基于球諧函數的單花形生成及應用

金 耀, 李文軒

(浙江理工大學 信息學院,杭州 310018)

面料花形可為紡織品注入藝術附加值,有力提高紡織品的市場競爭力,是紡織品設計的重要組成要素[1]。傳統的人工設計方式通常需要設計師在短時間內挖掘創作靈感,對設計師要求較高,較難適應當前“快節奏”的個性化市場需求。而利用計算機數字化技術生成花形圖案(又稱數字藝術圖形)能夠有效地解決傳統設計所存在的問題。數字藝術圖形能高效地生成大量富于變化且具藝術美感的花形,因此可為傳統紡織品花形設計提供大量新型素材,并為設計師帶來創作靈感,使其顯著地提高設計效率,同時能夠有效地避免版權問題。

數字藝術圖形類型較多,如分形圖形[2-3]、動力系統圖形[4-5]、均勻隨機網圖形[6-7]、準規則斑圖[8-10]等。這些圖形雖生成原理各異,但均具有復雜多變、藝術美感豐富等特點。分形圖形是一種具有自相似性、結構復雜的數字藝術圖形,按其生成方法又可分為L-系統圖形、IFS(迭代函數系統)圖形、復動力系統圖形等,且其研究工作一直充滿活力[2-3]。動力系統圖形基于離散動力系統理論,是對混沌動力系統迭代過程進行可視化的結果[11]。均勻隨機網與準規則斑圖均基于弱混沌理論生成[8-9],前者是對磁場粒子運動軌跡可視化的結果,其骨架結構變化豐富,具有精細線條排列的效果;后者對哈密頓算子進行平滑操作,其具有規則性、對稱性、造型豐富、時尚型突出等特點。

不同類型的數字藝術圖形風格迥異,在眾多領域有著廣泛應用,尤其在紡織品設計中受到人們的青睞。一般而言,數字藝術圖形作為素材往往需要從中提取單花形,并通過二次設計進行設計應用。張聿等[6]基于均勻隨機網圖形進行絲綢紋織設計。丁玲聰等[12]基于廣義牛頓迭代圖形,以松果造型為靈感源設計絲巾紋樣。賈鳳霞等[13]通過疊加多項式生成Julia集圖形,將其應用于設計科幻星空為靈感源的服裝紋樣。洪潘等[14]根據紡織品圖案流行趨勢,使用準規則斑圖設計具有英倫格子和蘇格蘭格等傳統風格的格子圖案。潘寒菲[1]同樣基于準規則斑圖并借鑒不同的靈感源設計絲巾圖案。然而,這些方法在進行二次設計時存在如下問題:分形或均勻隨機網圖形雖能生成具有獨立結構的單花形,但需要大量的調參篩選出合適的圖形;準規則斑圖或動力系統所生成的圖形往往鋪滿整個圖像空間,需借助軟件經繁雜的交互式分割提取單花形。

為高效地生成單花形圖案,本文提出一種基于球諧函數的數字藝術圖形生成方法。該方法利用等高線分割法將具有“星型”特點的球諧函數曲面投影成二維單花形圖形,使之能直接作為設計的基本元素,避免繁瑣的元素提取步驟;同時,該方法變化形式更加容易控制,能夠根據特定系數控制圖形的對稱性。最后,本文結合鋪砌結構探索了該圖形在紡織品圖案與產品設計中的應用。

1 基于球諧函數的花形生成

1.1 球諧函數模型

球諧函數為定義在球面上的拉普拉斯算子的特征函數,作為一組標準正交基,通常用于逼近復雜的球面函數[15]。球諧函數在三維空間表示為一個封閉的“星形”曲面,其中心為球面函數的球心,且由中心沿著任意方向的射線與該曲面有且僅有一個交點。Paul Bourke[16]提出了一種顯式球諧函數,該函數具有8個參數,其表達式如下:

r=sin(m0φ)m1+cos(m2φ)m3+sin(m4θ)m5+cos(m6θ)m7

(1)

式中:r為曲面上的點到球心(通常設為坐標原點)的距離,φ為曲面上的點的位矢與z軸的夾角(0≤φ≤π),θ為曲面上的點的位矢在xOy平面的投影與x軸的夾角(0≤θ≤2π);mi(0≤i≤7)為球諧函數的系數,決定曲面的形狀,一般取為非負整數。為方便論述,本文稱mi(0≤i≤3)為φ相關系數,mi(4≤i≤7)為θ相關系數。

圖1為不同系數所生成的球諧函數曲面,可見其外形美觀,形態多樣。

圖1 三種球諧函數曲面Fig.1 Three spherical harmonic surfaces

1.2 單花形生成方法

借鑒準規則斑圖生成方法[10],本文對球諧函數曲面進行等高線分割以生成二維圖形。具體講,根據曲面的高度值z(僅考慮正數部分)劃分等高線,對位于相鄰等高線的點賦予相同的顏色,從而確保圖形顏色呈塊狀分布,避免“散點”問題。

由于該球諧函數難以求出高度z的解析解,若采用數值解法則將增加計算量,降低圖形的生成效率,因此本文不采用逐像素的方法(依次計算每個像素對應的高度z),而是使用垂直投影的方法生成圖形。首先將曲面離散化,對經緯向的角度(θ,φ)進行均勻采樣,并將其剖分成四邊形網格;然后根據四邊形面片上其中一個頂點的高度z劃分等高線族,并依次對所有四邊形面片進行平面著色;最后使用垂直投影法將所有四邊形面片投影至xOy平面,最終生成二維圖形。其具體步驟如下:

1) 設置基本參數:φ相關系數,θ相關系數,以及球坐標系下離散曲面的角度分辨率a×b,其中a、b分別為經緯方向角度采樣分辨率。

2) 計算采樣角度步長du、dv,公式如下:

(2)

式中:du為球坐標系下θ軸方向的步長;dv為球坐標系下φ軸方向的步長。

3) 設置等高線數目、各等高線之間的距離及所對應的顏色。為使圖形顏色分布盡量均勻,根據高度z對曲面進行等距劃分。通常可根據均分高度值,使各等高線間的距離相同。等距劃分的公式如下:

c=|(z/d)modq|

(3)

式中:q為等高線數目;d為各等高線間的距離;z為曲面上一點的高度;c為等高線序號,向下取整可以將相近的等高線融合,使圖形顏色呈塊狀分布。

通過式(3)可以計算出等高線序號,等高線序號一致的點將被賦予相同的顏色。

4) 定義球坐標系下曲面上點的序號(nθ,nφ),其中nθ=0,1,2,…,a-1;nφ=0,1,2,…,b-1。依次遍歷網格曲面頂點的編號,每次遍歷時先根據下式計算出(nθ,nφ)對應的(θ,φ):

(4)

根據式(1)依次計算出(θ,φ),(θ+du,φ),(θ,φ+dv),(θ+du,φ+dv)對應的r,然后根據下式計算出相應的四個三維直角坐標:

(5)

若(θ,φ)對應的曲面高度z為正,則將(θ,φ)對應的曲面高度z代入式(3),并計算得到等高線序號,用等高線序號對應的顏色和四個三維直角坐標進行四邊形面片的繪制,其中著色方式使用平面著色。遍歷結束,完成三維網格曲面的繪制。

5) 將三維曲面垂直投影到xOy平面,生成相應的二維圖形。圖2展示了球諧函數的三維曲面和對應的二維投影。

圖2 球諧函數圖案Fig.2 Graphs generated by spherical harmonic function

1.3 對稱花形構造

對稱是設計美學的一個重要原則,傳遞平衡穩定之美感。球諧函數在特定條件下表現出多種對稱性,主要包括反射對稱和旋轉對稱。由于圖形生成方法沿z軸進行垂直投影,球諧函數曲面最終被投影到xOy平面,θ為曲面上的點的位矢在xOy平面的投影與x軸的夾角,因此圖形的對稱性與θ有關。

為使圖形具有關于x軸的反射對稱性,則高度函數z需滿足式(6),即將式(5)中的高度函數z代入式(6),然后化簡得到式(7)。根據三角函數的周期性可知,無論m6、m7取何值(定義域范圍內),式(7)中的cos項必定滿足等式,因此僅需考慮sin項。當m5為偶數時,式(7)中的sin項滿足等式,此時圖形具有關于x軸的反射對稱性。

z(φ,θ)=z(φ,2π-θ)

(6)

(7)

為使圖形具有關于y軸的反射對稱性,則需滿足式(8),即將式(5)中的高度函數z代入式(8),再化簡得到式(9)。同樣,根據三角函數的周期性,當m4為奇數或m5為偶數時,式(9)中的sin項滿足等式;當m6為偶數或m7為偶數時,式(9)中的cos項滿足等式;當兩項同時滿足要求,則圖形具有關于y軸的反射對稱性。

z(φ,θ)=z(φ,π-θ)

(8)

(9)

此外,為使圖形具有k-旋轉對稱性,則需滿足下式:

(10)

由于對稱性與φ無關,本文僅考慮式(1)中θ對應的兩個三角函數項,則有如下兩種情況。

1) 當該兩個三角函數項均被啟用時(指數均不為0),兩者周期應為倍數關系,且較大者應為T,公式如下:

(11)

式中:Tsin為sin項的周期;Tcos為cos項的周期。

由式(1)可知,影響Tsin的系數是m4、m5,影響Tcos的系數是m6、m7。其中m4、m6為角頻率,m5、m7為指數。當指數為偶數時,三角函數周期為奇指數的1/2。因此可以得到sin項和cos項的周期計算公式為:

(12)

2) 當該兩個三角函數項僅有一項被啟用時,則無需考慮兩者的倍數關系,啟用項的周期應等于T,仍可根據式(12)計算得到。

綜上,若要使圖形具有k-旋轉對稱性,需首先根據式(10)計算得到T,然后選擇三角函數項的啟用數量(2或1)。若啟用數量為1,則需根據式(12)設置啟用項系數使其周期等于T;若啟用數量為2,則需根據式(12)設置θ相關系數,使式(11)成立。

2 實驗與討論

本文使用C++編程語言并借助OpenGL圖形庫(使用其提供的內置函數實現垂直投影)進行實驗,分別探討了等高線分割方式和球諧函數系數對生成圖形的影響,并基于實驗探索了控制圖形變化形式的規律。

2.1 等高線分割方式

為探討等高線分割方式對生成圖形的影響,本文分別設置了不同等高線分割數目、不同等高線間距及不同的色彩主題,生成相應的圖形。

圖3展示了等高線分割數目對圖形的影響結果,其中d=0.16,mi={1,5,5,0,2,6,2,2}。由圖3可見,等高線數目增加后,圖形顏色數增加,并從內向外循環交替,而圖形內部色彩紋理和外部輪廓均保持不變。這是由于等高線間距離未隨等高線數目增加而增加,各顏色所占區域面積未受影響。

圖3 不同等高線分割數目所生成的花形圖案Fig.3 Flower-like patterns generated from different partitionnumbers of the contour line

圖4展示了等高線間距離對圖形的影響結果,其中q=3,{mi}={1,5,5,0,2,6,2,1}。由圖4可見,等高線間距較小時,色彩層次較多,圖形紋理感較強;隨著等高線間距離增加,同種顏色所占區域的面積增大,圖形色彩層次減少,紋理感減弱。這是由于等高線間距離增大,融合的相近等高線數量增多,使得同種顏色所占區域的面積增大,從而使得色彩層次變少。

圖4 不同劃分距離的球諧函數花形圖案Fig.4 Spherical harmonic flower-like patterns withdifferent partition distances

圖5展示了色彩主題對圖形的影響結果,其中q=3,d=0.35,{mi}={12,0,5,0,3,6,3,0}。調整各等高線序號所對應的顏色,即可改變圖形的色彩主題。圖5所選色彩主題依次為“復古”“溫暖”“寒冷”“光明”“黑暗”“自然”“童話”“清新”“狂野”。由圖5可見,色彩主題的改變不會影響圖形紋理和外部輪廓形狀,但能使圖形風格有較大的變化。使用者能夠根據自己喜好進行色彩搭配,并將圖形應用于不同主題風格的設計中。

圖5 不同色彩主題的球諧函數花形圖案Fig.5 Spherical harmonic flower-like patterns with different color themes

綜上不難發現,等高線分割方式的改變僅會影響圖形的內部樣式,包括顏色數、色彩紋理、色彩主題等,并不會影響圖形的外部輪廓,因為外部形狀由球諧函數的參數決定。

2.2 球諧函數系數

為探討球諧函數系數對生成圖形的影響,本文設置不同的θ和φ相關系數,利用同一等高線分割法生成圖形,其中q=3,d=0.33,并選用同一組配色。

θ相關系數由m4、m5、m6、m7組成,其中m4、m5控制θ對應的sin項,m6、m7控制θ對應的cos項;m4、m6為角頻率,m5、m7為指數。首先討論啟用一項三角函數對圖形的影響,將m1、m3、m5置0,避免其他三角函數項的干擾。圖6展示了m6、m7系數對球諧函數圖形的影響,小標題的8個整數對應球諧函數的8個生成系數mi(i=0,1,2,…,7)。由圖6可見,圖形呈現花瓣狀且具有旋轉對稱性,當m7為奇數時,圖形“花瓣數”即旋轉倍數k等于m6,各“花瓣”具有相同的紋理結構和外部輪廓,如圖6(a～c)所示。當m7為偶數時,圖形“花瓣數”等于m6的兩倍,如圖6(d～f)所示。這是由于僅啟用一項三角函數時,無論系數取何值(定義域范圍內),旋轉對稱性的構造條件必滿足,式(10)中T等于啟用項的周期。因此,根據式(12)計算啟用項的周期,當m7為奇數時,旋轉倍數k等于m6;當m7為偶數時,旋轉倍數k等于m6的兩倍。

圖6 m6、m7系數控制的球諧函數花形圖案(m5=0)Fig.6 Spherical harmonic flower-like patterns controlledby parameters m6 and m7 (m5=0)

接下來討論啟用θ系數對應的兩項三角函數對圖形的影響,m5不置0。圖7展示了m4、m5、m6、m7系數對圖形的影響。由圖7可見,當啟用兩項三角函數時,圖形整體外部輪廓較圖6產生更復雜的變化,這是由于不同θ系數的選取會滿足不同的對稱性條件。由于圖7(a)的球諧函數中m4為奇數,m6為偶數,因此圖形關于y軸反射對稱。圖7(c)由于m5為偶數,因此圖形關于x軸反射對稱。同一圖形可能呈現多種對稱性,如圖7(b)同時具有旋轉對稱性,以及關于x軸和y軸的反射對稱性,這是由于其θ相關系數同時滿足三類對稱性的構造條件。

圖7 m4、m5、m6、m7系數控制的球諧函數花形圖案(m5≠0)Fig.7 Spherical harmonic flower-like patterns controlled byparameters m4, m5, m6 and m7 (m5≠0)

不難發現,θ相關系數的改變會使圖形整體外部輪廓產生變化,不同系數搭配會使圖形具有不同的對稱性。圖形內部色彩紋理保持不變,圖形顏色過渡自然,幾何結構鮮明,符合人的自然審美。

φ相關系數由m0、m1、m2、m3組成,其中m0、m2為角頻率,m1、m3為指數項。圖8展示了m0、m1、m2、m3系數對生成圖形的影響結果。圖8(a)為未啟用φ相關系數的圖形,圖8(b～c)為啟用φ相關系數的圖形。相較于圖8(a),圖8(b～c)內部色彩紋理發生改變,但圖形外部輪廓并沒有發生變化,這是由于φ相關系數與對稱性無關。

圖8 m0、m1、m2、m3系數控制的球諧函數花形圖案Fig.8 Spherical harmonic flower-like patterns controlledby parameters m0, m1, m2 and m3

上述實驗結果表明,θ相關系數影響圖形的外部輪廓,φ相關系數影響圖形的色彩紋理,當啟用θ相關系數中一項三角函數時,圖形必定具有旋轉對稱性,且對稱倍數容易控制。當啟用θ相關系數中兩項三角函數時,不同的系數搭配會使圖形具有不同的對稱性,由此可以生成外部輪廓更加復雜多樣的圖形。當啟用φ相關系數或改變等高線分割方式時,可以改變圖形的內部樣式,使圖形種類更加豐富。

因此,在進行調參時可首先設置θ相關系數控制外部輪廓的變化,然后設置φ相關系數和等高線分割方式,控制圖形內部樣式的變化。圖9展示了利用該思路生成的部分圖形。由圖9可見,該方法能夠較為方便地生成“變化豐富”且具有自然美感的數字藝術圖形。

圖9 球諧函數花形圖案Fig.9 Spherical harmonics flower-like patterns

3 設計應用

由上述計算機實驗可知,基于球諧函數的花形圖案具有如下特點:花形獨立成形,形狀既似自然花瓣狀,又具獨特的抽象風格。為此,本文將這類花形應用于紡織品圖案及產品設計實踐中。總體設計過程概括為:挖掘靈感源,定位消費者人群,生成與主題風格相符的球諧函數圖形,進行二次設計,最后模擬仿真。

3.1 靈感源

雪花是冬天特有的晶體產物,其獨特的藍白配色給人帶來清澈透明的感受,能夠凸顯純凈的氣息。本文以此為靈感源,借鑒雪花配色,利用球諧函數方法生成相似風格的圖形,并在此基礎上進行紡織品圖案的設計。

3.2 消費者人群定位

雪花風格主題的消費者人群以18～25歲的女大學生及新入職女性為主,該目標人群的典型特點是充滿青春活力,內心純潔,對未來生活充滿向往,善于接受新事物。

3.3 球諧函數圖形生成

本文選用淺藍、深藍、白三色生成球諧函數圖形,其中q=3,d=0.33,生成圖形如圖10所示。圖10(a)為“三花瓣”樣式,其基本結構為正三角形;圖10(b)呈現“六花瓣”樣式,其基本結構為正六邊形。

圖10 雪花風格的花形Fig.10 Patterns with snowflake styles

3.4 圖案二次設計

傳統的紡織品圖案設計多采用二方連續或四方連續的方式對花形進行空間布局構圖,其紋樣節奏均勻,韻律統一。鋪砌是指通過鋪砌塊無縫且不交叉地覆蓋平面的方法,可以分為周期性鋪砌和非周期性鋪砌,其中周期性鋪砌是指支持在兩個非平行方向上的平移對稱變換方法,其在視覺上表現為一種無線重復可延伸的圖案,且在紡織品設計中得到了應用[17]。為豐富構圖形式,本文將鋪砌應用于圖案布局,結合所生成的球諧函數花形圖案進行二次設計。阿基米德鋪砌是一種基本的周期性鋪砌結構,其鋪砌塊為正多邊形,例如正三角形、正四邊形、正五邊形等,圖11(a)展示了由正三角形和正六邊形構成的鋪砌結構,圖11(b)展示了由正八邊形和正四邊形組成的鋪砌結構。

圖11 阿基米德鋪砌結構Fig.11 Structures of Archimedean tilings

由于生成的花形圖案具有一定的幾何結構,因此將圖10(a)作為三角形鋪砌塊,圖10(b)作為六邊形鋪砌塊,并結合圖11(b)所示的鋪砌結構進行設計,得到如圖12(a)所示的紡織品圖案。進一步地,在圖11(b)所示的鋪砌結構的基礎上,使用更多的球諧函數花形作為鋪砌塊并對圖案結構進行微調,得到如圖12(b～c)所示的紡織品圖案。相較于如圖13所示的二方連續結構,使用鋪砌理論設計的紡織品圖案具有更豐富的表現形式,局部變化多樣,又不失整體諧和。

圖12 結合鋪砌的雪花紡織品圖案Fig.12 Textile patterns designed with snowflake patterns

圖13 二方連續下的雪花紡織品圖案Fig.13 Textile patterns designed with spherical harmonicpatterns (two-dimension series)

3.5 產品效果圖模擬

結合鋪砌方法所設計球諧函數花形的紡織品圖案疏密有致,圖形層次清晰,并且鋪砌結構的多樣性使該類圖案的構圖變化豐富;同時,由于該類圖案的基本元素由球諧函數模型生成,具有一定的對稱性和相似性,使得該類圖案具有協調統一之感;再者,該類圖案的色彩風格由球諧函數圖形決定,而球諧函數圖形的色彩風格可以自由控制,能夠產生不同的視覺效果。相較于其他紡織品圖案,該類圖案具有更多變化形式并能夠保證圖案整體的和諧統一,能夠適用于不同風格的設計主題和不同類型的紡織品設計。

本文設計的具有雪花風格的圖案便可應用于不同的紡織產品設計中,如絲巾、抱枕、地毯、窗簾等。為驗證其可行性,本文使用Photoshop軟件設計產品實物,并模擬產品圖案的設計效果。圖14分別展示了圖12三個圖案應用于絲巾、抱枕、地毯的設計效果。由圖14可見,基于球諧函數所設計的圖案應用于不同產品,其風格既有典雅明快、純凈通透的視覺效果又各有自身的特色。

圖14 三種紡織品的模擬效果示意Fig.14 Design sketches of three textile products

本文方法可根據設計意圖,利用圖形的對稱性條件選擇合適的參數生成理想花形,具有較強的可控性;其次,由于其結構簡單、獨立成形的特點,使其無需進行元素提取而直接配上構圖,即可生成紡織品圖案,從而大大提高了設計效率。

4 結 語

本文提出了基于球諧函數的單花形數字藝術圖形生成方法,并給出了不同對稱性的圖形構造條件。計算機實驗表明,利用球諧函數方法生成的圖形具有單花形特點,能直接作為設計的基本元素,且圖形的變化形式容易控制。仿真實驗進一步表明,該圖形應用于紡織品圖案與產品設計是可行的。未來將進一步針對基于球諧函數的花形生成方法,研究更為多樣的圖形控制方法及圖形矢量化技術,從而為設計師進行二次設計提供更為便捷的手段。

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