半直線上雙極等熵可壓縮Navier-Stokes-Poisson 方程組的穩(wěn)態(tài)解

王 雷 李 麗 黃紫光

（1.吉林財(cái)經(jīng)大學(xué)，吉林 長春 130000； 2.吉林省醫(yī)藥中等職業(yè)學(xué)校，吉林 長春 130000）

在半導(dǎo)體物理中，雙極等熵可壓縮Navier-Stokes-Poisson（以下簡稱NSP）方程組有著十分重要的應(yīng)用，它可以用來描述電子和空穴的輸運(yùn)現(xiàn)象[1]。本文討論定義在半直線上的雙極等熵定常的NSP 系統(tǒng)：

附帶邊界條件：

并且假設(shè)：

這里電子密度ρ1、空穴密度ρ2、電子速度u1、空穴速度u2和電場E為未知函數(shù)，而p(.)代表壓力函數(shù)，服從γ律，即具體表達(dá)式為：

p(ρ)=Kργ,K＞0,γ≥1.

此外，粘性系數(shù)μ＞0，全部邊界數(shù)據(jù)均為常值。背景摻雜函數(shù)D(x)=ρ1+-ρ2+，它可以不為零。

半直線上可壓縮NSP 方程組的研究已經(jīng)取得了一些進(jìn)展，Hong H 等[2]和Wang L 等[3]討論了單極等熵情形的外流問題和內(nèi)流問題，Duan R-J 等[4]研究了雙極等熵NSP 系統(tǒng)強(qiáng)解的整體存在性。Zhou F 等[5]給出了該強(qiáng)解對穩(wěn)態(tài)解的時(shí)間衰減速率。值得指出的是：上述雙極結(jié)果都是關(guān)于零摻雜情形的，其穩(wěn)態(tài)解本質(zhì)上是定常的可壓縮Navier-Stokes（簡稱NS）系統(tǒng)的解與零電場共同構(gòu)成的向量，因此無法反映重要的半導(dǎo)體電場效應(yīng)。

1 主要結(jié)果

鑒于物理上半導(dǎo)體摻雜性質(zhì)的重要性，本文討論非零常值摻雜情形下定常問題（1）-（2）的可解性。此時(shí)，定常的可壓縮NSP 方程組的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜，以至于不能效仿零摻雜情形的處理方式來求解。從而不得不另尋他法：首先將其轉(zhuǎn)化成五階的自治常微分系統(tǒng)，接著應(yīng)用穩(wěn)定流形定理，提出定常問題（1）-（2）解的存在性判據(jù)，同時(shí)給出空間衰減率。為此，我們需要按照下面步驟重構(gòu)原始問題。

1.在無窮區(qū)間[x,+∞)上積分質(zhì)量方程并且使用邊界條件推導(dǎo)出：

3.經(jīng)過簡單計(jì)算，我們推導(dǎo)出與定常NSP 方程組等價(jià)的自治常微分系統(tǒng)：

為了使解具有衰減性質(zhì)，我們先驗(yàn)地假設(shè)：

注1：對于雙極定常外流問題即u1b,u2b＜0，在無窮遠(yuǎn)漸近態(tài)處，當(dāng)電子和空穴均為非超音速流或非亞音速流并且δ足夠小時(shí)，定常問題（1）-（2）的解存在唯一。但是，當(dāng)它們一個(gè)為超音速流另一個(gè)為亞音速流時(shí)，該問題是否存在解仍是一個(gè)研究課題。

注2：對于雙極定常內(nèi)流問題即u1b,u2b＞0，在無窮遠(yuǎn)漸近態(tài)處，當(dāng)電子和空穴均為亞音速流或者一個(gè)為亞音速流而另一個(gè)為音速流并且δ足夠小時(shí)，定常問題（1）-（2）的解存在唯一。但是，當(dāng)它們皆為超音速流或者一個(gè)是超音速流而另一個(gè)是非超音速流時(shí)，該問題是否存在解仍是一個(gè)研究課題。

注3：我們只考慮了電子和空穴同為內(nèi)流或外流的情形。對于一個(gè)內(nèi)流一個(gè)外流的情形，目前不清楚：半直線上定常的NSP 系統(tǒng)是否可解？判據(jù)如何？解的性質(zhì)怎樣？

注4：這里參數(shù)δ滿足小性假設(shè)是技術(shù)性條件還是本質(zhì)要求，有待深入研究。

注5：與零摻雜情形相比，我們的穩(wěn)態(tài)解（也稱為邊界層）包含了非零電場，為數(shù)學(xué)物理中研究電場效應(yīng)提供了可能性。

2 定理的證明過程

證明：先證(i)。設(shè)u+=u1b=u2b=0，將常值向量(ρ1+,ρ2+,0,0,0)帶入到定常的可壓縮NSP方程組以及邊界條件中，容易驗(yàn)證：它是定常問題（1）-（2）的平凡解。

為原點(diǎn)處的雅克比矩陣，而非線性項(xiàng)的具體形式為如公式2。

顯然，F(xiàn)是光滑的向量值函數(shù)，并且在原點(diǎn)處成立F(0)=0,DF(0)=0。

設(shè)矩陣I是與矩陣A同階的單位陣，則矩陣A的特征方程為：

由零值性知，D(λ)=0 至少存在一個(gè)負(fù)根。

情形2：u+,u1b,u2b＜0,并且M1+＞1,M2+≥1 或M1+≥1,M2+＞1

由韋達(dá)定理知，代數(shù)方程D(λ)=0 的所有根之和為：

注意到u+＜0，故λ1+λ2+λ3+λ4＜0，于是，該方程必有一個(gè)具負(fù)實(shí)部根。

情形3：u+,u1b,u2b＜0,M1+=M2+=1

此時(shí)，直接求解方程：

因?yàn)榧蟵(M1+,M2+)│M1+＜1,M2+≤1 或M1+≤1,M2+＜1 或M1+＞1,M2+≥1 或M1+≥1,M2+＞1 或M1+=M2+=1}與集合{(M1+,M2+)│(M1+-1)(M2+-1)≥0}相等，所以事實(shí)上我們已經(jīng)在(ii)的假設(shè)下嚴(yán)格證明了：常微分方程組（3）的系數(shù)矩陣A至少存在一個(gè)具負(fù)實(shí)部的特征值。這里需要指出的是：技術(shù)上之所以能夠得到如此結(jié)果，矩陣A本身的結(jié)構(gòu)起到了關(guān)鍵作用。

最后，應(yīng)用穩(wěn)定流形定理到等價(jià)自治系統(tǒng)（3）-（5），立即得到：?δ＜＜1，使得常微分系統(tǒng)（3）在原點(diǎn)處存在唯一局部穩(wěn)定流形Ws。若則定常問題（1）-（2）存在唯一光滑解使得：

其中c＞0,λ＞0 至此，定理得證。