數控軋輥磨床三點非接觸式測量原理及誤差分析與仿真

李 闊，吳懷超，令狐克均，趙麗梅

（1.貴州大學機械工程學院，貴州 貴陽 550025；2.貴州裝備制造職業學院，貴州 貴陽 551400）

1 引言

隨著我國產業結構的調整和產品科學技術的不斷發展，行業對軋輥磨床的自動化程度、性能和功能提出了更高的技術要求。特別為提高工作效率，軋機的技術性能不斷更新，對軋輥磨床的磨削效率和精度的要求也越來越高。

目前國內數控軋輥磨床普遍采用的兩點測量裝置不能從多維角度真實反映檢測的精度，且兩點式測量不能利用誤差分離技術將主軸的回轉誤差與待測軋輥表面信息誤差分離開，導致直徑測量誤差僅能達到0.01mm。在線測量數據由于不穩定只能作為參考，不能參與程序計算，難以對磨削精度的適時修正提供支持。目前國內外學者針對軋輥加工難以實現在線測量、測量精度低的問題展開了很多研究，其中誤差分離技術是實現在線測量不可或缺的一環。最早三點法誤差分離技術的是文獻[6]于1966年提出該理論，該技術自提出之后就得到了國內外學者的研究和企業的廣泛應用。

文獻[2]結合實際生產條件提出了一種時域三點法誤差分離技術，在這里指出時域三點法誤差分離技術有更快的計算速度并且其誤差與頻域三點法誤差分離技術相差不多，但由于該方法存在諧波抑制的問題，所以實際應用范圍并不廣；文獻[4]對誤差分離技術的算法進行了研究。

提出了一種利用矩陣計算三點法誤差分離的算法，但該研究僅對分離算法進行了探討，并沒有提到關于該技術誤差的分析；文獻[10]對三點法誤差分離技術的測量結果的誤差來源進行了分析并提出了一種改良方法，但這里分析及推論是基于小型軸類零件，對于軋輥這類大尺寸零件并不適用。

為了解決這些問題，現設計一種數控軋輥磨床的三點法非接觸測量方法，利用最小二乘圓法及誤差分離技術，分析了誤差來源及其對測量結果的影響，并進行了數學推導，根據推導過程建立了測量方法的數學模型，通過Matlab仿真成功分離出了主軸的回轉誤差與外廓的圓度誤差，驗證了該模型的正確性。

2 三點非接觸測量系統

2.1 最小二乘圓法評定圓度誤差

當前圓度誤差的評定方法多采用最小二乘圓法，因為該方法有完整的計算方法所以很容易的在計算機上實現，其原理，如圖1所示。該方法首先需要計算出最小二乘圓的圓心坐標（a，b）。

圖1 最小二乘法評定圓度誤差Fig.1 Least Squares Evaluation of Roundness Error

該坐標的計算方式如下：

式中：xi、yi—待測輪廓上測點處坐標；ri—測點到坐標原點的徑向距離；R—最小二乘圓半徑；n—選取測點數量，測點越多測量越精準，通過n個測點將圓等分。

求出最小二乘圓的圓心坐標（a，b）后再求出輪廓上各點到最小二乘圓圓心的距離Ri，計算方法如下：

最后計算圓度誤差ε，計算方法如下：

2.2 三點測量誤差分離

三點法誤差分離技術（EST）是實現高精度在線測量的必要條件，其原理，如圖2所示。

圖2 三點法誤差分離原理Fig.2 Three-Point Method Error Separation Principle

由圖2示意圖可以看到，在待測工件圓周分布著三個位移傳感器S1，S2和S3，三個傳感器安裝時它們探頭的延長線交于一點，以該交點為原點建立坐標系xoy，傳感器S1在x軸上，傳感器S2與S1夾角為α1，傳感器S3與S1夾角為α2。

三個傳感器的采集數據分別為s1（θ），s2（θ），s3（θ），則有：

式中：h（θ）—工件圓度誤差；ψx（θ）—主軸回轉誤差在X軸方向分量；ψy（θ）—主軸回轉誤差在Y軸方向分量。

令三個傳感器采集的數據的線性組合為s（θ），每個傳感器采集數據乘上權系數c0，c1，c2可得到下式：

將式（6）～式（8），帶入式（9），且令c0=1整理可得：

令（10）式中ψx（θ）和ψy（θ）兩項的系數為0，可得權系數c1，c2：

對式（9）進行離散傅里葉變換可得：

分離回轉誤差后的圓度誤差可由式（13）經過傅里葉反變換求出：

求出圓度誤差后將其結果帶入式（6）～式（8）三式即可求出回轉誤差。

2.3 回轉運動及偏心運動誤差分離方法

因為待測軋輥的外形可以看成是以2π為周期變化的復雜封閉曲線，所以可以用傅里葉級數的方式表示：

式中：θ—待測軋輥的角度變化；X0—被測軋輥外形的直流分量；M—被測軋輥輪廓的最大諧波階數；Xm—m階諧波分量的余弦分量；Ym—m階諧波分量的正弦分量。

那么可將式（1），式（2）改寫為如下形式：

由式（17）我們可以得出待測軋輥的傅里葉級數的一階諧波分量是最小二乘圓心的偏心運動的結論示意圖，如圖3所示。

圖3 三點法回轉運動誤差示意圖Fig.3 Schematic Diagram of Three-Point Slewing Motion Error

根據示意圖給出的幾何關系用h（θ1）表示圓度，有以下關系：

將式（19）乘cosθ加上式（20）乘sinθ可以得到式（21）：

上述推導中我們已知輪廓傅里葉展開的一階諧波分量為最小二乘圓心的偏心運動，現用Δh（θ）表示除偏心運動外其他項相加和：

由此可以將被測軋輥輪廓表達寫成下式：

經由式（23）式和式（14）式（16）兩式可得到軋輥的圓度誤差的離散形式h（n），將式（6）～式（8）離散化并以矩陣的方式表達可以寫成下面的形式：

式中：i—測量點按周期轉動排序的序列位置，i=0，1，2，3，…，N-1；S—三個傳感器的輸出組成的矩陣；e—被測輪廓的總誤差，包括兩個部分，分別為回轉誤差和形狀誤差（圓度誤差）；A—系數矩陣。

將離散化的圓度誤差h（n）帶入到式（24）中，聯系式（21）的離散形式可以得到：

式中：ψ（i）—離散形式的回轉誤差。

上述兩個式子的右邊都是已知量所以分別用U1和U2來表示用式（25）乘上sin（2πi/N）減去式（26）乘上cos（2πi/N）并化簡可得：

對上式（27）經過化簡取均值可以得到回轉運動誤差及X軸方向分量和Y軸方向分量：

至此就可以將回轉運動誤差與圓度誤差分離并分別求出。

3 三點非接觸測量誤差分析

3.1 定位夾角誤差分析

定位夾角誤差指的是傳感器在安裝固定過程中與預設的探頭位置出現了角度為ζ的夾角，假定S2和S3兩個探頭的誤差夾角分別為ζ1、ζ2示意圖，如圖4所示。

圖4 三點法定位誤差示意圖Fig.4 Schematic Diagram of Three-Point Positioning Error

此時傳感器的采集數據的方程組可表示為：

令誤差值為η（θ），與式（10）聯立化簡并假設?1=?2=?，即可得到下式：

3.2 傳感器角度錯位誤差分析

傳感器角度錯位指的是安裝好的傳感器之間實際夾角與預設的α1和α2不一致，導致權系數矩陣偏離預設值出現誤差從而使圓度誤差與回轉誤差無法分離，其示意圖，如圖5所示。

圖5 傳感器角度錯位示意圖Fig.5 Schematic Diagram of Eensor Angle Misalignment

所以在安裝角度的選擇上要充分考慮測量系統安裝條件的限制和分離計算條件兩個方面，因此我們選取的m1與m2應滿足互質的條件且為兩個奇數[2]。

4 建模與仿真驗證

4.1 誤差分離仿真測試

圓度誤差分離的仿真原理，如圖6所示。預設軋輥輪廓圓度誤差的傅里葉展開式：

圖6 仿真原理流程圖Fig.6 Simulation Principle Flow Chart

軋輥的半徑設為3，m1和m2要為互質的兩個奇數，分別選取為43和121，定位夾角誤差ζ設為0.5°，采集點數量N為了保證測量準確性并考慮到加工時的主軸轉速，為了讓仿真結果更接近實際情況N選取為512。

三傳感器接收數據的仿真結果，如圖7所示。圖7三圖顯示的是三個傳感器S1、S2、S3采集數據的仿真圖像，接受的信息包括預設的外廓信息和回轉誤差。

圖7 傳感器接收數據仿真Fig.7 Sensor Receiving Data Simulation

經過誤差分離后的軋輥外廓信息和預設的外廓信息，如圖8所示。回轉誤差和預設的回轉誤差，如圖9所示。

圖8 誤差分離后軋輥外廓信息Fig.8 Roll Profile Information After Error Separation

圖9 分離前后主軸回轉誤差Fig.9 Spindle Rotation Error Before and After Separation

從圖中線段的對比可以看出誤差分離效果很好，基本可將回轉誤差從采集數據中完全分離出去，殘余誤差集中在S2傳感器和S3傳感器安裝區域，因為在該部分預設的夾角定位誤差ζ 為0.5°，該數據會對測量結果產生一定的影響。

相較與傳統兩點測量方法，三點非接觸測量結合誤差分離技術可進一步提升測量精度，其測量精度可達到1μm，并且可以將整體測量誤差控制在10%以內，而傳統兩點接觸式測量系統由于無法分離主軸的回轉誤差其測量精度只能達10μm。由于三點非接觸測量不需要與軋輥表面直接接觸從而可以實現邊加工邊測量提高了工作效率并且不會影響軋輥的表面質量。

4.2 定位角度誤差仿真

定位角度誤差分析的仿真結果，如圖10所示。

圖10 定位角度誤差仿真Fig.10 Positioning Angle Error Simulation

仿真測試從兩個方面出發分別探究了相同定位角度ζ，不同采樣點個數N及不同定位角度ζ，相同采樣點個數N對誤差度Δ的影響。誤差度Δ定義如下式：

式中：Δ—誤差度；h0—利用最小二乘法求得預設的圓度誤差。

圖10（a）豎軸為誤差度Δ，由圖可看出定位角度ζ為一定值時，取樣點數N取256時，誤差度最大達到0.231%，當取樣點數N取320時，誤差度最小為0.083%。之后隨著取樣點數逐漸增加，誤差度會隨之緩慢升高并有穩定在0.122%的趨勢。圖10（b）仿真曲線可以證明前文中式（27）的正確性，即當我們已知回轉誤差的Y軸方向分量ψy時，定位角度產生的誤差與回轉誤差的Y軸分量近似呈線性關系，定位角度誤差ζ越大，最終的測量誤差也就越大，所以在安裝傳感器時要盡量避免產生定位角度誤差。

5 結論

基于matlab平臺在三點法圓度誤差分離數學模型的基礎上分析了三點法測量的誤差來源，并建立了定位角度誤差對系統影響的數學模型且仿真驗證了模型的正確性。

仿真結果證明取樣點數N小于256時，誤差度Δ隨著N的增大而增大；N大于256而小于320時誤差度Δ隨N增大而減小；N超過320時，誤差度Δ隨之緩慢升高且有穩定在0.122%的趨勢。同時也指出定位角度產生的誤差與回轉誤差的Y軸分量呈線性關系。為數控軋輥磨床的三點法非接觸測量系統的設計與研究提供了理論支撐。