真實(shí)刀刃軌跡下的渦旋齒周銑瞬時厚度模型

劉 濤，王鴻宇，孫永吉，2

（1.蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050；2.蘭州工業(yè)學(xué)院，甘肅 蘭州 730050）

1 前言

渦旋盤是渦旋流體機(jī)械的關(guān)鍵零部件，其上渦旋齒具有型線構(gòu)成復(fù)雜、壁薄、剛性弱、表面精度高等特點(diǎn)。高速圓周銑削是實(shí)現(xiàn)渦旋齒側(cè)壁面高精度高效率加工的重要方式。在較小加工余量下，刀具結(jié)構(gòu)和加工零件的型面特征對銑削過程和表面質(zhì)量的影響作用凸顯，精加工切削用量選擇不當(dāng)會對渦旋齒銑削加工質(zhì)量造成較大影響。因此，研究銑削過程中的刀刃軌跡及瞬時銑削厚度變化規(guī)律，可為復(fù)雜曲面渦旋齒小切削用量精銑加工的切削用量選取提供理論依據(jù)和參考，更好地實(shí)現(xiàn)精加工表面精度控制[1]。

銑削厚度一般通過銑刀刀刃在待切工件上劃過的軌跡來計算，真實(shí)的刀刃軌跡可以保證銑削厚度的計算精度。針對傳統(tǒng)圓軌跡銑削厚度計算公式存在一定誤差的情況，文獻(xiàn)[2]提出了基于次擺線軌跡的銑削厚度及其誤差計算方法，并與傳統(tǒng)圓軌跡方法進(jìn)行了對比。文獻(xiàn)[3]將真實(shí)的刀刃切削軌跡引入不同的加工特征以分析切削厚度。文獻(xiàn)[4]基于真實(shí)刀刃軌跡通過幾何法對瞬時切削厚度進(jìn)行了計算。文獻(xiàn)[5]通過求解超越方程計算未變形切削厚度。上述研究對象均為銑刀中心相對工件沿直線運(yùn)動的銑削過程，對于銑刀中心沿圓弧軌跡運(yùn)動的情況，文獻(xiàn)[6]的研究表明基于每齒進(jìn)給量的銑削厚度簡化公式只適用于圓軌跡半徑比較大的情況。文獻(xiàn)[7]對渦旋齒側(cè)壁面徑向銑削厚度進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[8]的研究表明圓周銑削時刀具包絡(luò)面各點(diǎn)的進(jìn)給率與刀具軌跡半徑及點(diǎn)到切削中心的距離有關(guān)。

為實(shí)現(xiàn)復(fù)雜型面薄壁渦旋齒高精度、高效率銑削加工，文獻(xiàn)[9]研究可知刀具走刀方式和間距對加工質(zhì)量有重要影響。文獻(xiàn)[10]利用Taylor展開的數(shù)值方法計算得到真實(shí)刀刃軌跡下的瞬時厚度近似值。但考慮渦旋齒內(nèi)、外側(cè)壁型面特征及圓周銑削過程刀刃軌跡等因素的銑削厚度模型尚未見文獻(xiàn)報道。

推導(dǎo)了渦旋齒加工過程的真實(shí)刀刃軌跡，將幾何法[4]進(jìn)行改進(jìn)得到圓周銑削瞬時厚度數(shù)學(xué)模型，并與基于軌跡坐標(biāo)的厚度計算方法進(jìn)行對比，定量研究了工件、刀具和銑削參數(shù)等因素對銑削厚度的影響。研究結(jié)果對考慮刀具參數(shù)和型面特征影響的渦旋齒精銑加工切削用量選擇具有重要參考價值。

2 真實(shí)刀刃軌跡

銑削過程中刀刃的運(yùn)動軌跡是研究瞬時銑削厚度的基礎(chǔ)。在直線銑削過程中，刀具中心的軌跡為直線，如圖1（a）所示。對于圖1（b）所示圓周銑削過程，刀具中心軌跡為圓弧，直接采用直線銑削厚度計算公式會產(chǎn)生較大誤差，故需確定圓周銑削時刀刃的真實(shí)軌跡并據(jù)此計算瞬時銑削厚度。

圖1 銑削過程刀刃軌跡Fig.1 Tool Path in Milling Process

建模刀具采用銑削加工常見的圓柱立銑刀，設(shè)刀具半徑為r，刀刃過中心；刀齒數(shù)（刀刃數(shù)）為Z，刀齒均勻分布。

2.1 圓周銑削坐標(biāo)系定義

定義圖1（b）中直角坐標(biāo)系xOy為定坐標(biāo)系，O為被加工圓盤形工件圓心，同時是定坐標(biāo)系原點(diǎn)；x′O′y′為動坐標(biāo)系，原點(diǎn)在銑刀中心軸線上。初始時刻y′與y軸重合。

立銑刀沿順時針方向以角速度ω繞工件做圓周運(yùn)動，同時以自轉(zhuǎn)角速度ω1切削工件，則刀刃上任一點(diǎn)M相對于固定工件坐標(biāo)系xOy的運(yùn)動為絕對運(yùn)動，M點(diǎn)相對于刀具坐標(biāo)系x′O′y′的運(yùn)動為相對運(yùn)動，刀具相對于固定工件的運(yùn)動為牽連運(yùn)動。銑刀刀刃上任一點(diǎn)M劃過的路徑即為所求真實(shí)刀刃軌跡。

2.2 刀刃運(yùn)動軌跡

由圖1（b）可知，刀具中心O′在定坐標(biāo)系xOy下的坐標(biāo)為：

其中，α—刀具中心沿圓周轉(zhuǎn)過的角度，α=ωt；R，r—工件半徑與刀具半徑。則動點(diǎn)M在定坐標(biāo)系xOy（絕對坐標(biāo)系）下的坐標(biāo)為：

即M點(diǎn)隨時間變化的運(yùn)動軌跡方程為：

式中：(ω1+ω)t—時間t內(nèi)刀刃上一點(diǎn)M到刀具中心的連線相對于定坐標(biāo)系y軸轉(zhuǎn)過的角度。通過方程（2）可知，刀刃真實(shí)的軌跡為特殊擺線。采取同樣方法可得加工渦旋齒內(nèi)壁時的刀刃軌跡方程為：

根據(jù)軌跡方程式（2）及式（3）可知，刀刃真實(shí)軌跡形狀為特殊擺線，與直線銑削采用的圓軌跡有所差別。圓周銑削加工過程刀刃軌跡的形狀取決于被加工工件半徑R、銑刀刀具半徑r、刀具角速度ω1及刀具繞工件進(jìn)給角速度ω等參數(shù)。

3 渦旋齒圓周銑削厚度模型

3.1 傳統(tǒng)方法

直線銑削瞬時銑削厚度采用經(jīng)典公式：

式中：fz—銑刀每齒進(jìn)給量；θ—刀具中心角。

如圖1（a）所示，i—當(dāng)前刀刃軌跡；（i-1）—前一刃軌跡，刀刃過M點(diǎn)，且與前一刃軌跡相交于點(diǎn)N，|MN|即為兩刀刃間的瞬時銑削厚度。該方法假設(shè)刀刃軌跡為圓，適用于每齒進(jìn)給量fz較大的情況。圓周銑削時刀刃軌跡特殊，傳統(tǒng)方法不再適用，需采取更為合適的方法計算瞬時銑削厚度。

3.2 改進(jìn)的幾何法

外圓周銑削為例，如圖2所示。零時刻開始，銑刀沿工件圓周順時針轉(zhuǎn)過的角度為α，該時刻銑刀第i刃經(jīng)過點(diǎn)M，刀刃轉(zhuǎn)角為θ，與前一刃切削過的軌跡相交于點(diǎn)N，|MN|即為該時刻瞬時銑削厚度。

圖2 幾何法計算瞬時銑削厚度Fig.2 Calculation of Instantaneous Milling Thickness by Geometric Method

延長MN至B與OB垂直相交，連接OO′，得到∠OO′E=∠EO′B=β，則∠OO′B=α/2+β。由余弦定理得：

將各參數(shù)代入式（4），得到瞬時銑削厚度h的表達(dá)式為：

3.3 基于真實(shí)刀刃軌跡法

上述厚度計算模型是基于切削點(diǎn)的幾何位置關(guān)系得出，以下基于銑刀刀刃真實(shí)軌跡坐標(biāo)計算瞬時切削厚度。

3.3.1 銑削渦旋齒外壁

如圖3（a）所示，當(dāng)前銑削刃過MN位置時刻的刀刃轉(zhuǎn)角為θ，前一刃過N點(diǎn)時刻的刀刃轉(zhuǎn)角為(θ+δ)，則兩相鄰銑削刃轉(zhuǎn)角相位差為δ(θ)，由文獻(xiàn)［6］可知：

式中：k=fZ/2πR，其中，f=R?α。

設(shè)前一刃初始位置與y軸重合，過N點(diǎn)時刻為t0，則：

將式（6）代入前文得到的真實(shí)軌跡方程式（2），得到t0時刻N(yùn)點(diǎn)的真實(shí)坐標(biāo)值。

設(shè)相鄰刀齒間的齒間角φc=2π/Z，下一切削刃過MN時刻為t1，則：

將式（7）代入式（1），得到t1時刻刀具中心O′的位置坐標(biāo)：

則基于真實(shí)軌跡坐標(biāo)的瞬時銑削厚度為：

3.3.2 銑削渦旋齒內(nèi)壁

由圖3（b）可知，銑削內(nèi)壁與銑削外壁的區(qū)別在于刀具中心O′與工件中心O的距離發(fā)生了變化，即計算刀具中心點(diǎn)坐標(biāo)O′的公式發(fā)生變化；同時將式（6）代入銑削內(nèi)壁軌跡式（3），通過式（8）即可得到銑削渦旋齒內(nèi)壁時的瞬時銑削厚度。

圖3 銑削渦旋齒內(nèi)、外壁表面Fig.3 Milling the Inner and Outer Surface of Scroll Teeth

4 渦旋齒瞬時銑削厚度影響因素分析

刀具參數(shù)、工件參數(shù)及刀具工件相對運(yùn)動參數(shù)是影響加工表面精度的三個重要因素。針對渦旋齒精銑加工工況，選取一組參數(shù)作為初始條件對渦旋齒內(nèi)外壁瞬時銑削厚度進(jìn)行數(shù)值計算，參數(shù)選擇，如表1所示。

表1 渦旋齒銑削加工參數(shù)Tab.1 Machining Parameters of Scroll Teeth Milling

4.1 渦旋齒銑削厚度隨刀刃轉(zhuǎn)角變化情況

由式（5）可知，瞬時銑削厚度h與工件半徑R、銑刀半徑r、刀具沿圓周進(jìn)給角速度ω、刀具旋轉(zhuǎn)角速度ω1及刀刃轉(zhuǎn)角θ等均有關(guān)系。在一定的加工條件下，R、r、ω、和ω1等均為定值，故厚度h隨刀刃轉(zhuǎn)角θ變化而變化。采用直線銑削公式法、圓周銑削幾何法及基于真實(shí)軌跡坐標(biāo)銑削厚度計算方法得到的渦旋齒內(nèi)外壁瞬時銑削厚度隨刀刃轉(zhuǎn)角θ的變化規(guī)律，如圖4所示。

圖4 幾種不同厚度計算方法結(jié)果對比Fig.4 Comparison of the Results of Different Thickness Calculation Methods

由圖4（a）可知，三種方法計算出的外壁銑削厚度變化趨勢相同，瞬時銑削厚度先增大后減小。在θ∈(0，1.3)時直線銑削公式法得到的銑削厚度最大，圓周銑幾何法厚度最小；θ∈(1.3，2.0)范圍內(nèi)，三者計算出的銑削厚度幾乎相同。

利用真實(shí)軌跡法模型計算渦旋齒外壁面銑削厚度時，刀具中心角位置θ=1.6rad對應(yīng)的瞬時銑削厚度最大，約為0.162mm。

圖4（b）所示，在銑削渦旋齒內(nèi)壁面時，直線銑削公式法厚度最大值比幾何法和真實(shí)軌跡法高出約27%，說明在內(nèi)壁面銑削厚度計算中傳統(tǒng)的公式法誤差較大，已不再適用。

同一刀刃轉(zhuǎn)角θ下，外壁面瞬時銑削厚度均大于內(nèi)壁面瞬時銑削厚度，當(dāng)θ=1.6rad時，內(nèi)、外壁銑削厚度差值達(dá)到最大，內(nèi)壁瞬時銑削厚度比外壁銑小21%。

造成這一現(xiàn)象的原因是內(nèi)壁面銑削時由于刀具繞工件圓周運(yùn)動半徑縮短，導(dǎo)致相鄰兩銑削刃劃過的軌跡間距縮小，各刀具中心角度對應(yīng)的瞬時銑削厚度也隨之減小。

4.2 銑削厚度隨渦旋齒型線曲率半徑變化情況

刀具中心轉(zhuǎn)角θ=π/4時，渦旋齒型線曲率半徑R由50mm增大到70mm的過程中渦旋齒內(nèi)外壁面瞬時銑削厚度的變化情況，如表2 所示。可知隨著曲率半徑增大，瞬時銑削厚度呈增大趨勢，內(nèi)外壁銑削厚度差值在（15～22）%的范圍內(nèi)變化，說明圓周銑削過程中內(nèi)、外壁銑削瞬時切削厚度差值明顯，在實(shí)際加工中應(yīng)分情況考慮。

表2 不同型線曲率半徑內(nèi)外壁銑削厚度值Tab.2 Milling Thickness of Inner and Outer Wall with Different Curvature Radius of Profiles

4.3 銑削厚度隨刀具齒數(shù)變化情況

刀具齒數(shù)Z分別為2、3、4齒時，同一刀刃轉(zhuǎn)角下的瞬時銑削厚度不同，刀刃齒數(shù)越少，瞬時銑削厚度越大，如圖5所示。當(dāng)?shù)度旋X數(shù)為3和4時，瞬時銑削厚度在一定刀刃轉(zhuǎn)角范圍出現(xiàn)負(fù)值，說明其他參數(shù)不變，齒數(shù)增加會導(dǎo)致部分刀刃轉(zhuǎn)角出現(xiàn)“空切”現(xiàn)象，即當(dāng)前刀刃在部分轉(zhuǎn)角范圍劃過的軌跡被前一刃劃過軌跡包含，“空切”會導(dǎo)致功率損失，應(yīng)當(dāng)避免。

圖5 瞬時銑削厚度與刀具齒數(shù)的變化關(guān)系Fig.5 Relation Between Instantaneous Milling Thickness and Teeth Number

4.4 銑削厚度與進(jìn)給角速度及刀具角速度的關(guān)系

主軸角速度恒定時，刀具進(jìn)給角速度對瞬時銑削厚度的影響，如圖6（a）所示。銑削外壁時，進(jìn)給角速度由0.1rad/s 增大到0.4rad/s 的過程中，瞬時銑削厚度由0.035mm 線性增大至0.14mm。增大進(jìn)給角速度會顯著提高加工效率，但同時導(dǎo)致刀具受力增大而產(chǎn)生振動，需合理選取進(jìn)給速度。

圖6 瞬時銑削厚度與進(jìn)給轉(zhuǎn)速和刀具主軸的關(guān)系Fig.6 The Relation Between Instantaneous Milling Thickness and Feed Speed and Tool Spindle Speed

圖6（b）所示當(dāng)主軸角速度從10πrad/s逐漸增大到100πrad/s（主軸轉(zhuǎn)速從300 r/min增大到3000 r/min），瞬時銑削厚度呈減小趨勢，外壁銑削厚度均略大于內(nèi)壁，且角速度ω1∈(10π，100)厚度減小趨勢最為明顯；當(dāng)角速度增大到100rad/s以上時，瞬時銑削厚度值的減小速率逐漸放緩并趨于穩(wěn)定，可知在渦旋齒實(shí)際加工過程中將機(jī)床主軸轉(zhuǎn)速設(shè)置在3000r/min以上可得到較小銑削厚度，從而提高表面加工精度。

5 結(jié)論

通過定義刀具參數(shù)和相對運(yùn)動坐標(biāo)系建立了圓周銑削工況下刀刃的真實(shí)軌跡方程，分別采用改進(jìn)的幾何法和基于真實(shí)刀刃軌跡的方法建立了圓周銑削工況下的瞬時銑削厚度數(shù)學(xué)模型，該模型可用于在渦旋齒內(nèi)外壁面瞬時銑削厚度的計算。研究了刀具中心轉(zhuǎn)角θ、渦旋齒曲率半徑R、刀刃齒數(shù)Z、進(jìn)給角速度ω及主軸角速度ω1等因素對銑削厚度影響。

（1）建立的模型綜合考慮工件、刀具和銑削參數(shù)等的影響，較傳統(tǒng)直線銑削瞬時厚度計算方法更能準(zhǔn)確反映內(nèi)外壁銑削厚度的變化規(guī)律。

（2）隨著中心轉(zhuǎn)角θ的增大，瞬時銑削厚度先增大后減小，刀具中心角位置θ=1.6rad 時瞬時銑削厚度達(dá)到最大值0.162mm，同時內(nèi)外壁銑削厚度差值達(dá)到最大，內(nèi)壁銑瞬時銑削厚度比外壁小21%；隨著渦旋齒型線曲率半徑增大，瞬時銑削厚度呈線性增加；刀刃齒數(shù)越少，瞬時銑削厚度越大；進(jìn)給角速度由0.1rad/s增大到0.4rad/s，瞬時銑削厚度由0.035mm 線性增大至0.14mm；主軸角速度增大到100πrad/s以上時，瞬時銑削厚度趨于穩(wěn)定。建立的銑削厚度計算模型可為復(fù)雜型面渦旋齒精銑削加工切削用量的選取提供理論依據(jù)。