多自由度并聯機構運動性能分析及尺寸優化

王成非，陳 賀，劉 東

（中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225001）

0 引言

隨著科技的日益進步和生產自動化程度不斷提高，基于多支鏈的并聯機構以其結構簡單、剛度大、承載能力強、運動精度高且速度快、易于控制等良好特性適應了生產發展的需要，并受到了國內外眾多專家和學者的重點關注。目前，并聯機構已經在工業自動化、航空航天、醫療和測量等領域中不同場合都得到了成功應用。

運動性能分析是并聯機構研究領域的重要內容，對機構的設計和優化及控制策略的選擇具有重要意義，國內外很多學專家學者進行了大量研究。Angeles等[1]和Cosselin等[2]對機構性能指標和機構優化設計進行了研究。高峰、劉辛軍、郭希娟、余梅生等基于一階和二階影響系數對機構性能指標的研究做了大量貢獻[3-7]，此外楊育林、陳海真、高彥錕、石志新等基于機構性能指標的研究上對機構結構參數優化問題進行了研究[8-11]。因機構的尺寸參數的多維性和性能指標的嚴重非線性，盡管做了大量研究，但仍有大量問題沒有解決，影響了機器人機構的開發和應用。

6-PSS并聯機構不僅具有剛度大、承載能力強和精度高等通用特點，還具有機構相對簡單、對稱、大工作空間及快速運動的特點。該機構在運動模擬器、并聯機床、微動機器人、航空航天及醫學等領域有著廣泛應用前景。本文首先對該6-PSS并聯機構進行了參數化設計，隨后對該機構的運動學及運動學性能進行了分析，提出優化目標，對其結構尺寸參數進行了優化，大大提高了該機構的綜合運動性能。

1 機構的描述與坐標系建立

6-PSS并聯機構由運動基座（安裝有導軌）、滑塊、球鉸、動平臺、執行器（支桿）以及拉桿等組成。如圖1所示，P為與動平臺固連的執行器末端的幾何中心，其在動平臺的投影為Q；Pi為移動副，這里稱為滑塊；Li為6根定長的拉桿；SAi和SBi為球鉸副，安裝在6根拉桿的兩端，分別連接了6個滑塊和動平臺。導軌、滑塊和上、下球鉸關于平面XOZ對稱。該并聯機構由6個安裝有直線電機的滑塊為輸入，帶動拉桿、動平臺一起運動，實現執行器按照給定的可控的運動規律運動（3個移動和3個轉動的任意一種或者組合）。

圖1 6-PSS并聯機構

假設執行器相對于各坐標軸無轉動和移動時為機構的初始位形，以初始位形時執行器軸線在導軌平面的投影點為原點建立固定坐標系O-XOZ，垂直導軌平面向下為Z軸，X軸與導軌平行指向P1一側，右手定則確定Y軸；以執行器末端幾何形心P為原點建立動坐標系O1-X1Y1Z1，初始方位和固定坐標系相同，隨執行器一起運動。

該并聯機構結構尺寸主要有11個參數：整個機構的高度（執行器末端到導軌平面的距離）h0，兩側導軌間距離的一半e和f，拉桿的長度l1和l2，動平臺長度（下球鉸SB4到SB6的距離）為2a，動平臺寬度（下球鉸SB1到SB4的 距 離）為2b，下 球 鉸SB2（SB5）到 平 面Y1O1Z1的距離c，下球鉸SB2到SB5距離的一半d，下球鉸SB2（SB5）到平面X1O1Y1的距離h2，平面SB1SB3SB6SB4到平面X1O1Y1的距離h1。初步確定機構尺寸參數如表1所示，其中拉桿L1、L3、L4、L6的長度取l1，拉桿L2、L5的長度取l2。

表1 機構尺寸參數初值表m

2 影響系數的求解

對于6-PSS并聯機構，因其機構結構上具有對稱性且支鏈具有相似性及對稱性，以機構第1支鏈為例。如圖2所示，按主動件到末端執行器，依次求得支鏈1簡化并用單自由度轉動副替換化后各運動副軸線方向的單位矢量分別為：

圖2 6-PSS并聯機構支鏈1運動副簡化圖

于是，可以求得6-PSS并聯機構支鏈1的一階影響系數矩陣1)：

式中：P為動平臺末端執行器P點在固定坐標系的位置矢量；Rj（j=SA1、SB1）為運動副在固定坐標系的位置矢量；P-Rj為末端執行器P點對支鏈1各運動副軸線的位置矢量。

其余5條支鏈的一階影響系數矩陣求法與支鏈1的求法類似。首先簡化，然后把對應運動副軸線向單位矢量S(i)j及矢量(P-Rj)(i)進行相應的替換即可。每條支鏈的一階影響系數矩陣都是6×6矩陣，則該并聯機構共有6個6×6的一階影響系數矩陣。

當已知動平臺的運動時，支鏈i各運動副的速度和平臺速度的關系為：

式中：VH=[ωhx,ωhy,ωhz,VPx,VPy,VPz]T，為動平臺速度矢量；=[φ1,φ2,φ3,φ4,φ5,φ6]T，為支鏈i各運動副組成的速度矢量。

以6個移動副為主動輸入件的運動方程如下：

將上式以矩陣形式表示為：

對式（4）求逆，于是有：

已知支鏈上6個主動輸入運動副的相對加速度時，其與動平臺加速度的顯式解析式可以表示為：

由式（3）和式（5）聯立得到支鏈i各運動副相對速度與廣義速度的關系為：

已知并聯機構的每條支鏈的第一個運動副為主動輸入件，由于機構完全對稱，聯合式（7）將式（6）化簡歸并為一個式子：

對式（8）進一步簡化，得：

式中：[HqH]矩陣為6×6×6的標量矩陣。

因此，動平臺的加速度用對廣義坐標的二階影響系數表示為：

3 運動學性能指標分析

機構運動學性能指標包括線速度、角速度、線加速度和角加速度性能指標。線速度、角速度由機構的一階影響系數決定，而線加速度和角加速度受機構的一階、二階影響系數共同決定。其條件數用一階、二階影響系數依次表示為：

式中：‖‖為矩陣的Frobenius范數；上標“+”為矩陣的廣義逆矩陣；K為條件數，且1≤K＜∞；aq、bq為誤差系數，均小于1（用于綜合性能指標的計算時常取為0.02）；Gυ、Gω分別為一階移動影響系數矩陣和一階轉動影響系數矩陣；Hυ、Hω分別為二階移動影響系數矩陣和二階轉動影響系數矩陣，其與影響系數之間的關系為。

一階、二階影響系數矩陣的條件數隨著機構的位形的不同而變化，在機構的工作空間內不同的點，其條件數是不同的，這樣無法準確地描述機構運動性能好壞。鑒于此，Gosselin在工作空間的基礎上提出了全域性指標，定義機構速度和加速度的全域性能指標為：

式中：i∈{Gω,Gυ,Gω+Hω,Gυ+Hυ}；W為末端執行器的可達工作空間；ηj為全域性能指標，1≥ηi＞0，ηj的值越大，機構靈巧度和控制精度越高，機構的運動學性能也越高。

η的大小可以反映機構在整個工作空間內運動性能的平均水平的高低，但它僅反映了機構在整個工作空間內平均運動性能的情況，并不能體現出在整個工作空間內性能波動幅度的信息，于是提出條件數倒數的均方差為全域性能波動指標[9]：

4 實例分析及尺寸優化

現在保持其他結構參數值不變，改變機構的動平臺的長度和寬度這兩個結構參數值為例，對機構的線速度和角速度性能指標進行仿真。讓a=200～300 mm，b=200～300 mm，步長都取為20 mm，組成36組機構位形；對每組機構位形的每個自由度在可達工作空間空間中均勻取均取100個點進行仿真計算，繪制全域性能圖譜如圖3和圖4所示。

圖3 全域性能圖譜

圖4 全域性能波動圖譜

由圖3可以看出，機構的線速度、角速度、線加速度和角加速度性能指標在左上方較大，右下角較小。即在一定范圍內，當動平臺長度尺寸變小、寬度尺寸變大時，6-PSS并聯機構的線速度、角速度輸出誤差越來越小，機構的運動學指標越來越好。從圖4中可以得到機構運動性能波動隨著動平臺尺寸變大而變大，但動平臺寬度對其性能的影響相對較小。同理可求其他尺寸參數對機構運動學性能的影響，最終得到最優的機構尺寸和控制策略。

對于機構中動平臺的尺寸參數，綜合考慮上述分析得出的全域性能和全域性能波動圖譜，確定動平臺的長度參數為a=0.2 m，動平臺的寬度參數b=0.25 m。同理可以對機構的其他尺寸參數進行優化，最終得到優化后的機構尺寸參數如表2所示，此時6-PSS機構性能指標值如表3所示。

表2 機構優化后的尺寸參數表m

表3 機構優化尺寸后機構性能指標值

5 結束語

本文以6-PSS機構為研究對象，對該機構運動學性能分析及機構結構尺寸參數優化方面展開了研究和探討。首先分析了其結構特點并建立坐標系同時進行了尺寸參數設計，利用影響系數法求解出一階、二階影響系數矩陣，對運動學性能的全域性能指標及全域性能波動指標進行了分析。然后以動平臺的寬度和長度尺寸為實例分析，得到了相應的全域性能及全域性能波動圖譜，通過分析圖譜得到機構結構尺寸參數對運動性能的影響規律。同理可得到其他尺寸參數對機構運動性能的影響，進而能夠綜合取舍進行尺寸參數的優化，提高機構的運動性能，為實現機構的尺寸優化并提高機構性能提供了理論參考和一套簡單、實用的方法。