考研數學背景下行列式計算的歸納解析

呂 軍 庫福立 黃 華

(新疆農業大學數理學院 830052)

行列式是線性代數中的基本內容,最初源于對線性方程組的求解,是由德國數學家萊布尼茨和日本數學家關孝和于17世紀先后提出.當然行列式的應用不僅在于求解方程組,在物理學、力學、工程技術等方面都有著重要的應用.

對于一般的低階(二階或三階)行列式,可以直接利用對角線法則來計算,但對于高階(四階及以上)就沒有那么簡單.考生因高階行列式的形式較為復雜,所以在計算時會感覺較為吃力.雖然高階行列式結構較復雜,但是在計算時還是能夠根據其自身具有的特點來選擇適當的方法求解,這樣會使其計算變得更加簡單,起到事半功倍的效果.其實無論是低階還是高階行列式,其計算的中心思想就是“降階”和“化零”.本文在其中心思想下對高階行列式的計算進行了歸納總結,這樣會使考生在面對高階行列式時能夠運用巧妙的計算方法,從而提高行列式計算的能力.

1 行列式的定義

定義1由n個自然數1,2,…,n組成的一個沒有重復的有序數組i1i2…in稱為一個n級排列.n級排列一共有n!個.

定義2在一個n級排列中，如果一個較大的數排在一個較小數之前，就稱這兩個數構成一個逆序.一個排列中逆序的總數,稱為這個排列的逆序數，用τ(i1i2…in)表示排列i1i2…in的逆序數.

定義3由n2個元素aij(i,j=1,2,…,n)組成的記號

稱為n階行列式.其值是取自所有不同行不同列的n個元素的乘積a1j1a2j2…anjn的代數和,各項的符號由n級排列j1j2…jn所決定.即

2 行列式按行(列)展開定理

將n階行列式中的元素aij所在的第i行和第j列的元素劃掉，剩余的元素按原位置次序所構成的n-1階行列式,稱為元素aij的余子式,記為Mij.

Mij=

aij的代數余子式記為Aij,Aij=(-1)i+jMij.

設D=|(aij)n×n|為n階行列式,則

則行列式的任何一行(或列)的所有元素分別與它們所對應的代數余子式的乘積之和為行列式的值.

3 幾類行列式及其計算

3.1 抽象行列式

對于抽象行列式計算，不單單是考察行列式的計算，還涵蓋了與行列式相關聯的方陣、伴隨矩陣、逆矩陣等.在計算時要對上述概念的運算性質熟練掌握.

例1若A∈R3×3,又A=(a1,a2,a3),且|A|=4.再設B=(a1+2a2,3a1+4a3,5a2),求|B|.

解對矩陣或行列式進行初等行(或列)變換,

|B|=4|(a1+2a2,3a1+4a3,a2)|=4|(a1,3a1+4a3,a2)|

=4|(a1,4a3,a2)|=20|(a1,a3,a2)|=-20|A|=-80.

3.2 n階行列式

3.2.1 將行列式各行(或列)加到同一行(或列)中(適用于各行(或列)所有元素之和相等的情形).

解Dn=

=[a+(n-1)c](a-c)n-1.

3.2.2 所求行列式某一行(或某一列)至多有兩個非零元素(此時一般按此行(或此列))展開即可求解.

例3 計算n階行列式

解行列式第一行,第一列均只有兩個非零元素,現按第一列展開可得，

=xDn-1+an

由此遞推可得：

注：用此方法求解時,一般會得到一個遞推的關系式

Dn=pDn-1+qDn-2,

可用兩種方法求出行列式Dn的表達式：

(1) 首先計算D1,D2,D3等,通過D1,D2,D3找出遞推規律,再用數學歸納法進行證明即可；

3.2.3 利用范德蒙德行列式的結果來計算行列式

范德蒙德行列式：

例4計算行列式

Dn=

Dn=(x1x2…xn)n-1

由范德蒙德行列式可得：

總之,對于高階行列式的計算,由于其變化形式較多,其相應的計算方法也較多.某一種方法可能只適用于某些具有一定特點的行列式,所以考生在面對不同形式的行列式時,首先應觀察行列式所具有的特點,具體情況具體分析 ,從而體會、學習總結計算方法,通過練習,由淺入深,不斷積累計算經驗,從而進一步提高計算能力.