伺服驅(qū)動系統(tǒng)機電耦合動力學特性研究

朱永麗，易 鵬，王晶晶

（1.重慶工程職業(yè)技術學院智能制造與交通學院，重慶 402260；2.重慶清研理工汽車檢測服務有限公司，重慶 401329）

1 引言

伺服系統(tǒng)是一類包括驅(qū)動電機、傳動裝置、控制系統(tǒng)的機電耦合系統(tǒng)。機電耦合系統(tǒng)的機械耦合參數(shù)包括位移、力矩、速度和加速度等，電磁耦合參數(shù)包括電壓、電流和氣隙磁導等[1]。

伺服系統(tǒng)在復雜工況下工作時，由于傳動裝置剛度較小產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動會導致驅(qū)動電機轉(zhuǎn)子速度產(chǎn)生顯著波動。轉(zhuǎn)速波動同樣會使得驅(qū)動電機電磁場產(chǎn)生擾動，從而使電機繞組中的電流產(chǎn)生振蕩，進而引起電磁轉(zhuǎn)矩劇烈振蕩。電磁轉(zhuǎn)矩波動又會給系統(tǒng)帶來更大的振動。機電耦合振動會導致系統(tǒng)不穩(wěn)定工作，電機損壞和大規(guī)模安全事故。

伺服系統(tǒng)的動態(tài)性能會直接影響到產(chǎn)品的加工質(zhì)量；對系統(tǒng)的動態(tài)特性進行分析是提高加工精度的重要基礎[2]。文獻[3]基于Park變換和磁場Fourier級數(shù)理論，建立考慮空間、時間諧波的永磁同步電機非線性數(shù)學模型，研究轉(zhuǎn)矩脈動對機電耦合系統(tǒng)扭振特性的影響。文獻[4]基于電磁扭矩和轉(zhuǎn)速，驅(qū)動電機控制子系統(tǒng)與機械負載子系統(tǒng)構建形成機電耦合關系，分析了永磁直驅(qū)系統(tǒng)在多種工況下永磁同步電機輸出轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩以及刮板鏈的速度、加速度等動態(tài)特性變化規(guī)律，但并未考慮傳動裝置剛度大小對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。

文獻[5]通過建立集中式驅(qū)動電動車動力傳動系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動數(shù)學模型，提出考慮控制電機動態(tài)特性和傳動系統(tǒng)的機電耦合仿真方法，并對電機參數(shù)進行靈敏度分析，但未考慮傳動裝置參數(shù)變化。

電機和齒輪的運動是一類典型的非線性運動，要準確地分析動態(tài)特性，必須要對所建立的模型進行精確求解。文獻[6]采用機電系統(tǒng)分析動力學方法推導了機電耦合系統(tǒng)的動力學方程，并應用數(shù)值計算方法對耦合的數(shù)學模型進行分析。文獻[7]基于考慮時變瞬心、剛度的非圓面齒輪動力學模型，采用多階諧波平衡法求得近似解析解，分析各參數(shù)對振動響應的影響規(guī)律。

上述分析大多基于雙慣量系統(tǒng)進行建模，并用數(shù)值方法進行求解。數(shù)值方法求解經(jīng)過一系列的簡化過程，所以精確度不如諧波平衡法、多尺度法等解析方法。結(jié)合機械動力學、電磁學理論，建立包括電磁剛度的四慣量伺服系統(tǒng)機電耦合模型，采用諧波平衡法進行仿真求解，分析電機電磁剛度這一參數(shù)的變化對機電耦合模型的影響，并運用變步長4階Runge-Kutta數(shù)值方法進行驗證；從而形成一種機電耦合系統(tǒng)動態(tài)特性分析方法，為伺服系統(tǒng)先進控制技術研究提供前提。

2 伺服系統(tǒng)機電耦合系統(tǒng)模型

伺服系統(tǒng)運行過程中，各部件間的運動特性存在多變量耦合關系。傳動過程中，由于齒側(cè)間隙、時變剛度等非線性因素存在，會導致齒輪系統(tǒng)出現(xiàn)非線性振動，同時機械振動又與電機的電磁振動相互耦合，將對伺服系統(tǒng)的工作性能和可靠性產(chǎn)生不利影響，如圖1所示。

圖1 機電耦合模型示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Electromechanical Coupling Model

2.1 機電耦合模型

通過對電氣系統(tǒng)和齒輪傳動系統(tǒng)建模并忽略部分參數(shù)的影響，可以等效為四慣量機電耦合動力學模型，如圖2所示。

圖2 四慣量機電耦合分析模型Fig.2 Four Inertia Electromechanical Coupling Analysis Model

依據(jù)胡克定律及動力學分析，四慣量機電耦合系統(tǒng)振動微分方程為：

式中：θe—電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角；θ1—主動齒輪轉(zhuǎn)角；θ2—從動齒輪轉(zhuǎn)角；θL—負載轉(zhuǎn)角；Je、J1、J2、JL—電機、主、從動齒輪和負載轉(zhuǎn)動慣量；C1、C2—輸入與輸出軸扭轉(zhuǎn)阻尼大小；K1、K2—輸入和輸出軸扭轉(zhuǎn)剛度；Ke—電機電磁剛度；Te、TL—電機電磁轉(zhuǎn)矩和負載轉(zhuǎn)矩；R1、R2—主、從動齒輪基圓半徑；F（m）—齒輪動態(tài)嚙合力。

2.1.1 電機模型

永磁同步電機因結(jié)構簡單、易于控制等優(yōu)點廣泛應用于精密設備和伺服系統(tǒng)等領域。永磁同步電機通過定子的三相電流產(chǎn)生勵磁磁場，定子與轉(zhuǎn)子通過二者之間的磁場耦合，且存在著相對轉(zhuǎn)動。電機的三相繞組具有非線性、耦合強和時變的特點，對其直接進行相應分析困難較大。在電機建模過程中，經(jīng)常把三相交流繞組等效變換為兩相旋轉(zhuǎn)坐標直流繞組，以此簡化模型，減少耦合。并做出以下假設：

（1）不考慮磁路飽和以及相關鐵芯損耗，各繞組相關參數(shù)均為定值；（2）電機三相繞組分布對稱；（3）電樞電流為理想正弦電流，且轉(zhuǎn)子不存在阻尼繞組。

基于以上假設得：基于兩相旋轉(zhuǎn)坐標系電機模型如下，主要包括電壓方程、磁鏈方程及電磁轉(zhuǎn)矩方程。

定子電壓方程為：

定子磁鏈方程為：

電機轉(zhuǎn)矩方程為：

式中：Ud、Uq—定子電壓dq軸分量；id、iq—定子電流dq軸分量；R—定子電阻；ψd、ψq—定子磁鏈dq軸分量；ωe—電角度；Ld、Lq—dq軸電感分量；ψf—永磁體磁鏈；Pn—磁極對數(shù)。

電機運行過程中，定、轉(zhuǎn)子間存在著氣隙磁場，轉(zhuǎn)子磁場空間諧波對電機運行特性影響較為明顯[8]。因此，驅(qū)動電機的電磁剛度、阻尼等電氣參數(shù)會對機電耦合系統(tǒng)產(chǎn)生較大影響，特別是在如伺服驅(qū)動系統(tǒng)這一類精密傳動系統(tǒng)建模中應當充分考慮電氣參數(shù)對機電耦合系統(tǒng)的影響。

電機的定子和轉(zhuǎn)子通過電磁剛度聯(lián)系在一起，形成一個整體。而電磁剛度由電機特性所決定，對動力系統(tǒng)的動態(tài)分析有著重要的影響。電磁剛度定義為電機輸出電磁轉(zhuǎn)矩中電轉(zhuǎn)角的一次項系數(shù)[9]。電機電磁轉(zhuǎn)矩表達式，如式（4）。所以，電磁剛度表達式為：

式中：Ke—電磁剛度；θe—電磁轉(zhuǎn)角；C（θe）—坐標變換矩陣；L（θe）—電感矩陣；id、iq、if—dq軸的定子電流和永磁鐵的等效勵磁電流。

2.1.2 機械系統(tǒng)模型

基于伺服系統(tǒng)運行的特點，只考慮齒輪和軸的扭轉(zhuǎn)振動，不考慮傳動軸橫向、軸向和支承系統(tǒng)變形。利用集中質(zhì)量法建立單級齒輪傳動扭轉(zhuǎn)振動動力學模型，單級定軸齒輪嚙合模型，如圖3所示。圖3 中：θi（i=1，2）為主、被動齒輪扭轉(zhuǎn)振動位移；Ji（i=1，2）—主、被動齒輪轉(zhuǎn)動慣量；Ri（i=1，2）—主、被動齒輪基圓半徑；Cg—齒輪副嚙合阻尼；e（t）—齒輪嚙合綜合誤差；Km（t）—齒輪時變嚙合剛度。

圖3 齒輪傳動扭轉(zhuǎn)振動模型Fig.3 Torsional Vibration Model of Gear Transmission

齒輪傳動過程中的嚙合剛度和嚙合誤差隨時間變化而發(fā)生變化。為了準確地分析齒輪傳動過程的工作特點，將時變嚙合剛度和嚙合誤差均假設為僅考慮平均值和基頻分量的簡諧函數(shù)。齒輪時變嚙合剛度和嚙合誤差的表達式為：

式中：km—平均嚙合剛度；Am—時變嚙合剛度幅值；ωm—齒輪嚙合頻率；e0—輪齒誤差常量，一般取0；er—齒輪誤差幅值。

齒輪的齒側(cè)間隙常常被用來描述輪齒沿嚙合線方向的間隙。由于徑向間隙的存在，使得中心距發(fā)生變化，會導致齒側(cè)間隙的改變［10］。因此，齒側(cè)間隙在齒輪傳動過程中并非固定不變，齒側(cè)間隙函數(shù)常用分段函數(shù)表示。

式中：b—齒側(cè)間隙的一半；x—齒輪沿嚙合線上相對位移。

齒輪嚙合剛度的時變性是由于齒輪齒側(cè)間隙的存在，所以也導致系統(tǒng)輸入輸出轉(zhuǎn)矩同樣會產(chǎn)生波動；故將電磁轉(zhuǎn)矩Te和負載轉(zhuǎn)矩TL也表示為僅考慮定值和基頻分量簡諧函數(shù)。

直齒輪傳動時的嚙合力Fm主要由齒輪副嚙合阻尼引起的粘性嚙合力Fc和時變嚙合剛度引起的彈性嚙合力Fk組成［11］，則動態(tài)嚙合力的表達式為：

2.2 機電耦合動力學無量綱模型

2.2.1 無量綱模型

伺服系統(tǒng)選用電機為永磁交流伺服電機，傳動部分單對直齒輪傳動。研究伺服系統(tǒng)機電耦合動力學特性，由于電機、齒輪和負載等模型之間的參數(shù)量綱級差別很大，容易導致計算過程中產(chǎn)生誤差，并使計算速度變慢。因而，將機電耦合系統(tǒng)中各參數(shù)進行無量綱化，進一步加快模型求解速度。選擇b—位移量綱標稱尺度，τ—時間標稱尺度，取廣義坐標為：

式中：φ1、φ2—主、從動軸相對扭轉(zhuǎn)角；xp—考慮齒輪嚙合誤差齒側(cè)變形。

采用等式變換，將齒輪嚙合過程中的剛體位移消除，得到四慣量機電耦合模型如下：

無量綱化之后的物理量如下：

將式（14）代入式（13）并進行化簡，得機電耦合振動模型無量綱化模型如下：

式中：α—剛度波動系數(shù)；β—齒輪嚙合誤差波動系數(shù)；Ω—量綱一化嚙合頻率；f（q2）—量綱一化后的齒側(cè)間隙函數(shù)；D—量綱一齒側(cè)間隙值，這里D值—1。

2.2.2 模型參數(shù)計算

文獻［12］電機轉(zhuǎn)子-齒輪的系統(tǒng)參數(shù)選擇為：輸出扭矩Te為30N·m，負載轉(zhuǎn)矩TL為6N·m；齒輪模數(shù)為3mm，齒寬為48mm，齒數(shù)為40，齒輪尺側(cè)間隙的一半b=0.1mm；利用石川法計算得齒輪時變嚙合剛度的平均值Km=1.2×108N/m。計算得出各部分等效慣量值為：Je=2.8kg·m2、J1=2.6 kg·m2、J2=2.6 kg·m2、JL=2.6 kg·m2。傳動軸的扭轉(zhuǎn)剛度為K1=K2=4×105N·m/rad；式（5）、式（6）計算得：電機電磁剛度為105N·m/rad。傳動軸阻尼比取0.05，齒輪嚙合阻尼比取0.1；傳動軸的扭轉(zhuǎn)阻尼C1、C2，齒輪的嚙合阻尼Cg分別為：69N·m·s/rad，63N·m·s/rad，137N·m·s/rad。將以上各參數(shù)代入至式（14），可得到式（15）中參數(shù)取值。

3 增量諧波平衡法

增量諧波平衡法（IHB）是一種將增量過程與諧波平衡過程相結(jié)合的方法，對求解強弱非線性系統(tǒng)均適用［13］。采用增量諧波平衡法求解非線性微分方程組時，分為兩個過程：增量過程和諧波平衡過程。在增量過程中，先假設微分方程一個解析解的形式，并將其鄰域解一同表示出來，代入微分方程組中，從而得到增量方程；其次在諧波平衡過程中，設微分方程解及其增量解均包含諧波項，并代入微分方程組中，且使方程兩邊具有相同諧波項系數(shù)。

令時間尺度τ=Ωt，式中“″”表示為τ的導數(shù)，則式（15）可寫為：

第一步：增量過程。將上式（17）的解設為：

式中：qi0—式（17）的近似解；Δqi—增量方程。i=1，2，3，…，N。

式（17）的高階近似解和增量方程可寫為：

將式（18）代入至式（17）中使用泰勒級數(shù)展開，并略去高階項得到相應增量表達式。

令：

式中：a0—基波幅值；an、bn—高階諧波幅值；N—所取諧波項，為保證計算的精確度，N取為5。

第二步：諧波平衡過程。采用Galerkin法，將式（21）的左右兩邊同時乘于cos（iτ）、sin（iτ）（i=0，1，2，…，N），且對其在［0，2π］間進行積分，從而得到如下關于Δa的2N+1階方程組：

式中：C—2N+1階矩陣；R—2N+1階列向量。式（22）為使用增量諧波平衡法得出以Δa為未知數(shù)的齒輪系統(tǒng)傳動過程中穩(wěn)態(tài)周期響應的計算公式，進行迭代計算，直到滿足收斂準則，就可得到所需求解方程組的解。

4 機電耦合系統(tǒng)動力學特性分析

4.1 電磁剛度對系統(tǒng)周期解類型的影響

在工作過程中，伺服電機電轉(zhuǎn)角會發(fā)生改變，而電磁剛度為電轉(zhuǎn)角的一次項系數(shù)，所以電磁剛度數(shù)值也會隨之變化。通過選取不同電磁剛度數(shù)值，模擬伺服電機的運行過程，從而對系統(tǒng)機電耦合動力學特性進行研究。

電磁剛度分別取值104N·m/rad、105N·m/rad、106N·m/rad，運用增量諧波平衡法和數(shù)值解法對模型進行求解；得出伺服驅(qū)動系統(tǒng)在不同電磁剛度下的動力學特性。采用增量諧波平衡法取5個諧波項所得到的相圖，與數(shù)值解法所得出的結(jié)果一致，如圖4所示。由相圖和時間歷程圖可知：當電磁剛度從105N·m/rad 減小至104N·m/rad 時，系統(tǒng)的周期解始終為一個封閉的圓形，其類型沒有發(fā)生明顯改變；且二者的時間歷程圖沒有較大波動，說明此時電磁剛度對系統(tǒng)的運動狀態(tài)基本沒有影響。當電磁剛度增大至106N·m/rad 時，系統(tǒng)的周期解不再為一個封閉的圓形，而是呈現(xiàn)出一種雜亂無章的封閉曲線，時間歷程圖也不再是一條周期性曲線，同時波動也顯著變大。說明電磁剛度增加至106N·m/rad 的過程中，系統(tǒng)由穩(wěn)定的周期解運動轉(zhuǎn)變至無序的混沌運動，此時伺服系統(tǒng)處于危險運行的狀態(tài)。因此，適當增大電機電磁剛度會對系統(tǒng)特性有益，但過分增大電磁剛度會對系統(tǒng)的運行帶來很大危害。

圖4 電磁剛度對系統(tǒng)周期解的影響Fig.4 Effect of Electromagnetic Stiffness on Periodic Solution of the System

4.2 電磁剛度對系統(tǒng)幅頻響應的影響

由于數(shù)值解法的局限性，并不能較為直觀對系統(tǒng)的幅頻響應進行分析，所以這里同樣應用增量諧波平衡法繪制不同電磁剛度Ke下，系統(tǒng)的幅頻響應曲線。

電磁剛度Ke=105N·m/rad幅頻特性曲線，如圖5（a）所示。其起始振動幅值為1.05，最大振幅在1.12以上；電磁剛度Ke=104N·m/rad 幅頻特性曲線，如圖5（b）所示。相較于電磁剛度為105N·m/rad，起始幅值和振動的最大幅值有一定程度的增大，說明電磁剛度的取值對系統(tǒng)的振動有一定的影響。為電磁剛度Ke=106N·m/rad幅頻特性曲線，如圖5（c）所示。和電磁剛度為105N·m/rad相比較，起始幅值和振動的最大幅值有一定程度上的降低，說明電磁剛度的增大會使得系統(tǒng)的振動幅值得到抑制；但結(jié)合系統(tǒng)的相圖和時間歷程曲線可知：過分增大電磁剛度同樣會對系統(tǒng)安全運行不利。

圖5 電磁剛度對系統(tǒng)幅頻響應的影響Fig.5 Effect of Electromagnetic Stiffness on the Amplitude-Frequency Response of the System

5 結(jié)論

伺服電機電磁剛度、齒輪時變嚙合剛度會因非線性振動機理復雜，導致機械與電氣之間匹配十分困難，在很大程度上制約著伺服系統(tǒng)向高精度方向發(fā)展。這里針對這一問題展開分析，得出主要結(jié)論如下：

（1）應用增量諧波平衡法對考慮電磁剛度和齒輪嚙合振動四慣量機電耦合模型進行求解；由相對扭轉(zhuǎn)位移隨電磁剛度變化的時間歷程圖、相平面圖得出：電磁剛度取值不同會使得機電耦合系統(tǒng)出現(xiàn)多周期運動甚至是混沌運動，對系統(tǒng)安全運行造成損害。

（2）電磁剛度對系統(tǒng)的幅頻響應有一定的影響。當電磁剛度Ke=104Nm/rad 時，系統(tǒng)的量綱振動幅值增大約0.1；當電磁剛度Ke=105Nm/rad 時，系統(tǒng)的量綱振動幅值增大約0.08；當電磁剛度Ke=106Nm/rad 時，系統(tǒng)量綱振動幅值增大約0.07。因此，電磁剛度的取值應得到一定重視，在工程應用上可以合理選擇這一參數(shù)。