某些子群為CSS-子群的有限群①

刁倩玉， 劉建軍

西南大學 數學與統計學院，重慶 400715

本文假設Md(P)中的元為G的CSS-子群或者S-擬正規嵌入子群， 將研究群G的結構．

引理1[6]設U為群G的S-擬正規嵌入子群，H≤G，K為G的正規子群， 則：

(i) 如果U≤H， 那么U為H的S-擬正規嵌入子群；

(ii)UK是G的S-擬正規嵌入子群，且UK/K是G/K的S-擬正規嵌入子群．

引理2[9]設H為群G的CSS-子群， 則：

(i) 如果H≤M≤G， 那么H為M的CSS-子群；

(ii) 設N?_G且N≤H， 則H是G的CSS-子群當且僅當H/N是G/N的CSS-子群；

(iii) 設π為素數集合，N為G的正規π′-子群， 如果H為G的π-子群， 則HN/N是G/N的CSS-正規子群．

引理3[8]設p為素數，P為G的一個p-子群． 如果P是G的SS-擬正規子群， 則P與G的每個Sylowq-子群可置換， 其中q≠p．

引理4[13]設N為群G的一個正規子群(N≠1)． 如果N∩Φ(G)=1， 則N的Fitting子群F(N)是G的包含在F(N)里的極小正規子群的直積．

定理1設p為|G|的素因子，P為G的Sylowp-子群． 如果G為p-可解群，且某固定的Md(P)中的每個元是G的CSS-子群或S-擬正規嵌入子群， 則G為p-超可解群．

證假設定理1結論不成立，且設G為極小階反例． 設

Md(P)={P1，…，Pd}

我們按下列步驟證明定理1：

步驟1Op′(G)=1．

假設Op′(G)≠1． 由于POp′(G)/Op′(G)是G/Op′(G)的Sylowp-子群， 并且

POp′(G)/Op′(G)?P

因此可得

Md(POp′(G)/Op′(G))={P1Op′(G)/Op′(G)，…，PdOp′(G)/Op′(G)}

由引理2和引理1知，PiOp′(G)/Op′(G)(i=1，…，d)是G/Op′(G)的CSS-子群或S-擬正規嵌入子群， 從而G/Op′(G)滿足定理條件． 由G的極小性知G/Op′(G)為p-超可解群， 故G為p-超可解群， 矛盾．

步驟2Φ(P)G=1， 從而Op(G)為初等交換群．

假設Φ(P)G≠1， 則

Md(P/Φ(P)G)={P1/Φ(P)G，…，Pd/Φ(P)G}

由引理2和引理1知，Pi/Φ(P)G(i=1，…，d)是G/Φ(P)G的CSS-子群或S-擬正規嵌入子群． 從而G/Φ(P)G滿足定理條件， 由G的極小性知G/Φ(P)G為p-超可解群． 故G/Φ(G)為p-超可解群， 從而G為p-超可解群， 矛盾．

步驟3 所有包含在Op(G)中的G的極小正規子群都是p階循環群．

由步驟1及G為p-可解群知Op(G)>1． 任取G的極小正規子群N且N≤Op(G)． 如果N≤Φ(P)， 則由步驟2可知N≤Φ(P)=1， 矛盾． 所以N≤/Φ(P)． 不妨設N≤/P1∈Md(P)． 令N1=N∩P1， 則

|N∶N1|=|N∶N∩P1|=|NP1∶P1|=p

根據假設，P1為G的CSS-子群或S-擬正規嵌入子群． 我們斷言N是p階循環群．

情形1 若P1是G的CSS-子群， 則存在G的正規子群K， 使得G=P1K，且P1∩K是G的SS-擬正規子群． 由N的極小性知N∩K=1，N．

如果N∩K=1， 則NK/K是G/K的極小正規子群． 由于

G/K=P1K/K?P1/P1∩K

為p-群， 于是N?NK/K為p階循環群．

如果N∩K=N， 即N≤K， 則

P∩K=NP1∩K=N(P1∩K)

是K的Sylowp-子群． 令Kq為K的Sylowq-子群， 其中q≠p， 則Kq也是G的Sylowq-子群． 由引理3知

(P1∩K)Kq=Kq(P1∩K)≤G

于是

N1=N∩(P1∩K)=N∩(P1∩K)Kq?_(P1∩K)Kq

由步驟2知，N為交換群， 故N1?_N． 因此

N1?_〈N，(P1∩K)Kq：q∈π(G)，q≠p〉=K

易知

N1=N∩P1?_P1

所以

N1?_P1K=G

由N的極小性知N1=1，且N為p階循環群．

情形2 若P1是G的S-擬正規嵌入子群， 則存在G的S-擬正規子群H， 使得P1是H的Sylowp-子群． 于是對任一Q∈Sylq(G)， 其中q≠p， 有HQ=QH， 即HQ是G的一個子群． 則

N1=N∩P1=N∩HQ?_HQ

且由步驟2可得N為初等交換群， 從而N1?_N． 于是

N1?_〈N，HQ：Q∈Sylq(G)，q≠p〉=G

由N的極小性知N1=1，且N為p階循環群．

步驟4 極小階反例不存在．

由步驟1、步驟2及已知可得

CG(Op(G))=Op(G)

如果存在G的極小正規子群N， 使得

N≤Op(G)∩Φ(G)

由步驟2和步驟3可知，N在P中有補． 根據文獻[14]的定理17.4， 假設N在G中有補M． 又因N≤Φ(G)， 故G=NM=M， 矛盾． 于是

Op(G)∩Φ(G)=1

再由引理4知

Op(G)=N1×N2×…×Nr

其中Ni為G的極小正規子群，且|Ni|=p(i=1，…，r)． 由G/CG(Ni)≤Aut(Ni)知，G/CG(Ni)為p-超可解群． 故

為p-超可解群， 于是G為p-超可解群， 矛盾．

注1在定理1中， 假設“G是p-可解群” 是必不可少的． 比如， 取G=A5，p=5． 則G的每個Sylow 5-子群的極大子群都是單位元群， 顯然是G的CSS-子群，也是S-擬正規嵌入子群． 但是G不是5-超可解群．

推論1設p為|G|的任一素因子，P為G的Sylowp-子群． 如果G為可解群，且某固定的Md(P)中的每個元是G的CSS-子群或S-擬正規嵌入子群， 則G是超可解群．

定理2設p為|G|的素因子且p為奇素數，P為G的Sylowp-子群． 假設NG(P)是p-冪零群且某固定的Md(P)中的每個元是G的CSS-子群或S-擬正規嵌入子群， 則G為p-冪零群．

證假設定理2結論不成立，且設G為極小階反例． 設

Md(P)={P1，…，Pd}

我們按下列步驟證明該定理：

步驟1Op′(G)=1．

證明同定理1．

步驟2 若P≤H

因為NG(P)是p-冪零群， 且NH(P)≤NG(P)， 所以NH(P)是p-冪零群． 根據引理2和引理1知，Pi(i=1，…，d)是H的CSS-子群或S-擬正規嵌入子群． 即H滿足定理2的條件． 由G的極小性知，H是p-冪零群．

步驟3G=PQ， 其中Q為G的Sylowq-子群，q≠p．

如果對P的所有特征子群T，NG(T)都是p-冪零的． 顯然P≤NG(T)． 于是

NG(T)=P|×Op′(NG(T))

由T?_NG(T)知

Op′(NG(T))≤CG(T)

所以NG(T)/CG(T)是p-群． 根據文獻[15]知G為p-冪零群， 矛盾． 故存在P的非平凡特征子群T， 使得NG(T)是非p-冪零的． 選取T， 使得T的階足夠大． 從而對于任意滿足T

NG(P)≤NG(T)

因為NG(T)是非p-冪零群， 則由步驟2可得，NG(T)=G， 即T?_G． 于是對于滿足

1≠T≤Op(G)

的P的特征子群K，NG(K)都是p-冪零的． 故NG(K)/CG(K)是p-群， 從而NG/Op(G)(K/Op(G))/CG/Op(G)(K/Op(G))也是p-群． 再次根據文獻[15]可知，G/Op(G)是p-冪零的， 從而G是p-可解的． 由文獻[16]的定理6.3.5知， 對任意q∈π(G)，q≠p， 存在G的Sylowq-子群Q， 使得PQ≤G． 若PQ

Q≤CG(Op(G))

又因G為p-可解群且Op′(G)=1， 于是

CG(Op(G))≤Op(G)

矛盾， 故G=PQ．

步驟4 極小階反例不存在．

由步驟1和步驟3知Op(G)> 1． 設N為G的任一包含在Op(G)里的極小正規子群． 若N≤Φ(P)， 則N≤Φ(G)． 易證商群G/N滿足定理2的條件， 則由G的極小性知，G/N為p-冪零群． 從而G為p-冪零群， 矛盾． 于是N≤/Φ(P)． 不妨設N≤/P1， 即P=NP1． 同定理1可證N為p階循環群． 所以N在P中有補． 根據文獻[14]的定理17.4可知，N在G中有補， 即存在M≤G， 使得G=N×|M． 顯然N≤/Φ(G)． 故

Op(G)∩Φ(G)=1

再由引理4知

Op(G)=N1×N2×…×Nr

其中Ni為G的極小正規子群，且

|Ni|=pi=1，…，r

于是

P≤CG(Ni)i=1，…，r

從而

故P=Op(G)， 從而G=NG(P)為p-冪零群， 矛盾．