適度綜合，注重“概念”認知的深度考量
——關于“周長”概念測評題的設計與說明

浙江省嘉興市南湖區教育研究培訓中心 費嶺峰

浙江省嘉興一中實驗經開學校 李亞群

測評題命制是學生學習質量評價的重要內容之一，命制過程需要依據課程目標、學習目標及學生當下的學習狀況三個方面的內容。與傳統的測評題相比，素養理念下的測評題不僅需要了解學生在知識理解、技能掌握方面的表現狀況，還需要對學生的學習素養做出診斷與把握，以便有利于教師在后續的教學中為發展學生的學習素養提供全面的幫助。概念認知作為小學數學教學的重要內容，當然也不例外。以下結合幾道關于“周長”概念的理解與應用的測評題，就核心素養理念下的“概念”認知的測評題命制，談一些想法與實踐。

周長是什么？周長屬于一維長度的范疇。對周長概念的認知，一般包括認識、理解與應用等幾個水平層次。傳統的測評題編制過程中，相對單一的指向一個維度的測評更多些，比如指出或測量、或計算某個圖形的周長等。這在測評學生對概念的認知過程中也是必要的。但核心素養理念下的測評，需要在了解學生對概念的認識、理解與應用水平的同時，適度考慮測評題對分析、綜合、評判甚至創造的要求，在測評學生基礎知識理解與基本技能掌握的基礎上，關注學生數學基本活動經驗與基本數學思想方法的形成、應用水平，從而體現素養立意測評的特征與意義。

典型題例1：下面的圖形有周長嗎？如果有，請用水彩筆描出它的周長。

[內容]人教版數學三年級上冊“長方形和正方形”單元“周長”的相關知識。

[設計意圖說明]“長度”是認識圖形的重要維度之一，而“周長”又是認識平面圖形的重要內容。認識周長、理解周長的含義，是“周長”概念學習的重要目標。傳統教學中，對學生是否認識了周長、理解了周長的含義，一般的檢測會以單個的圖形進行（比如就上題中的某個圖形請學生做出描述或判斷）。這樣的測評題當然能對學生對周長概念的認識水平有一定的了解，但相對單一，對學生綜合分析與判斷的能力的關注相對弱化。以上測評題則以多個圖形整體呈現，請學生做出判斷，并要求有“描”這樣的操作要求跟進，對學生關于“周長”概念的認知狀況的了解則會更加全面。在實際解答時，學生一般會出現以下三種情況：

情況一：能夠對圖1、圖2做出準確判斷，對圖3、圖4的判斷則較為困難。

圖1

圖2

圖3

圖4

情況二：能夠對圖1、圖2做出準確判斷的同時，對圖4也能做出準確判斷，即能夠正確描出圖4整個圖形的周長（外面一圈）。

情況三：能在對圖1、圖2和圖4做出準確判斷的基礎上，還能對圖3進行準確描述，即能夠描出圖3中三角形的周長（因其也是一個封閉圖形）。

以上三種結果，反映了學生對“周長”概念理解的三種水平。情況一，表明學生對“周長是指封閉圖形一周的長度”的基本認識是有的，但深度理解不足，延展力不夠，當出現一些干擾因素時，判斷圖形的周長就會出現困難；情況二，表明學生對圖形周長的概念相對比較清晰，不受圖形內部信息的干擾；情況三，表明處于此水平的學生深度理解了“周長”的含義，對他們來說，只要發現封閉的平面圖形，便能夠描述這個圖形的周長。對于對周長具有此認知水平的學生，結合圖4進行追問，學生還有可能表述出不同圖形的周長，即除了可以描述整個圖形的周長，還可以描述圖中兩個小長方形的周長。

此題一般在本節內容學習后用來對學生的學習狀況進行檢測，當然也可以在單元練習中作為了解學生對周長概念理解狀況的測評題。

典型題例2：下面的長方形被分成甲、乙兩個部分，哪個部分的周長比較長？請寫出你的想法。

[內容]人教版數學三年級上冊“長方形和正方形”單元“周長”的相關知識。

[設計意圖說明]同樣作為“周長”內容學習后即時跟進的測評題，與上一題相比，本題有更高的分析與綜合的要求，不僅考查學生對周長概念的理解，同時也將圖形的特征納入分析中，考查學生綜合應用知識分析和解決問題的能力。相對來說，此題對學生的素養要求更高。另外，在平時的考查中，我們一般只需得出結果。但在素養立意的測評中，我們還需要學生表達出相關的思考過程，以便更加準確地把握學生的思維狀態，了解學生解答此問題的過程。實際解答時，有學生受了“面”的直觀大小的干擾，做出了錯誤的判斷（即或甲周長大于乙周長，或甲周長小于乙周長。上圖中回答后者的可能性更大些，因為甲的面積明顯小于乙的面積），解答正確的學生會表現出以下兩種思路：

思路一：量出長方形的長和寬，再量出中間那條曲線的長度，然后分別將長、寬與曲線的長度加起來后進行比較。

思路二：根據長方形“對邊相等”的特征進行推理。即甲圖形的周長是“長+寬+曲線的長度”，乙圖形的周長也是“長+寬+曲線的長度”，因為甲、乙兩個圖形的周長均是以“長方形的長、寬的長度和+公共曲線的長度”來計算的，所以兩個圖形的周長是一樣的。

以上兩種思路，反映了學生對圖形周長的理解是正確的，但在解答問題時，其思維水平還是有差異的。產生思路一的學生，對圖形的周長是理解的，即“圍成這個封閉圖形的所有邊的長度之和”，當然，其思維顯然處于需要得到具體的“量”才能判斷結果的水平；產生思路二的學生，能夠結合圖形的特征，對問題進行綜合分析，在理解周長含義的基礎上，借助圖形特征進行推理，其對“量”的理解、信息的綜合分析水平顯然高于思路一的學生。

類似的測評題還有如“下圖中大正方形的周長是小正方形周長的幾倍”這樣的題。同樣是在“面”的干擾下，檢測學生對周長的本質“圖形一周的長度”的理解水平。解此題首先要找到大正方形的周長，再根據大正方形與小正方形邊的關系（小正方形邊長的2倍是大正方形的邊長）來判斷大正方形周長與小正方形周長的倍數關系。當然，此題受到“面”的干擾可能更大一些，更適合用于學完“面積”與“周長”知識后，作為概念比較與辨析時的檢測題。

典型題例3：如下圖，兩個完全一樣的直角梯形拼成了一個長方形。其中一個直角梯形的周長是多少？

[內容]人教版數學四年級上冊“平行四邊形和梯形”內容中圖形特征的相關知識。

[設計意圖說明]認識平面圖形一般有兩條路徑，即從“邊”的角度來認識與從“角”的角度來認識。“周長”即是從“邊”的角度，基于長度屬性來認識平面圖形。學生在三年級學習了“周長”后，在四年級“平面圖形的認識”中，再次出現“周長”的相關知識，這也是幫助學生全面建構圖形特征必不可少的過程。題干內容表述文字雖然不多，但涉及的知識點卻有長方形、梯形、周長的概念等，具有較強的綜合性。本測評題作為2022年某市四年級期末檢測試卷中的習題，學生在解答時出現的幾種典型錯誤如下：

錯誤一：直接計算長方形的周長，即（16+30）×2=92（cm）。

錯誤二：計算了長方形的周長，再除以2，即（16+30）×2=92（cm），92÷2=46（cm）。

錯誤三：計算了長方形的面積，再除以2，即

16×30=480（cm），480÷2=240（cm）。

三種典型錯誤，第一種錯誤是由于學生審題不清，后兩種錯誤則反映了四年級學生在“周長”概念的認識上仍然存在著問題。問題一（即錯誤二），學生對在復雜情境中對梯形周長的認知不清，將其簡單化為整個圖形周長的一半，實質也是在“周長”概念表象建立過程中出現了問題；問題二（即錯誤三），學生混淆了“面積”與“周長”的二維與一維屬性，這也是學生在學習了“面積”相關知識后，時常會出現的問題，實屬正常情況。同時也表明，在新知學習后將舊知與新知結合起來考查學生對知識的整體把握情況，有著極為重要的現實意義。

在對正確的答案進行分析后，發現學生的解答思路主要表現為兩種：

思路一：16+30+18=64（cm）。用此種方法解答的學生，對平面圖形周長的認識相當清楚。要求這個直角梯形的周長，就是求直角梯形上底、下底和兩條腰的長度和。根據圖中的相關信息，兩條腰的長度已知（16cm和18cm），上底和下底的長度分別是多少雖然不知道，但它們的長度之和是30cm。于是將這些長度加起來，即為這個直角梯形的周長。

思路二：（16+30）×2＝92（cm），92÷2＝46（cm），46+18＝64（cm）。從思維水平來說，用此種思路解答且正確的學生，其對周長概念的理解還是相當深刻的，而且思維水平也比較高。因為他們不僅知道求直角梯形的周長就是求上、下底和兩腰的長度和，同時也知道可以借助整個圖形去思考解決這個問題。即在算出長方形周長的一半時，還能夠將18cm這條腰的長度加上去。這表明：這部分學生不僅知道梯形的周長是哪一部分，還能夠厘清直角梯形與拼成后的長方形之間的關系。顯然，他們的高階思維能力也比較強。

典型題例4：超市牙膏“買一送一”。將下圖這樣的兩盒牙膏用透明膠帶綁起來，綁一圈至少需要多少厘米長的透明膠帶？（膠帶重疊的部分忽略不計）

[內容]人教版數學五年級下冊“長方體和正方體”與“周長”的相關知識。

[設計意圖說明]“周長”作為一種圖形認識中的長度屬性，同樣也是認識立體圖形特征時的重要維度之一。這也是圖形認識從一維到二維再到三維的一個系統建構的過程。同時也表明，將孤立的數學知識納入知識系統中進一步理解也是數學學習系統性的基本特點，還是學生綜合分析能力發展的重要過程。顯然，此題將周長知識結合立體圖形的認識進行考查，便具有了更強的綜合性。這對學生的空間想象能力與概念應用能力的要求更高。學生在解答此題時出現的兩種典型思路事實上也正反映了不同的思考與解決問題的水平。

思路一：算出綁扎一個牙膏盒所需要的膠帶長度，然后乘2，再去掉重合的兩條邊的長度。當然，以這樣的思路來解答此問題時需要理解，兩盒牙膏重疊起來時，所求膠帶長度其實由原來的“8條邊長（8個4cm）的和”變成了“6條邊長的和”，中間2條邊重合后，就不屬于周長部分了。因此，用此種思路解答的學生，很容易在這個點上出現錯誤，可能不會去掉這兩條邊，還有可能只去掉一條邊。

思路二：直接計算一個長8cm、寬4cm的長方形的周長。以此種思路解答這道題的學生，其腦海中已經建構了兩個盒子重疊后，算所綁膠帶長度的問題其實就是求一個長方形周長的問題。這個過程對學生的空間想象能力要求比較高，同時要求學生對圖形的特征及圖形拼組后“邊”的變化有較為清晰的認知。值得注意的是，本題題干中并沒有出現“周長”字眼，學生需由一個長方體想象兩個同樣的長方體拼組后的立體圖形，并通過問題情境的描述，還能從立體圖形中抽象出一個平面圖形。能夠這樣思考并解決這個問題的學生，其思維水平已經比較強了，因此解題的正確率也會比較高。

另外，此測評題的綜合性還體現在，除了結合生活情境、具有現實意義，從“量感”發展的角度來看，將“周長”概念的理解置于抽象的數學分析中，周長概念的應用經歷了一個從“線”到“面”再到“體”的直觀演進過程，同時在解決問題的過程中卻又經歷了一個從“體”回到“面”再到“線”的抽象概括過程。事實上，這也是周長概念系統化建構的必要過程，因為對周長概念的理解當然不能停留于對線的理解水平，它應該被納入圖形認知的系統中，在發展周長“量感”的同時，經歷從一般的直觀感知理解水平上升到直觀想象甚至數理抽象的認識過程，以真正將“周長”上升到長度維度作為認識圖形、發展空間觀念的重要內容。這也許就是適度綜合測評題的意義與價值。