基于應變能理論的端齒彎曲剛度及其轉子動力學特性影響研究

邱欣可，曾 武，高 慶，滿吉鑫

(1.中國科學院工程熱物理研究所先進燃氣輪機實驗室，北京 100190；2.中國科學院先進能源動力重點實驗室(工程熱物理研究所)，北京 100190；3.中國科學院輕型動力創新研究院，北京 100190；4.中國科學院大學，北京 100049)

重型燃氣輪機多采用拉桿式轉子結構，即采用一根位于輪盤中心或多根位于輪盤周向的拉桿[1-3]，各級輪盤之間采用端齒定心傳扭，并在軸向預緊力的作用下將各級輪盤串聯拉緊。根據端齒的結構不同，可以分為Hirth齒與圓弧端齒[4-5]，Hirth齒的齒面為平面，圓弧端齒的齒面為曲面。由于在端齒連接處存在大量的接觸面，由此帶來的結構不連續性會導致不可忽略的彎曲剛度損失，進而影響轉子系統的動力學特性。因此，端齒彎曲剛度損失問題的研究對轉子的安全可靠運行有著十分重要的意義。

端齒的剛度損失問題很早就被學者所關注，早期的研究以理論分析計算為主，即通過對端齒模型進行簡化，得出端齒的連接剛度特性。上世紀90年代，尹澤勇等[6]提出了端齒梁元模型，即在不考慮摩擦的條件下，端齒與梁單元的剛度矩陣具有相同的形式，并通過端齒梁元模型對某端齒連接轉子的固有頻率進行了計算，結果與實測值符合較好。隨后，在文獻[7]中研究了端齒軸段彎曲剛度及軸向預緊力的變化對轉子的剛度與固有頻率的影響。

隨著計算機技術的發展，有限元計算研究方法已經成為研究轉子動力學問題的主要手段。Pisani等[8]對比了邊界元與有限元方法的計算結果，二者結果相似。而有限元方法相較于邊界元方法在網格劃分等方面具有更好的可操作性，因此后續研究通常采用有限元方法進行計算研究。Richardson等[9]通過三維有限元方法計算得出了端齒的力學特性，并通過光彈試驗驗證了計算結果的正確性。

通過三維有限元計算，文獻[10-11]研究了端齒彎曲剛度隨預緊力與彎矩的變化關系，得出了端齒彎曲剛度受到預緊力與彎矩產生的軸向脫開力的相對大小關系的直接影響的結論。在此基礎上分析了彎曲剛度損失對轉子系統固有頻率的影響。高進等[12]通過實驗分析了預緊力對端齒彎曲剛度特性的影響，實驗結果與有限元計算結果吻合較好。葛慶等[13]針對齒數對端齒彎曲剛度的影響進行了研究。

隨著研究的深入，通常需要面對多載荷強耦合的工況，端齒的變形通常難以準確計算，而應變能理論則可以精確地計算出相應的剛度。因此，應變能理論逐漸被學者所關注。李浦等[14]證實了應變能理論在剛度計算上的可行性，并對某轉子的軸向與扭轉剛度進行了計算研究。

端齒剛度對轉子系統的影響也是一大研究熱點。對于端齒連接的轉子結構，現有的計算條件無法對帶有真實端齒模型的轉子系統進行計算，尤其是對于多級端齒的轉子，計算成本更高，因此目前主要采用文獻[15-16]提出的薄層單元理論，建立端齒的等效彈性模量或等效剛度直徑模型，以分析端齒連接轉子的剛度與模態特性。楊鄭烈等[17]通過建立等軸向剛度的薄層單元研究了不同預緊力對端齒連接轉子模態特性的影響。然而對于多級端齒連接的轉子系統，不同級端齒的影響也各不相同，目前尚未有文獻針對不同級端齒對轉子系統動力學特性的影響展開研究。

綜上，目前對于端齒彎曲剛度的相關研究已經具有一定的基礎，但基于應變能理論的彎曲剛度計算應用較少，端齒的彎曲剛度損失對轉子系統的影響研究還不夠完善，尤其是對于多級端齒連接的轉子動力學特性研究較為缺乏。基于上述研究現狀，本文通過應變能理論對某H級重型燃氣輪機轉子端齒剛度及轉子動力學特性進行了研究。

1 端齒的結構與參數化建模

如圖1所示，該型燃氣輪機各級壓氣機盤、渦輪盤和前后轉接盤之間以端齒連接，共有24級端齒，端齒種類為Hirth齒。其中部分級端齒結構參數不同，故首先對端齒進行參數化建模，以方便獲得具有不同結構參數的端齒模型并建立相應的轉子模型。

根據端齒的結構特點，其齒面為三角形。圖2為端齒不同方向視圖。

圖2中，α為齒頂角，R為齒底倒圓半徑，H為三角形高，L1為齒高，L2為齒根高，c為齒頂間隙，a1與a2分別為端齒內徑與外徑處齒寬，W為齒頂斜角，R1、R2分別為端齒內半徑與外半徑。圖2(a)中虛線為端齒節線，圖2(c)中虛線為端齒軸線，齒數Z未在圖中標出。

(a) 帶有端齒的轉子模型

(a) 齒面圖

根據端齒結構參數間的相互關系，部分參數之間可以相互確定，如：

(1)

(2)

(3)

c=R

(4)

通過端齒結構參數間的幾何關系，編寫基于UG的宏文件，實現了端齒的參數化建模，即可以任意地輸入端齒關鍵參數并快速得到相應的端齒幾何模型。圖3是齒數為120、齒頂角為60 °、齒底倒圓半徑為5 mm的端齒幾何模型。

圖3 端齒三維幾何模型

2 端齒彎曲剛度研究

2.1 應變能理論

由于端齒的復雜結構，在端齒發生彎曲變形時，無法得到其彎曲剛度的理論解，而應變能與剛度的關系較為簡單，且應變能是一個標量，不同載荷所產生的應變能可以簡單相加，因此在復雜結構或受到多載荷的情況下能夠有效地簡化計算。

當物體在受到壓縮、彎曲、扭轉等載荷作用時，物體會發生形變，從而產生應變能。而由于不同物體的剛度不同，因此產生的應變不同，從而導致應變能的大小也不同。根據應變能的定義，應變能U為應力σ在應變微元dε下的體積分：

U=?σdε

(5)

對于端齒結構，其截面為圓環，若忽略端齒的不連續面將其視為剛性一體化連接模型，則可以得出該圓環模型受到軸向預緊力與彎矩載荷時的應變能。根據式(5)，在線彈性范圍內，當模型受到軸向力時，應變能U1可以寫為：

(6)

式中：F為圓環模型受到的軸向力；L為圓環模型的軸向長度；E為材料的彈性模量；A為圓環模型側面圓環的面積。

當模型受到彎矩載荷作用時，應變能U2可以寫為：

(7)

式中：M為圓環模型受到的彎矩載荷；Id為繞某一直徑的慣性矩；L、E與式(6)中相同。

由式(7)可以看出，彎矩產生的應變能與其彎曲剛度成反比，即應變能越大，彎曲剛度越小。若考慮實際端齒模型，當其受到軸向預緊力與彎矩同時作用時，可采用三維有限元計算的方法求得應變能。若端齒模型在軸向預緊力與彎矩作用下產生的總應變能為Ut，預緊力所產生的應變能為Upre，彎矩產生的應變能為UM，則有：

Ut=Upre+UM

(8)

根據應變能與剛度的關系，結合有限元計算所得出的端齒應變能，即可得出對應的彎曲剛度。對于剛性一體化模型，若其彎曲剛度為K0，當受到彎矩載荷時，其應變能U0可以通過式(7)直接計算得出。對于實際端齒，則可通過有限元計算結果與式(8)得出由彎矩產生的應變能UM。由此，可以通過剛性一體化模型和端齒實際模型的應變能之比來定義彎曲剛度系數β：

(9)

式中：K為端齒實際彎曲剛度。

通過彎曲剛度系數β來表征實際狀態下彎曲剛度的損失情況。

端齒在受到軸向預緊力與彎矩載荷作用時，軸向預緊力Fa在端齒端面產生的名義壓應力：

(10)

式中：Ac為端齒側面面積。

(11)

端齒受到彎矩載荷M而產生的軸向脫開應力：

(12)

式中：R2為端齒的外半徑；Id為端齒繞某一直徑的慣性矩。

定義無量綱載荷因子γ：

(13)

式中：σ為彎矩產生的軸向脫開應力；P為軸向預緊力產生的名義壓應力。

顯然，端齒接觸面狀態受到無量綱載荷因子γ的影響，因此將針對γ與彎曲剛度的關系展開研究分析。

2.2 有限元計算分析

基于上述應變能理論分析，可以計算出端齒變形時的應變能，進而得出端齒的彎曲剛度特性。

選取某一級端齒為研究對象，材料彈性模量E=208 GPa，外直徑D2=1 556 mm，內直徑D1=1 416 mm。對端齒采用掃掠劃分的方法進行網格劃分，單元類型為20節點六面體單元solid186。端齒嚙合面采用frictional接觸方式。有限元網格模型如圖4(a)所示，載荷邊界條件如圖4(b)所示。端齒兩側端面采用多點約束MPC方式與中心節點綁定在一起，并在其中一側中心節點上分載荷施加軸向預緊力Fa(圖4(b)中A位置)與彎矩載荷M(圖4(b)中B位置)，固定彎矩大小M=1×106N·m，另一側施加固定約束(圖4(b)中C位置)。在不同預緊力條件下計算端齒在對應載荷條件下彎矩產生的應變能UM。同時，通過式(7)求得剛性一體化整體軸段模型在相同彎矩下所產生的應變能U0。根據式(9)，將U0與UM相比，得出端齒的彎曲剛度系數β，并進一步得出端齒的實際彎曲剛度值，為后續轉子系統動力學計算做好鋪墊。

圖4 端齒有限元模型

2.3 計算結果分析

根據2.1節所述應變能理論分析與2.2節所建立的端齒有限元模型，得出相應的應變能與彎曲剛度系數。計算結果如表1與圖5所示。

表1 不同無量綱載荷因子γ下彎矩產生的應變能

圖5 端齒彎曲剛度系數隨量綱載荷因子γ變化曲線

由表1，當無量綱載荷因子γ<1時，端齒由彎矩所產生的應變能幾乎不發生變化；而當γ>1時，應變能迅速增大，即如圖5所示的變化曲線。計算結果與文獻[10-12]中所反映出的規律十分吻合，均呈現出當預緊力大于彎矩產生的軸向脫開力時(完全預緊時，γ<1)，彎曲剛度基本保持穩定；而當預緊力小于彎矩產生的脫開力時(γ>1)，彎曲剛度迅速下降。

通過上述計算，可以反映出應變能理論在彎曲剛度的計算上有著方便簡潔的優點。對于多載荷的情況，可以利用應變能的標量性來簡化計算與分析。而對于復雜的非連續結構也可以通過應變能來體現其彎曲剛度損失情況，具有一定的工程應用價值。

3 端齒彎曲剛度損失對轉子系統動力學特性的影響

3.1 端齒簡化模型

以研究的燃氣輪機轉子為例，該轉子共有24級端齒，且結構復雜，現有的條件已無法計算，故需要對端齒進行簡化。

根據文獻[15-16]提出的薄層單元理論，可以將端齒簡化為圓環結構(如圖6所示)，簡化過程遵循等質量、等彎曲剛度的原則。圓環結構的內外徑、密度、軸段長度均與實際端齒相同，以保證等質量原則；通過調節圓環的彈性模量以保證等彎曲剛度原則。需要說明的是，在不考慮陀螺力矩與阻尼的前提下，轉子的剛度與模態特性完全由系統的剛度矩陣與質量矩陣決定，因此此種簡化方式可以保證剛度與模態特性的可靠性。

圖6 端齒簡化模型

為了保證端齒簡化模型與實際端齒模型具有相同的彎曲剛度，在密度、內外徑與軸段長度均與實際端齒模型相等的情況下，圓環結構的等效彈性模量可以由式(14)得出：

(14)

式中：Eeq為等效彈性模量；K為端齒實際彎曲剛度。

根據轉子端齒齒形參數，齒數Z=120，齒頂角α=60 °，齒底倒圓半徑R=5 mm。結合第2章計算分析，得出端齒在完全預緊狀態下的彎曲剛度，進而求得端齒簡化模型的等效彈性模量Eeq。各級端齒結構參數與對應的簡化模型的等效彈性模量如表2所示。

表2 不同級端齒的結構參數與對應的等效彈性模量

3.2 端齒剛度損失對轉子臨界轉速的影響

借助3.1所建立的端齒簡化模型，對端齒連接轉子的模態特性進行研究。

對于如圖7所示的多盤轉子系統而言，根據轉子動力學原理[19]，當轉子轉速為Ω時，將輪盤盤心O′向xoz與yoz平面投影，并建立坐標系。第j個圓盤慣性力主向量Rj與慣性力主矩向量Lj在ox與oy軸上的分量為Rjx、Rjy、Ljx與Ljy：

圖7 輪盤-轉子結構理論模型

(15)

式中：e為偏心距；Φ為偏心角；Jd為繞直徑的轉動慣量；Jp為繞圓心的轉動慣量；m為輪盤的質量；u與θ分別為線位移與角位移。下標變量中：j表示第j個輪盤的參數；x、y分別表示該物理量在x或y方向的分量。變量的一階與二階導數均指的是對時間的導數。

根據D’Alembert原理，x、y方向的線位移uxi、uyi與角位移θxi、θyi為：

(16)

(17)

式中：{M}為轉子系統質量矩陣；{J}為轉動慣量矩陣；{K}為剛度矩陣；{u}為位移矩陣；{P(t)}為離心力載荷矩陣。

當轉子轉速不同時，式(17)的解也不同，而當轉子處于某一特定轉速Ω時，轉子振動變形處于極大值，故此時對應的轉速Ω為轉子的臨界轉速。根據式(17)解的性質，最大振幅對應的轉速只與剛度、質量與阻尼特性有關，而與外載荷{P(t)}無關。因此在求解轉子臨界轉速時不需要施加不平衡載荷，且在不考慮質量與阻尼變化的前提下，不同端齒結構參數與預緊工況的改變對端齒彎曲剛度的影響也完全能通過等效模型的彈性模量體現。

根據轉子的約束行為，建立轉子系統的有限元模型。轉子采用1-0-1支承方案，前軸頸處采用可傾瓦推力軸承約束軸向、周向和徑向自由度，后軸頸處約束徑向和周向自由度。各級端齒簡化模型與輪盤采用綁定約束。定義彎曲剛度損失系數λ：

λ=1-β

(18)

通過調節端齒等效模型的彈性模量可模擬端齒的不同彎曲剛度損失系數。圖8為轉子系統的有限元網格模型。在此基礎上計算轉子的前兩階彎曲臨界轉速與振型(其他階次模態受彎曲剛度影響較小，故已省去)，臨界轉速計算結果如表3所示，振型云圖如圖9所示。

圖8 轉子有限元網格模型

(a) 一階彎曲模態振型

表3 端齒不同彎曲剛度損失系數下轉子的臨界轉速

表3給出了端齒在不同彎曲剛度損失系數下轉子系統的一、二階彎曲臨界轉速，振型如圖9所示。當彎曲剛度損失達到50%時，一階彎曲臨界轉速降低了8.2%，二階彎曲臨界轉速下降了8.8%，且表現為隨著端齒彎曲剛度損失系數增大，前兩階彎曲臨界轉速呈加速下降趨勢。而端齒的彎曲剛度損失對轉子的振型幾乎沒有影響。需要注意的是，該燃氣輪機工作轉速為3 000 r/min，二階彎曲臨界轉速已經遠超過其工作轉速，故后續僅分析一階彎曲臨界轉速。

3.3 不同級端齒剛度損失對轉子系統剛度與模態特性的影響

對于多級端齒連接的拉桿轉子系統，每一級端齒的位置、尺寸大小不同，對轉子動力學特性的影響也不相同，故需要針對不同級端齒對轉子系統動力學特性的影響展開研究。

首先采用簡支梁模型進行理論推導，定性地確定不同級端齒對轉子剛度特性影響分布，在此基礎上通過有限元計算分析轉子模態特性的變化。采用圖10所示的簡支梁來近似模擬轉子，前支點為固定約束，后支點為徑向、周向約束，均布載荷F0=ql0代表轉子所受的重力。

圖10 轉子對應的簡支梁模型

圖中，q為載荷集度，l0為梁的軸向長度，Mr為固定約束處的支反彎矩，F1、F2分別為前、后支點處支反力。根據材料力學理論可推導出梁在支座處的支反力，進而得出梁的彎矩方程M(d)為：

(19)

式中：d為所研究的點距離梁左端點(前支點)的距離。

梁上任意一小微元的應變能u(d)為：

(20)

式中：E為彈性模量；I為截面慣性矩。

將式(19)代入式(20)，得到不同位置處的應變能分布函數：

(21)

顯然，當梁的約束行為不同時，支反力、彎矩方程均會不同，從而引起應變能函數不同，進而對該分析的結果產生影響。

在上述理論分析的基礎上，進行對應的有限元計算分析。圖11給出了轉子系統在重力載荷作用下各級端齒的應變能情況。

圖11 不同級端齒在重力作用下的彎曲應變能

由圖11中可以看出，在重力載荷作用下，1級端齒的應變能最大，4級端齒應變能最小，14級端齒處應變能取得了極大值。有限元計算結果與上述理論分析較為吻合。因此，著重研究1級、4級和14級端齒對轉子系統剛度與動力學特性的影響。分別計算了當1級、4級、14級端齒的彎曲剛度系數β達到0.5而其他級端齒不發生彎曲剛度損失時轉子系統的剛度與模態特性變化。計算結果如表4、表5所示。

表4 不同級端齒彎曲剛度損失時轉子彎曲剛度

表5 不同級端齒彎曲剛度損失時轉子一階彎曲臨界轉速

由表4可以看出，當僅有某一級端齒的彎曲剛度降為整體軸段剛度的50%時，1級端齒對轉子系統的剛度影響最大，而4級端齒影響最小。對比表5與表3中剛性一體化轉子臨界轉速結果可以看出，1級端齒彎曲剛度發生損失時，臨界轉速降低幅度最大，14級端齒次之，4級端齒變化幅度最小。計算結果與上述理論分析結果吻合較好，即1級端齒的彎曲應變能較大，彎曲剛度較小，且當其彎曲剛度發生變化時，其應變能變化量相較于其他級端齒更大，對轉子系統剛度的影響也越大。4級端齒則相反。轉子系統在1級端齒處，由于靠近軸承約束處，該處的彎曲變形相對較大，因此彎曲剛度較小，而在14級端齒處，由于靠近轉子中部，因彎曲產生的橫向撓度較大，也會使得彎曲剛度較低。因此，對于該轉子系統，應著重注意1級與14級端齒的接觸與剛度情況，保證良好的接觸與足夠的彎曲剛度。

4 結論

本文針對某型號燃氣輪機轉子端齒結構的彎曲剛度展開研究，得出以下結論：

(1) 通過應變能理論計算所得到的彎曲剛度結果與文獻[10-11]中研究結果所反映出的規律吻合較好。在完全預緊狀態，應變能保持穩定。而當預緊力不足以抵抗彎矩產生的軸向脫開力時，應變能急劇上升。應變能越大表明剛度越低，可以直觀地反映端齒的彎曲剛度水平。在實際工程中對于多載荷條件與復雜結構的彎曲剛度計算上能夠起到一定的簡化作用。

(2) 通過建立端齒等效模型，研究了端齒不同彎曲剛度損失比例對轉子系統模態特性的影響，即隨著剛度損失增大，轉子的彎曲模態對應的臨界轉速呈加速下降趨勢。對于該轉子而言，端齒彎曲剛度修正比例達到50%時，相較于剛性一體化轉子中其一階臨界轉速會下降8.2%。

(3) 通過簡支梁模型與應變能理論定性地分析了轉子不同級端齒對轉子系統剛度與模態特性的影響，并通過三維有限元計算方法得出了與理論分析相吻合的結論。對于所研究轉子，1級端齒對轉子系統動力學特性影響最大，4級端齒影響最小。因此在工程設計中應對相應級端齒進行特別處理以提高其彎曲剛度。且端齒彎曲剛度損失對轉子模態特性的影響主要體現在一階彎曲模態上，一階臨界轉速的降低比例也更大。后續研究應當著重關注在一階臨界轉速處轉子的不平衡響應情況。

(4) 對于不同約束或支承方案的轉子系統，由于支承不同，約束處支反力也不同，因此導致應變能函數不同，進而使得不同級端齒對轉子系統的動力學特性影響也不同。