雙臂并聯機器人運動學正逆解及其奇異位形存在性預測

王 恒，余 盛，陸 勇，朱芳甫，蔣科堅

（1浙江理工大學 信息科學與工程學院，杭州 310018；2歐姆龍杭州分公司，杭州 310030）

0 引 言

20世紀50年代末，世界第一臺工業機器人的研制成功開啟了工業生產進入無人化的序幕。人們可以控制機器人從事危險、精細和重復性工作，工業機器人的控制研究越來越受到關注。工業機器人的控制是以運動學正逆解為基礎的，因此，在機器人投入工作之前需先求得機器人的運動學正逆解，但是機器人在動作過程中可能會處于一個特殊的位置或形態，此種情況下機器人將無法正常工作，稱為奇異位形。本文將針對一種工業機器人—雙臂并聯機器人，對其運動學正逆解和奇異位形預測展開研究。

對機器人正逆解和奇異性問題的研究旨在實現對機器人精確有效的控制。Gosselin等人提出將并聯機器人的奇異類型劃分成3種，并利用雅克比矩陣的行列式分別進行判定，利用該方法對5種并聯機器人奇異位形進行分析，并從速度的輸入和輸出的角度給出相應的物理意義。Shao等人采用映射法，以六階方程的形式給出了三自由度空間并聯機械手的正逆解，并基于幾何約束條件對該并聯機械手的奇異性進行分析，但沒有給出位于奇異位形時的物理意義和失控分析。Nag等人針對一種六自由度并聯機構，提出了一種用于識別無奇異空間的方法，并求出了該機器人不含奇異位形的工作空間。Baron等人針對冗余并聯機器人提出了一種避免奇異位形的幾何方法，首先通過確定執行器和奇異點接近程度，然后優化運動學冗余的自由度，再進行奇異點的確定，該方法在一定程度上可以預測奇異位形，避免機器人工作異常。Hijazi等人針對一種平面并聯機器人，提出了一種奇異軌跡和奇異位置的識別方法。呂志忠等人將爬壁機器人視為并聯機器人，分別利用牛頓法和解析法得出該機器人運動學正逆解，并利用雅克比矩陣和Grassmann線幾何理論分析了機器人的正逆運動學奇異位形，并對正運動學奇異位形進行了驗證。潘英等人建立了新型五自由度3D打印并聯機器人的運動學模型，計算了該機器人的運動學逆解，并利用螺旋理論法求出雅克比矩陣，對奇異性進行了分析。李保坤等人利用逆速度雅克比矩陣和力雅可比矩陣對六自由度Stewart并聯機器人的奇異位形進行了分析，并提出冗余驅動法消除奇異位形。常定勇等人設計出了一個兩輸出的并聯機器人，采用閉環矢量法求得運動學逆解，并利用機構的自由度對奇異位形進行了分析。朱偉等人針對弱耦合三平移并聯機器人，利用機構原理圖推出位置的正逆解，并通過對速度的分析求得機構雅克比矩陣，進一步得出該機器人正逆奇異位形。馬廣英等人針對3UPR并聯機構的4足機器人的運動學問題，通過矩陣變換法求得了機器人的位置逆解，并進一步利用速度模型對奇異性進行分析。周少瑞等人提出一種新型的對稱3-CRCR／RPU并聯機器人，利用旋轉矩陣法以解析式的形式給出了該機器人正逆解，并利用機構雅克比矩陣證明了該機器人不存在奇異位形。葉鵬達等人針對并聯機器人奇異性分析問題提出了代數法、幾何法、運動學法和現代數學法，并分別進行了詳細的分析。

在以往文獻中，對機器人的奇異性分析往往從數學計算和矩陣特征的角度給出定義和判斷，而對在奇異位形實際可能發生機器人臂失控現象沒有對應的描述分析。本文針對雙臂并聯機器人的運動控制，提出了一套包括正逆解、工作空間確定、奇異位形預測的完整方法，并驗證正逆解和奇異位形預測的正確性，對該機器人處于奇異位形時的失控情形進行分析。

1 雙臂并聯機器人結構

雙臂并聯機器人是一個閉環結構，其機械結構如圖1所示。主要由機架、伺服電機、驅動關節、主動臂、從動臂、從動關節和末端組成。其中，驅動關節和伺服電機相連，通過控制驅動關節的角度，使機器人臂末端按目標軌跡和目標速度移動。

圖1 雙臂并聯機器人結構圖Fig.1 Structure diagram of the two-armed parallel robot

2 運動學正逆解分析

雙臂并聯機器人參數化數學模型如圖2所示。圖2中，L是雙臂并聯機器人的主動臂長度，L是從動臂長度，是驅動關節之間的距離，是末端關節之間的距離，左右驅動關節轉角分別為、，、是左右驅動關節，、是左右從動關節，、是左右末端關節，為末端中心，坐標為（，）。

在圖2結構中建立了2個坐標系，分述如下：

圖2 雙臂并聯機器人參數化數學模型Fig.2 Parametric mathematical model of a two-armed parallel robot

（1）末端二維笛卡爾坐標系（，）：以2個驅動關節的中點為原點，即的中點。

（2）驅動坐標系（，）：為2個驅動關節的轉動角度。當2個主動臂平展時，為零位（0，0），左主動臂逆時針方向為正，右主動臂順時針方向為正。

則模型結構關鍵點對應的坐標為：

2.1 雙臂并聯機器人運動學正解

運動學正解就是已知機器人的2個驅動關節的轉動角度（，），求解末端中心的對應位置（，）。根據圖2幾何關系可建立2個二元二次方程（1）和（2），即：

為簡化解的形式，設：

解得雙臂并聯機器人正解為：

因為機器人臂只在末端笛卡爾坐標系的下半部分運行，因此，正解中的正負號只取負號。

2.2 雙臂并聯機器人運動學逆解

運動學逆解是已知末端中心所處的位置（，），求解驅動關節的轉動角度（，）。

令：

對式（1）進行整理，得：

其中，

同理，令：

對式（2）整理可得：

其中，

3 雙臂并聯機器人的工作空間

機器人的工作空間是指末端中心在末端坐標系平面中所能到達點的集合，即機器人臂的有效工作范圍。本文所述雙臂并聯機器人的實驗平臺如圖3所示，其主要機械結構和對應實際參數，見表1。

圖3 雙臂并聯機器人Fig.3 Two-armed parallel robot

表1 雙臂并聯機器人結構參數表Tab.1 Structural parameters of the two-armed parallel robot

在實際操作中，機器人臂的工作空間是根據驅動關節旋轉角的實際可活動范圍確定的，為防止機器人臂撞到機架，本文實驗臺的驅動關節轉角范圍為［-30°，90°］。由此可得機器人臂工作空間，如圖4所示。

圖4 機器人工作空間Fig.4 Robot work space

4 雙臂并聯機器人的奇異性分析與預測方法

研究機器人運動發現，當機器人臂處在某一特定位形時，可能會導致該機器人處于不可控的狀態。譬如，會出現末端線速度和驅動關節角速度無法對應，并且發生末端自由度數增加或減少的現象，稱為機器人的奇異性。因此，對給定機器人對象，判斷和預測該機器人結構是否存在奇異位形是非常重要的環節。本文借鑒雅克比矩陣的行列式判定方法，針對雙臂并聯機器人結構，從理論上對其處于奇異位形時的情形進行分析，并提出奇異位形的預測方法。

4.1 雙臂并聯機器人的雅克比矩陣

將運動學方程（1）和（2）兩邊同時對時間求導，得式（3）和式（4）：

其中， 、 、 分別是方程（1）中、、對時間求導項的系數， 、 、 分別是方程（2）中、、對時間求導項的系數，具體為：

將方程（3）和（4）轉化為矩陣的形式，見式（5）：

令：

方程（5）就可寫為式（6）：

其中，J和J都為22矩陣，稱為雙臂并聯機器人的雅克比矩陣。

通過式（6）還可以進一步得出式（7）和式（8）：

式（7）是在已知驅動關節角速度的情況下求出末端的線速度。式（8）是在已知末端線速度的情況下求出驅動關節的角速度。

4.2 雙臂并聯機器人的奇異性理論分析

并聯機器人研究認為，奇異性有3種類型。對此擬展開論述如下。

4.2.1 正運動學奇異性

根據雅克比矩陣行列式判定條件，當發生正運動學奇異性時，會表現出如式（9）所示的特征：

式（9）可表述為當雅克比矩陣J對應的行列式為零，而J對應行列式不為零同時發生時，機器人就處于正運動學奇異位形。

4.2.2 逆運動學奇異性

參考式（6）和雅克比矩陣行列式判定條件，發生逆運動學奇異性時，需滿足式（10）：

4.2.3 混合奇異性

當雅克比矩陣J和J同時不滿秩，即滿足式（11）時，雙臂并聯機器人將發生混合奇異性：

當雙臂并聯機器人處于此種奇異位形時，會同時出現正逆運動學奇異位形發生時的現象。

4.3 雙臂并聯機器人的奇異位形預測方法

為了能夠實現對雙臂并聯機器人奇異位形的預測，根據式（9）、式（10），可得出雙臂并聯機器人處于正逆兩種奇異位形下的判定條件。

機器人處在正運動學奇異位形的判定條件，推得的數學公式具體如下：

其中，x、x、x、x是圖2中、、、在末端坐標系中的橫坐標，y、y、y、y是、、、的縱坐標。

機器人處在逆運動學奇異位形的判定條件是，以下2個條件至少滿足一個：

5 實驗和分析

5.1 實驗平臺

為驗證雙臂并聯機器人正逆解和奇異位形預測方法的正確性，在雙臂并聯機器人操作平臺進行實驗驗證，實現控制硬件平臺為Omron NJ控制器，軟件環境Sysmac Studio。

5.2 正逆解實驗驗證

本次實驗分為2個部分：關鍵坐標點數值驗證和實際軌跡驗證。

在驗證機器人實際軌跡前，先進行關鍵坐標點數值的驗證，并與實際末端中心位置對比，見表2。

表2 正逆解數值驗證表Tab.2 Numerical verification table of positive and negative solutions

在關鍵坐標點正逆解驗證正確后，以一個實際工程使用的工作軌跡，驗證整個機器人臂控制完整過程的正確性。該軌跡為一個食品生產流水線的包裝盒開箱動作，如圖5所示。實驗證明，本文提出的正逆解方法是正確的，能夠通過驅動關節轉角的控制，正確地控制機器人末端運動軌跡。

圖5 機器人臂實際運行軌跡圖Fig.5 Actual trajectory of robot arms

5.3 奇異位形的預測和實驗分析驗證

5.3.1 正運動學奇異位形的預測與失控分析

根據式（12）可對正運動學奇異位形進行預測。當、、、位于同一水平線，或者、、、形成一個矩形或平行四邊形時，滿足正運動學奇異位形的條件，得到的3種情況如圖6所示。

圖6 雙臂并聯機器人理論正奇異位形Fig.6 Theoretical positive singular dislocations of the two-armed parallel robot

在圖6（a）位形，2個從動臂和末端完全展平時，驅動關節轉角（，）將無法控制末端中心坐標（，）的移動；在圖6（b）、（c）中的虛線位形，2個從動臂形成了平行四邊形，可以自由移動，相當于多了一個不受控制的自由度，此時即使驅動關節轉角（，）確定情況下，末端中心坐標（，）無法確定。所以這3種位形屬于正運動學奇異位形。

將實驗并聯機器人的臂長參數代入式（12），可得到驅動關節轉角（，）和其行列式值J的關系，三維曲面與行列式值det（J）0平面相交為一條曲線，如圖7所示。因此，可以判斷，正奇異位型不止一個點，而是相交曲線上的所有點，都為發生正奇異位形的點。

圖7 驅動關節角度（θ1，θ2）和其行列式值Jx的關系Fig.7 Relationship between the driving joint angle（θ1，θ2）and its determinant value Jx

在實際的機器人實驗臺上，可以很容易地擺出正運動學奇異位形的形態，如圖8所示。正奇異位形不止一個位置，只要平行于，都是奇異位形。另外，實驗機器人由于從動臂長度大于主動臂長度，可知、、、位于同一水平線的位形不存在；相應地，在圖7中相交的曲線也未反映出此奇異位形的存在。說明本文方法可以正確預測正運動學奇異位形的存在和姿態。

圖8 實驗機器人存在的正奇異位形Fig.8 Positive singular dislocations in the presence of experimental robots

5.3.2 逆運動學奇異位形的預測與失控分析

根據雙臂并聯機器人逆奇異位形的判定條件，可以判斷當、、位于同一條直線或者、、位于同一條直線，兩者至少有一個成立時，滿足逆運動學奇異位形的條件，即只要存在主動臂和從動臂處于伸直狀態，機器人就處于逆運動學奇異位形，如圖9所示。

對圖9中的逆奇異位形做相應分析，當主動臂和從動臂接近伸直狀態（呈180°），但還沒有完全伸直時，即如圖9（b）中的虛線部分，此時，機器人末端已經接近工作空間的邊緣。但此時若要求機器人末端以的速度向外移動到工作空間邊緣，分析可知，只要在工作空間內，機器人末端肯定可以通過正逆解計算到達工作空間邊緣。然而，當要求機器人末端以一個有限大的速度運動到工作空間邊緣時，驅動關節需要執行一個無窮大的角速度，顯然超過了電機驅動的實際能力。即在此處逆奇異位形，機器人末端在方向的自由度消失了，原因是主動臂角速度的切線方向與垂直，無法提供方向的運動。

圖9 雙臂并聯機器人逆奇異位形Fig.9 Two-armed parallel robots with inverse singular dislocations

6 結束語

本文針對雙臂并聯機器人機械結構，提出了用于求取運動學正逆解數學模型的方法，實現通過驅動關節轉動角度（，）控制機器人末端中心坐標（，）的運動軌跡，并確定機器人臂的有效工作范圍；提出了雙臂并聯機器人正逆運動學奇異位形的預測方法，給出了明確的判定條件。實驗證明了奇異位形存在性預測的正確性，分析了奇異位型所處的物理姿態和失控狀況。