一類廣義NLS-MKdV 方程族及其雙哈密頓結構

董鳳嬌, 胡貝貝

(1. 滁州學院計算機與信息工程學院，滁州 239000; 2. 滁州學院數學與金融學院，滁州 239000)

0 引言

在孤子理論中尋找新的可積方程是一個非常重要的研究課題，傳統的方法是使用零曲率方程，李代數和利用跡恒等式(變分恒等式)，將相應的孤子方程轉化為哈密頓形式[1]。最近，很多新的可積系統利用跡恒等式的經典可積方程的推廣以及其哈密頓形式被構造出來。例如，廣義Ablowitz-Kaup-Newell-Segur(AKNS)孤子族[2]、廣義Kaup-Newell(KN)孤子族[3]、廣義Wadati-Konno-Ichikawa(WKI)孤子族[4]、廣義Dirac 孤子族[5]等。這些廣義孤子系統通常都具有雙哈密頓結構，這保證了遺傳遞歸算子的存在性與Liouville 可積性[6–8]。

帶自相容源的孤子方程在物理學中有著廣泛的應用，它涉及流體力學、固體物理和等離子體物理。一般來說，孤子方程的源會導致孤立波變速運動，使孤子的運動特性發生了很大的變化。可積系統自相容源描述了不同孤立波之間的相互作用[9–10]。例如，帶自相容源的Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程族可以用來描述短波和長波在x–y平面上的相互作用[11]，帶自相容源的Korteweg-de Vries(KdV)方程族可以用來描述等離子體高頻波包與低頻波包權重的相互作用[12]。

經典NLS-MKdV 方程的等譜問題是由Guo 在1997 年提出的[13]。2008 年，Zhang 和Dong 在文獻[14]中給出了經典NLS-MKdV 方程的哈密頓結構。隨后，Chang 和Zhang 在文獻[15]中給出了NLS-MKdV 方程的多分量可積耦合結構。此外，關于二元非線性和分數階超NLS-MKdV 結構也都被學者研究過[16–19]。本文目的是提出一個廣義的NLSMKdV 孤子族，構造其雙哈密頓結構，并分析其自相容源和守恒律。

本文結構如下：在第1 部分，我們將構造一個基于李代數sl(2,R)的廣義NLSMKdV 孤子族；在第2 部分，我們利用變分導數所產生的跡恒等式分析廣義NLSMKdV 孤子族，給出其具有Liouville 可積性的雙哈密頓結構；在第3 部分，我們構造帶自相容源的廣義NLS-MKdV 方程族；在第4 部分，我們借助Riccati 方程研究廣義NLS-MKdV 方程族的無窮守恒律；最后，我們將給出本文的討論和總結。

1 廣義NLS-MKdV 方程族

我們考慮Lie 代數sl(2,R)的基為

它們滿足如下關系

假設Loop Lie 代數G1的基是{e1(n),e2(n),e3(n)|n ∈Z}，其中x(n)=x?λn。與Lie 代

數sl(2,R)有關的經典NLS-MKdV 譜問題為

其中

現在，我們引入廣義NLS-MKdV 矩陣譜問題

其中h=μ(q2?r2)，μ是任意的常數。顯然，當μ= 0 時，矩陣譜(1)就約化為標準的NLS-MKdV 矩陣譜[16]。為了得到與矩陣譜(1)對應的孤子方程族，我們首先解靜態零曲率方程

其中

把(2)式定義的M和上述N代入方程(3)，并比較λ同次冪的系數得到

由方程(5)得到遞推公式為

其中??1?=1 且遞推算子L定義為

我們選取初始值a0= 1,b0=c0= 0，則aj、bj、cj(j ≥1)可以根據方程(6)，并借助符號計算軟件Maple 唯一算出，我們列出前三項如下

與此同時，我們引入輔助譜?tn=N(n)?，其中

這里?n為修正項，為了不出現標準的NLS-MKdV 情形，我們假設

并且把方程(1)和方程(7)代入如下的零曲率方程

利用方程(5)得到

因此，我們有

選取a=?4μan+1，我們得到如下的方程族

當μ= 0 時，方程(10)就是經典的NLS-MKdV 方程族。因此，方程(11)被稱為廣義NLS-MKdV 方程族。當n=2 時，所對應的方程為

其Lax 對為方程(2)中定義的M和N(2)，而N(2)定義如下

當μ=0 且t2=t時，方程(10)可以約化為經典的NLS-MKdV 方程族[16]

2 雙哈密頓結構

在本節中，我們通過如下的跡恒等式來考慮廣義NLS-MKdV 方程族的哈密頓結構

其中

基于上述的跡恒等式，我們有

把方程(16)代入方程(15)，比較λ?n?2的系數，得到

為了確定γ的值，我們令(17)式中的n=0，得到γ=0。因此，我們有

此外，通過直接計算，我們還可以得到

其中R定義如下

一方面，廣義NLS-MKdV 方程族(10)有如下的哈密頓結構

其中

我們可以證明J為哈密頓算子。

另一方面，我們由遞推關系(6)得到廣義NLS-MKdV 方程族有如下的雙哈密頓結構

其中P=QLR=(Pij)2×2表示為

這里?=??1r?r ???1q?q，并且我們可以證明P為第二個相容哈密頓算子。

3 自相容源

這一節，我們將構造帶自相容源的廣義NLS-MKdV 方程族，在譜問題

中，令λ=λj，相應的譜向量?記為?j，則得到N個相應的線性問題如下

其中Mj=M|λ=λj,Nj=N|λ=λj,j=1,2,···,N。我們還得到

其中Φj=(?j1,?j2,···,?jN)T,j=1,2,3，故帶自相容源的廣義NLS-MKdV 方程族為

其中J為方程(21)定義的哈密頓算子。

4 守恒律

在這一節中，我們將要構建廣義NLS-MKdV 方程族的守恒定律。引入變量如下

于是

假設

把方程(29)代入方程(28)，并且比較λ同次冪系數，得到{wn+1}的遞歸公式為

由方程(23)可以得出

因此，我們有

令

于是，方程(32)等價于ξt=ρx，這正好是n=2 時的守恒定律的標準定義

假設

則第一個密度流和守恒量為

由方程(32)～(34)，得出ξn和ρn的遞歸關系如下

其中wn由方程(30)定義。

5 結束語

事實上，我們還可以在Lie 代數so(3,R)上，考慮利用下面的空間矩陣譜問題來構造更一般的廣義NLS-MKdV 孤子族[6–8]

其中

我們還可以將費米子奇變量α和β引入廣義NLS-MKdV 孤子方程族，并將廣義NLS-MKdV 族擴展到超廣義NLS-MKdV 孤子族。其中，費米子奇變量α和β滿足關系為αβ=?βα和α2=β2=0，這些問題將在我們以后的工作中進行討論。