考慮加固樁軸力的層狀土坡地震穩定性分析方法

王 瑄 肖世國

(1.西南交通大學， 成都 610031；2.西南交通大學高速鐵路線路工程教育部重點實驗室， 成都 610031)

抗滑樁或加固樁是邊坡或滑坡治理中一種常用的有效措施。對于樁體加固坡體，在其抗震設計中，合理確定地震作用下樁體內力和臨界滑動面，是關鍵環節之一。

以往有一些方法用于分析加樁邊坡的靜力和地震穩定性。其中，數值模擬方法可全面考慮坡體與樁體性質，但由于建模操作的復雜性及不確定性，在實際工程設計中有時存在計算效率低、不便操作等問題[1-5]。擬靜力法是實際邊坡工程設計中處理地震力最為常用的方法[6]，極限平衡方法是樁體加固邊坡穩定性分析的一種較簡單方法[7-9]，二者結合可分析樁體加固邊坡的地震穩定性。針對普通極限平衡法理論上的不嚴密性[10]，塑性極限分析法[11]可視為分析樁體加固邊坡穩定性問題的一種相對更加嚴密的理論方法。Ausilio等[12]采用極限分析上限法，分析了樁體加固均質土坡的穩定性；Nian等[13]考慮土體的非均質性與各向異性，采用極限分析上限法對樁體加固土坡的穩定性進行了分析；Li和Pei[14]則采用極限分析上限法討論了加固樁合理設樁位置；Xiao等[15]基于兩個對數螺旋滑面分別位于樁排的上、下坡土體中，求出設計安全系數下樁的最大側向凈推力和相應的臨界滑動面；蔣贛猷[16]建立了樁體加固二級土坡地震穩定性的擬靜力法極限分析模型；Gong等[17]采用極限分析上限法對樁體加固的各向異性非均質邊坡進行了地震穩定性分析。

在以往采用極限分析方法進行樁體加固土坡穩定性研究中，對樁的作用一般僅考慮其在滑面處剪力和彎矩所做的功率，而忽略了樁體軸力的作用，即假定樁體軸力方向通過滑體轉動中心。然而，當樁軸力相對較大(如地震工況)且方向遠離旋轉中心時[14,18-20]，樁軸力的功率是不可忽視的，其對樁阻力、樁長和滑面位置的確定都有不同程度的影響。Li和Xiao[21]針對樁體加固的均質二級土坡地震穩定性，基于擬靜力法，采用上限定理且考慮樁體軸力作用，得到了更保守的樁身剪力上限解。此外，以往關于樁體加固土坡的極限分析研究多針對均質土坡進行，較少涉及多層土質邊坡。

鑒于此，本文針對樁體加固多層土質邊坡的地震穩定性問題，考慮樁體軸力的影響，采用擬靜力法，基于塑性極限分析上限定理，建立加固樁所提供的抗力與坡體設計安全系數、地震影響系數等因素間的定量關系，進而討論不同地震條件下諸重要因素對樁體剪力和臨界滑動面的影響特征。

1 分析模型與公式推導

1.1 分析模型

對于層狀土坡的臨界滑動破壞機構，可考慮為對數螺旋破壞模式[22-24](圓弧滑面為其特例)，為不失一般性，本文采取過坡腳外任一點的對數螺線式滑裂面，且假定樁體足夠長，滑面從樁體中間穿過，如圖1所示。

圖1 樁體加固的層狀土坡分析模型圖

以樁體加固的3層土坡為典型示例具體闡述。在圖1中，對數螺線式潛在滑動面BDFIH的旋轉中心為O，點D、F、I分別為潛在滑動面與土層分界線和加固樁的交點，ω為滑體繞O點旋轉的角速度。滑面BDFIH的幾何方程可寫為：

r(θ)=ris×e(θ-θis)tanφi

(1)

式中：r——滑面上任一點的矢徑(m)；

θ——滑面上任一點的矢徑與水平向夾角/(°)；

i——土層編號，由坡頂向下依次為1、2、3；

ris——各土層滑面起點B、D、F的矢徑(m)；

θis——各土層滑面起點B、D、F的矢徑的水平傾角/(°)；

φi——相應各土層的內摩擦角/(°)。

根據圖1中所示的幾何關系，有：

(2)

(3)

(4)

[sin(θ3e+α1)×e(θ1e-θ1s)tanφ1×e(θ2e-θ2s-tanφ2×

e(θ3e-θ3s)tanφ3-sin(θ1s+α1)]}

(5)

r2s=r1se(θ1e-θ1s)tanφ1

(6)

r3s=r1s×e(θ1e-θ1s)tanφ1×e(θ2e-θ2s)tanφ2

(7)

(8)

(9)

h0=rpsinθp+ltanβ-H-r1ssinθ1s-L1sinα1

(10)

式中：X——滑面與邊坡底面交點到坡腳(圖1中G點)的距離(m)；

H——坡高(m)；

β——坡角(°)；

β′——圖1中輔助線AH的傾角(°)；

β′1——圖1中輔助線CH的傾角(°)；

β′2——圖1中輔助線EH的傾角(°)；

η——邊坡底面傾角(°)；

Hi——各土層的層高(m)；

rie——各土層滑面終點D、F、H的矢徑(m)，其中r1e=r2s、r2e=r3s；

θie——各土層滑面終點D、F、H的矢徑的水平傾角(°)，其中θ1e=θ2s、θ2e=θ3s；

α1——坡頂面傾角(°)；

α2、α3——層面傾角(°)；

L1——滑面與坡頂面的交點(圖1中B點)到坡頂的距離/m(圖1中A點)；

L2、L3——滑面與層面的交點(圖1中D、F點)到坡面與層面的交點(圖1中C、E點)的距離(m)；

h0——樁體受荷段長度(m)；

rp——樁與滑面的交點的矢徑(m)；

θp——樁與滑面的交點的矢徑的水平傾角(°)；

l——從設樁位置到坡腳的水平距離(m)。

1.2 公式推導

1.2.1 滑體重力功率Wg

對于圖1所示模型，采用疊加方法，可得滑體重力所做的功率Wg為：

Wg=ω[γ1(f1-f2-f3+f4)+γ2(f5-f4-f6+f7)+γ3(f8-f7-f9-f10)]

(11)

式中：γ——土體重度/(kN·m-3)；

f1～f10——與θ1s、θ2s、θ3s、θ3e、β＇相關的單位厚度滑體的功率計算系數(分區依次為對數螺旋線區域OBD、三角形區域OAB、OAC及OCD、對數螺旋線區域ODF、三角形區域OCE與OEF、對數螺旋線區域OFH、三角形區域OEH與EHG)。

f1～f10表達式分別為：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

式中：OA、OC、AC、OE、CE——圖1中線段長度(m)；

P1——三角形區域OAC的半周長(m)；

P2——三角形區域OCE的半周長(m)。

1.2.2 水平地震力功率Wkh

按照擬靜力法，將水平地震力簡化為水平地震影響系數與滑體重力之積。于是，水平地震力所做功率Wkh可表示為：

Wkh=ωkh[γ1(f11-f12-f13+f14)+γ2(f15-f14-f16+f17)+γ3(f18-f17-f19-f20)]

(29)

式中：kh——水平地震影響系數；

f11～f20——與θ1s、θ2s、θ3s、θ3e、β′相關的單位厚度滑體的功率計算系數(與重力功率計算時的分區相同)。

f11～f20表達式依次為：

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

1.2.3 豎向地震力功率Wkv

由于豎向地震力與重力同向，采用擬靜力法，由式(11)可得豎向地震力功率Wkv為:

Wkv=ωkv[γ1(f1-f2-f3+f4)+γ2(f5-f4-f6+f7)+γ3(f8-f7-f9-f10)]

(40)

式中：kv——豎向地震影響系數。

1.2.4 內部能量損耗率Dc

滑動機構內能耗散率Dc發生在速度間斷面BDFIH上，分為3段(相應于3個土層)，每段均可采用積分方法確定，其表達式為:

(41)

(42)

式中：ci——各層土體的黏聚力(kPa)；

fc——關于θ1s、θ2s、θ3s、θ3e的函數。

fc可表示為：

(43)

1.2.5 加固樁作用功率Ep

在滑面處樁身存在彎矩、剪力和軸力，其彎矩與軸力均可近似以剪力表達[20]，即:

M=mh0Q

(44)

(45)

于是，加固樁內力所做功率為：

EP=ω(QrPsinθP+NrPcosθP-M)

(46)

式中：m——加固樁受荷段凈坡體推力(后側推力-前側抗力)的合力作用點到滑面距離與受荷段長度比值，若將凈坡體推力視作三角形或矩形分布，則m為1/3或1/2；

M——單位厚度下滑面處樁體彎矩(kN)；

Q——單位厚度下滑面處樁體剪力(kN/m)；

N——單位厚度下滑面處樁體軸力(kN/m)；

γp——樁體重度(kN/m3)；

Ap——樁的橫截面面積(m2)；

S——樁間距(m)；

μ——樁側表面與土體的摩擦系數。

1.3 樁體剪力求解

根據極限分析上限定理[11]，外力功率與內能損耗率應滿足:

Wg+Wkv+Wkh=EP+Dc

(47)

將式(11)、式(29)、式(40)、式(41)、式(46)代入式(47)，經整理可得：

(48)

對于在設計安全系數為Fs的情況下，可通過強度折減法對土體剪切強度參數進行折減，以確定加固樁需提供的相應剪力。其中，強度折減表達式為：

(49)

(50)

式中：c′i——折減后各層土體的黏聚力(kPa)；

φ′i——折減后各層土體的內摩擦角(°)。

由于在極限狀態下加固樁需提供的剪力應取極大值以滿足穩定性要求，所以，樁體剪力Q與獨立自變量θis、θp、θ3e、β′之間應滿足：

(51)

同時，還需滿足設樁位置和滑面位置間的約束條件，即：

(52)

由此，根據式(48)、式(51)和式(52)可計算搜索確定(數學規劃求解)加固樁的剪力極大值及相應的臨界滑面。具體可通過MATLAB(主要以fmincon函數)或其他軟件編程實現，不再贅述。

此外，需要說明的是，對于加固坡體如果采用圓弧滑面，同樣可按照本文考慮樁體軸力的模式分析樁體作用，即樁體軸力對抗滑或下滑力矩的作用，但此時一般需采取傳統的極限平衡法(圓弧滑動條分法)計算。由于極限分析上限定理得到的是樁體提供剪力的上限值，所以，若采用傳統圓弧滑動條分法，其得到的樁體剪力值一般小于本文方法的計算結果。即，本文方法計算結果比圓弧滑動條分法的結果可能相對偏保守。

2 實例分析與驗證

2.1 實例一

樁體加固的均勻土質邊坡[18]如圖2所示，樁體重度γp=25 kN/m3，橫截面面積Ap=2.25 m2，樁間距S=3 m。受荷段抗力視作三角形分布，即m=1/3，樁土摩擦系數μ取0.3，加固邊坡設計安全系數Fs=1.5。

圖2 樁體加固的均質土坡實例圖(m)

在水平地震影響系數kh分別為0、0.05、0.1的情況下，由式(48)、式(51)和式(52)計算搜索得到的樁體剪力及坡體臨界滑動面分別如表1和圖3所示。在kh=0時，本文結果與Nian等結果(沒有考慮軸力)較吻合，本法相對略小，偏差為4%；但隨著kh的增加，兩法計算的剪力偏差呈現遞增趨勢，當kh=0.1時，本法結果相對增高約20%；但坡體臨界滑動面差異并不顯著。由于兩種方法(考慮與不考慮軸力)在坡體滑動機制上沒有大的差異，偏差原因之一可能在于是否考慮樁體軸力作用。此外，由圖3可知，在“樁體足夠長，滑面從樁體中間穿過”的假定前提下，隨著地震影響系數的增大，臨界滑面深度逐漸增大，滑體范圍逐漸擴大，進而導致樁體軸力的影響隨之增大(見式(45))，使得兩種算法的剪力值差異隨之亦顯著增大。

表1 實例一樁體剪力結果對比表

圖3 實例一坡體臨界滑動面圖(m)

2.2 實例二

一樁體加固的3層土坡實例如圖4所示，坡體的物理力學參數如表2所示，樁體主要參數(同實例一)如表3所示，加固坡體設計安全系數Fs=1.25。

圖4 樁體加固的3層土坡實例圖(m)

表2 實例二坡體主要物理力學參數表

表3 樁體參數表

根據式(48)、式(51)和式(52)，以kh= 0、kh=0.1和kh=0.2以及kv=0.5kh為例分別計算搜索得到相應的樁體剪力和坡體臨界滑面。同時，采用FLAC3D給出數值模擬結果驗證本文方法的合理性，數值模型如 圖5 所示，采取擬靜力法模擬地震力，土體采用理想彈塑性本構模型、關聯流動法則和Mohr-Coulomb屈服準則，且以樁單元模擬加固樁。理論推導和數值模擬計算結果如表4和圖6所示。

圖5 實例二數值模型圖(m)

表4 實例二樁體剪力計算結果表

圖6 實例二坡體臨界滑動面圖(m)

由表4可知，在靜力和地震條件下，本文方法與FLAC3D模擬得到的樁體剪力的相對偏差不超過7.1%，二者吻合良好。由圖6可知，本文理論方法搜索計算與數值模擬的坡體臨界滑動面位置也基本一致。綜上，本文提出的方法具有一定的合理性。

3 影響因素分析

由前述本文方法可知，坡體材料特性、水平與豎向地震影響系數、設樁位置、樁體截面尺寸以及層狀坡體的各土層厚度、各土層界面傾角、樁間距等因素都對樁身剪力和坡體臨界滑動面有影響。基于本文方法，以上述實例二相關參數為基本參數量，采用控制變量方式，分別討論這些因素的影響特征。

鑒于以往研究中關于坡體材料特性方面的討論較多，限于篇幅，這里不再予以討論(作者經大量試算發現其影響特征與以往結果具有一定的相似性)，而重點闡述其它因素。其中，為方便比較各土層厚度的影響，這里以相關的4種模型為例進行分析，即：(1)模型一：H1∶H2H3=111；(2)模型二：H1H2H3=121；(3)模型三：H1H2H3=112；(4)模型四：H1H2H3=211。

3.1 水平地震影響系數

kv=0.5kh條件下4種模型的樁體剪力隨kh變化曲線如圖7所示。4種情況下，隨著kh的增大，樁體所需提供的剪力均呈非線性增大趨勢。

圖7 樁體剪力隨水平地震影響系數變化曲線圖

3.2 豎向地震影響系數

當kh=0.2時隨樁體剪力kv變化曲線如圖8所示。在4種情況下，樁體剪力隨kv并非單調變化。當kv≤0.05時，隨著kv的增大，剪力值呈明顯非線性減小；當kv>0.05時，隨著kv的增大，剪力值則呈緩慢增大變化。

圖8 樁體剪力隨豎向地震影響系數變化曲線圖

3.3 設樁位置

考慮樁體軸力作用時，設樁位置與滑體旋轉中心的相對關系顯得尤為重要。下面以xp/Ls描述設樁位置，其中xp為樁中心距離坡腳的水平距離，Ls為坡面在水平方向的投影長度。樁體建立隨設樁位置變化曲線如圖9所示，在4種情況下，隨著設樁位置由坡腳向坡頂移動，樁體剪力均呈現先增后減的趨勢，在xp/Ls=0.25時達到最大值。實際設樁時宜避開這一位置，以適當減小樁體受力。

圖9 樁體剪力隨設樁位置變化曲線圖

3.4 加固樁直徑

樁體剪力隨樁身直徑的變化曲線如圖10所示。在 4種情況下，隨著樁徑的增大，樁體剪力均略呈非線性增大。

圖10 樁體剪力隨樁徑變化曲線圖

3.5 坡面及層面傾角

為便于比較，假定坡面傾角與各土層界面傾角一致且均為α。樁體剪力隨層面傾角變化曲線如圖11所示，在4種情況下，隨著α的增加，樁體剪力均呈顯著的非線性增大模式，而各模型之間的結果差異則逐漸縮小。

圖11 樁體剪力隨層面傾角變化曲線圖

3.6 土層厚度

由前述的4種層厚模型相關影響因素分析結果可見，在不同因素影響下，4種模型的樁體剪力大小關系始終相對不變，即：模型四剪力最大，模型三剪力最小，模型一和模型二介于其間，且模型二剪力略大于模型一。也就是說，對于3層土坡，樁體剪力受較軟弱土層的層厚影響較為顯著，該層相對層厚越大，樁體剪力就越大。但是，隨著設樁位置不斷靠近坡頂或者層面傾角逐漸增大，其影響逐漸減小。

4 結論

針對樁體加固的多層土質邊坡的地震穩定性，基于對數螺旋面滑動模式，采用極限分析上限法和擬靜力法，推導了考慮樁體軸力作用的樁體剪力表達式，得到主要結論如下：

(1)層狀土坡加固樁軸線未必通過坡體臨界滑面的轉動中心，樁體軸力對坡體穩定性存在影響。樁體軸力的功率可呈現于極限分析上限法確定在給定設計安全系數下樁體所需提供剪力的表達式中，通過極值原理可確定樁體提供的剪切阻力以及相應的坡體臨界滑面。

(2)在地震力作用下，隨著地震影響系數的增大，臨界滑面深度逐漸增大，層狀土坡滑體范圍逐漸擴大，進而導致樁體軸力的影響隨之增大，考慮樁體軸力所得到的樁體剪力值比忽略樁體軸力作用時結果偏大，且二者差異隨地震影響系數增大而增大。考慮軸力的方法偏于安全保守一面。

(3)本文方法可定量反映坡體材料特性、地震影響系數、設樁位置、樁徑、層面傾角、各土層厚度、樁間距等因素對樁體剪力的影響。其中，水平地震影響系數、層面傾角及設樁位置影響較大，樁體剪力與前兩者呈成顯著正相關性；隨著設樁位置由坡腳向坡頂移動，樁體剪力呈現先增后減的趨勢，其間存在最大值，實際設樁時宜避開這一位置；隨豎向地震影響系數增大，樁體剪力呈先減小后增大的變化特征，但整體上其對樁體剪力影響較小。

(4)對于多層土質邊坡，樁體剪力受較軟弱層的土層相對厚度影響顯著，其值隨較軟弱土層相對層厚增大而增加，但當設樁位置靠近坡頂或者層面傾角較大時，較軟弱土層相對層厚對樁體剪力影響減弱。