殊問題的策略、方法遷移到解決一般問題中去，而且還能感悟一題多解、一題多變等數學學習方法。

相似三角形的判定主要介紹了三種方法以及相似三角形的預備定理，從結果來看，不是很理想，絕大部分學生對定理的應用不是很熟練，特別對于“兩邊對應成比例且夾角相等”不能靈活運用，夾角也不能準確找到。我想問題的主要原因在于學生對圖形的認知不深，對定理的理解不透，一味死記結論，不能理解每個量所表示的含義。我想在現階段應培養學生認識圖形的能力、合情推理的能力，爭取這方面有所提高。

教師是學生學習的組織者、引導者、合作者、共同研究者，鼓勵學生大膽探索，引導學生關注過程，及時肯定學生的表現，鼓勵創新，哪怕是微小的進步都給予熱情贊揚。教師只在關鍵處點撥，在不足時補充。

二、解題思路架構分析和探索解題方法歸納

1.結合已知條件，恰當引入參數，巧妙構造相似。

例：如圖1，AB為⊙O的直徑，TA為⊙O切線，BT交于⊙O點D，TO交⊙O于點C，E.（1）若BD＝TD，求證：AB＝AT；（2）在（1）的條件下，求tan∠BDE的值；（3）如圖2，若BD/TD＝4/3，且⊙O的半徑r＝，則圖中陰影部分的面積是__________。

解題對策的研究：針對問題先進行思路分析，初步形成解題框架，較快找到突破口。要牢記求解目標，要求tan∠BDE的值，一般要把所求角放在直角三角形中。其主要方法是要么作垂線直接構造直角三角形，要么把∠BDE轉化為已在某個直角三角形中的角。這里很容易想到連接BE，根據AB為直徑，以及同弧所對的圓周角相等，由∠BDE=∠BAE，從而在直角△ABE中考慮∠BAE的正切值即可。但此時BE與AE的數量關系并不明確，tan∠BAE的值仍然無法求得。若此時過點E作AB的垂線EH，把∠BAE放在直角△AEH中考慮就迎刃而解了。此時，借助（1）中的結論AB=AT，通過構造△OEH與△OTA相似，再借助半徑OA=OE的相等關系，通過設OH=m，引入參數，進一步明確△AEH中三邊的數量關系即可求出tan∠BAE的值，也就是tan∠BDE的值。

不規則陰影部分面積必須要對其合理切割。這里可以切割成扇形OAC和△OAE.對于扇形，在半徑已知的情形下，欲求面積則必須先解決弧長或圓心角的度數，別無他法。連接AD，結合已知條件引入參數，可設BD=4a，TD=3a，再借助三角形相似（或射影定理）和勾股定理得到a=1，從而求得，由邊的關系進一步可以得到∠AOC=60度，只要突破了∠AOC的度數這一關鍵性結論，扇形AOC和△AOE的面積均可得到妥善解決。

2.垂徑定理與勾股定理巧融合，借助二次相似達成目標

如圖1，△ABC內接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于 點D，交BC于 點E（BE＞EC），且BD=.過 點D作DF∥BC，交AB的延長線于點F.（1）求證：DF為⊙O的切線；（2）若∠BAC=60°，，求圖中陰影部分的面積；

圖1

圖2

問題的分析：對于問題（1）的分析，屬于典型的“連半徑、證垂直”類問題，連接OD與BC交于點N，學生易于入手。對問題（2）的分析，要用好60度特殊角，運用垂徑定理和勾股定理，分別得到BN、NE、ND和CE的值；再由△BDE和△ACE相似，求出AE和AD的值；最后再根據△ABE與△AFD相似得到DF的長。求出DF后，所求陰影部分面積就可以看成是△BDF與其所含的弓形面積之差，從而使問題最終解決。

解題對策的研究：最后問題的解決依賴于兩個已知條件的正確使用，它仍然屬于二次相似的典型應用。這里線段數量關系比較復雜，需要通過引入參數來把幾條線段的關系“串起來”。例如，可設所求的線段BF=x，首先通過△FDB與△FAD相似來準確表示出AB與AC，再根據△ACD與△DBF相似來確定未知數x的值即可。

3.應用二次相似進行比值轉換。

例：（2017年十堰市中考題）已知，AB為半圓O的直徑，BC⊥AB于點B，且BC=AB，D為半圓上一點，連接BD并延長交半圓O的切線AE于點E.

（1）如圖1，若CD=CB，求證：CD為半圓O的切線；

問題的分析：問題（1）仍然屬于“連半徑、證垂直”。通過連接半徑OD，借助“等邊對等角”和BC⊥AB這一已知條件，來得到∠ODC為直角，進而說明CD為半圓O的切線。

問題（2）中連接AD，結合AB是圓O的直徑得到∠ADB=∠ADE=90°，從而△ADE∽△BDA

解題對策的研究：這道題在已知條件中并沒有給出任何一條線段的值，而最后的結論卻要求兩條線段的比值，這也說明我們必須要弄清與AE和AF相關聯線段之間的密切聯系。分別把AE和AF放在各自所在的三角形中進行考慮，從這個角度出發，連接AD就顯得必然了；另一方面，△ADE為一直角三角形，而△AFD卻是一銳角三角形，通過觀察圖形結構再分別研究與這兩個三角形相似的特征三角形，以線段AE和AF為目標線段，寫出相關的對應比值，抓住AB=BC這一關鍵性條件，正確的解題思路就形成了。

結語

綜上所述，相似三角形的問題現階段已經成為中考必考的熱門考點之一，特別是對于二次相似的應用，其解題要求較高難度較大的特點已越來越受到廣大師生的重視。它需要我們在教學中去不斷地總結經驗、提煉方法，靈活應用題目條件中的邊角關系，合理構造相似三角形。相信通過同學們的辛勤努力和廣大教師的高效引領，越來越多的學生能夠成功跨越“二次相似”這一難關。