中等跨度軌道交通橋梁有載頻率研究

向桂林吳定俊周建民

（1.同濟大學建筑工程系，上海 200092；2.同濟大學橋梁工程系，上海 200092）

0 引言

隨著社會經濟、人口的不斷發展，城市的交通運輸面臨著嚴峻的考驗，傳統的出行方式無法解決當前復雜的交通狀況。目前地鐵在大中城市的廣泛引入開拓了城市可利用空間，其具有運量大、安全、快速、無尾氣、自動化程度高、無污染的優點，經過百年發展已經技術成熟，成為城市交通的主動脈。但因開發地下空間造價較高，易受到當地經濟條件限制，鋼輪-鋼軌走行系統使地鐵仍存在噪聲污染、線路設計具有局限性等無法克服的缺陷。因此，跨座式軌道交通應運而生。

如圖1所示的跨座式軌道交通是我國引進的一種新式軌道交通，最高速度和平均速度分別為80 km/h，40 km/h。其轉彎半徑小、占地少、費用低、經濟實惠等優勢在世界各國獲得了青睞和發展。縱觀國內外一些軌道交通發展成熟的城市，公共交通系統的多元化是其主要特色，其中地鐵一般占到三分之一左右。因此，我國的單軌、輕軌和有軌電車等城市軌道交通形式還有很大的發展空間。

圖1 重慶市二號線軌道交通Fig.1 Chongqing city line 2 rail transit

跨座式單軌交通橋梁橫向尺寸往往較小，重慶跨座式單軌單線式標準簡支軌道梁［1］的梁寬僅0.85 m，如圖2所示，深圳的比亞迪云軌更是達到了0.7 m。另外，由于跨座式單軌交通橋梁上部結構僅為單薄的軌道梁，其自重會顯著小于同等跨度的公路、鐵路以及普通地鐵橋梁。因此，本文從研究跨座式橋梁與普通公路、鐵路等橋梁的車橋質量比差異，計算分析它們對橋梁有載頻率的影響。

圖2 跨座式單線軌道梁標準截面圖（單位：mm）Fig.2 Standard section view of straddle single track beam（Unit：mm）

1 不同交通類型橋梁車橋設計參數分析對比

1.1 不同類型交通橋梁梁跨質量比

根據重慶市二號線輕軌交通工程，單線跨座式標準軌道梁跨中截面面積約為0.92 m2，32 m跨度的輕軌梁重量不足100 t；而公路、高鐵單線式橋梁在32 m的跨度，重量均達到400 t以上［2］，大部分集中在500～600 t范圍；客貨共線鐵路重量同高速鐵路橋梁相當，32m跨度橋梁重量達到367 t［3］；廣州地鐵4號線30 m跨度的整孔箱梁起吊重量可達到4 100 kN［4］。其余參數如表1所示。

表1 32 m跨度的各類橋梁重量對比表Table 1 Comparison table of various bridge weights with 32 m span

在跨座式單軌梁中，截面很小，橋梁整體重量遠小于同等跨度的其他橋梁，對于公路、鐵路兩類單線式橋梁，重量都達到了跨座式單軌的5倍以上。值得指出的是，對于部分32 m跨度的雙線箱形橋梁主梁重量可達到927 t［5］，其質量更是遠遠超過跨座式單軌。因此，對于跨座式單軌梁，梁體質量相對很小，在考慮列車荷載后，可能會對梁體有載頻率的變化產生較大影響。在跨座式單軌計算中，不同于普通公路、鐵路橋梁，應當關心其橋梁質量較小，導致車橋質量比較大所帶來的對橋梁結構動力性能的影響。

1.2 不同類型交通車輛荷載比

《跨座式單軌交通設計規范》規定，在進行軌道梁設計時應當按照遠期規劃車型及車輛編組施加列車活載，跨座式單軌列車主要采用4軸車輛模型，軸重滿載時宜取為110 kN，如圖3所示。

圖3 跨座式單軌列車荷載圖示Fig.3 Straddle monorail train load diagram

對于鐵路荷載，規范中主要由集中力和分布力表示，對于不同鐵路類型，荷載圖示也不一樣，本文以高速鐵路荷載為例，集中力部分為200 kN，分布力為64 kN/m，如圖4所示。

圖4 高速鐵路列車荷載圖示Fig.4 High-speed railway train load diagram

公路汽車荷載分為Ⅰ級汽車荷載和Ⅱ級汽車荷載，均采用相同的車輛荷載標準值，車輛重力標準值取550 kN，輪距為1.8 m，車輛外形尺寸為15 m×2.5 m，本次研究高速公路荷載取為汽車荷載，不考慮車道荷載，圖5為汽車荷載圖示。

圖5 公路汽車荷載圖示Fig.5 Highway car load diagram

客貨共線鐵路列車荷載統一采用我國客貨共線（ZKH）和貨運專線（ZH）鐵路設計的中-活載圖示中的4個250 kN的集中荷載代表機車車輛鄰重和鄰軸效應，85 kN/m的均布荷載代表貨車車輛每延米重效應，z為活載等級系數，其中客貨共線鐵路按1.0取用，如圖6所示。

圖6 客貨共線鐵路列車荷載圖示Fig.6 Train load diagram for passenger and freight trains

根據《地鐵設計規范》（GB 50157—2013），采用地鐵列車活載如圖7所示，軸重取為130 kN。同跨座式軌道交通荷載類似，采用4軸車輛模型。對于雙線地鐵，對兩條線路同時進行列車加載，考慮雙線地鐵同時達到效應最大值的可能性較低，取0.9的降低系數。

圖7 雙線地鐵列車荷載圖示Fig.7 Two-line subway train load diagram

最后均以32 m中等跨度橋梁的最大可能加載，比較跨座式軌道梁與高速公路、高速鐵路、地鐵等橋梁荷載單位長度（m）的大小，結果見表2。高速鐵路列車荷載單位長度達到76.2 kN，是跨座式列車荷載34.38 N的2.22倍；而對于公路荷載，兩者較為接近，達到35 kN；地鐵荷載是跨座式列車的1.91倍，達到65.81 kN；其中客貨共線鐵路荷載最大，單位長度荷載為跨座式的2.89倍，達到99.25 kN。

表2 單位長度（m）的列車荷載Table 2 Train load per unit length（m）

1.3 各式類型橋梁車橋質量比

橋梁有載頻率的計算主要由車橋質量比控制。因此，本文在已總結歸納的基礎上，進一步研究跨座式單軌橋梁車橋質量比與公，鐵等橋梁的差距。

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列車荷載大小，橋梁自重及其車橋質量比的數值如表3所示。（其中重力系數g取9.8 N/kg）跨座式單軌梁的車橋質量比為1.59，列車質量顯著大于橋梁質量，而其他4類橋梁比值均在1以下。客貨共線鐵路列車質量略小于橋梁質量，車橋質量比為0.88。其中，單向雙車道公路橋梁的車橋質量比最小，僅為0.33。

表3 32 m跨度各式橋梁車橋質量比Table 3 The vehicle-bridge mass ratio of various bridges with 32 m span

2 簡支梁有載頻率計算方法

本文從考慮列車勻速移動的狀態下，計算橋梁在列車荷載下的頻率變化。假設簡支梁為Euler-Bernouli梁，忽略剪切變形和轉動慣量的影響［6］，并假設橋梁為均質等截面梁，不考慮阻尼影響，本文考慮車輛過橋時車橋系統的質量變化對橋梁有載頻率的影響，不考慮橋梁剛度變化的影響作用。

計算簡圖如圖8所示。

圖8 有載頻率計算簡圖Fig.8 Load frequency calculation diagram

簡支梁在多個外荷載作用下的振動微分方程為

式中：m為梁單位長度的質量；EI為梁的抗彎剛度；y(x，t)為x處時刻t的位移；δ為Dirac函數；u為分段函數。

在該簡支梁中，由振型疊加原理，假設梁的振動為

式中：φn(x)為振型，與時間t無關；An(t)為模態坐標，是時間t的函數；N為所取模態數。

對于簡支梁振型函數如式（3）所示。

將式（2）代入式（1）并利用陣型正交性，等式兩邊乘以φn(x)=sin(nπx/L)，并對x從0到L積分，得到解耦的強迫振動方程如下：

式中，ω0n為等截面簡支梁的各階無載固有圓頻率。

通過牛頓第二定律，將車對橋的作用力作用于相應橋面位置處，該作用力由移動質量產生，則在任一時刻t，荷載對橋梁的作用力等于重力與其慣性力的合力，即

式中：mi為各個移動質量；g為重力加速度為個移動質量加速度。

假定移動質量在移動過程中始終與梁保持接觸，則也是各質量作用點處梁的加速度。將式（5）代入式（4），各階振型的強迫振動微分方程為

由式（2）可得：

把式（7）代入式（6）可得：

當取n=1時，可得第一階有載頻率，表達式見式（8）。

式中，ω1為等截面簡支梁一階有載圓頻率，一階工程頻率f1=ω1/2π。

3 不同類型交通形式橋梁有載頻率計算分析

3.1 不同類型交通形式橋梁有載頻率基頻分析

根據有載頻率推導，采用Matlab語言編寫了計算程序，分析不同形式橋梁在32 m跨度下有載頻率的變化。由于公路、鐵路荷載圖示與跨座式單軌荷載有較大區別，而在橋梁實際計算中，跨中彎矩為橋梁的主要控制因素，最不利情況也最容易發生在跨中截面，且為了便于計算分析比較最終結果，現將各類橋梁的荷載通過跨中彎矩等效方法，將其轉換為跨座式列車荷載的形式，得到各類型列車荷載的軸重。

由于彈性模量在各式橋梁中總體差距較小，且列車運行速度主要影響橋梁有載頻率的變化速度［6］，而對有載頻率的變化幅值影響很小，故本例選取跨座式單軌橋梁中的列車運營速度v=30 km/h，彈性模量E=3.45×1010N/m2，其余橋梁參數如表4所示。

表4 各類橋梁具體參數值Table 4 Specific parameter values of various bridges

對于跨座式單軌，其車橋質量比達到1.59，遠遠大于同等跨度的其他4種交通形式的橋梁，頻率改變也更明顯，最大變化率接近40%，如表5所示；雙線地鐵與高速鐵路橋梁的最大頻率變化僅有20%；高速公路橋梁的頻率變化最小，只有15%，客貨共線鐵路則可接近30%。值得指出的是，這4類交通形式橋梁車橋質量比均小于1，即列車質量小于橋梁。

表5 32 m跨長跨座式單軌橋梁一階有載頻率變化Table 5 The first-order on-load frequency variation of a 32 m long straddle monorail bridge

計算結果表明，在列車第一個軸重進橋時頻率呈逐漸下降趨勢，而列車最后一個軸重出橋階段，頻率又逐漸上升為無載頻率，而中間階段時，頻率則呈現出上下波動的趨勢，且均在最小有載頻率附近波動，因此可認為橋梁結構在車輛通過時有載頻率基本不變。

以跨座式單軌列車為例，車橋質量比為1.59時，此時列車質量遠大于橋梁質量，給出有載頻率計算值隨時間變化曲線圖，如圖9所示。頻率變化圖成對稱分布，且橋梁有載頻率在列車過橋中呈穩定的周期性變化，但波動不大，其他4類交通形式橋梁頻率變化曲線近似，不再一一列出。

圖9 跨座式列車頻率隨時間變化圖Fig.9 Diagram of straddle train frequency change with time

如圖10所示，列車頻率的變化隨車橋質量比的變化呈正相關特征，跨座式單軌列車在1.59的車橋質量比下，頻率變化率達到了36%，此類情況應引起工程設計人員注意，以免計算時對橋梁結構實際的動力響應出現較大誤差。車橋質量比大于1時，即列車質量大于橋梁質量時，頻率變化超過了30%，此時，有載頻率與無載頻率相差明顯，而當車橋質量比小于0.3時，頻率變化僅為10%左右，對結構無載頻率無較大影響，尤其對于部分重型橋梁，如32 m跨度可以達到900～1 000 t，此時車橋質量比很小，不足0.1，頻率變化幾乎可以忽略不計，而跨座式單軌則要求設計人員能考慮到橋梁的頻率變化，以此進行結構計算。應當特別指出的是，本文在考慮列車荷載時，均將橋梁以最大可能性進行加載，而在實際工程中，這類情況出現概率較低，特別是在雙線高速鐵路和多車道高速公路中，實際的車輛荷載通常較小，小于設計考慮的加載，而其橋梁質量卻比單線式鐵路橋梁或雙車道高速公路橋梁高出數倍，車橋質量比更小，使得有載頻率變化可以忽略不計。

圖10 頻率隨車橋質量比變化曲線Fig.10 Frequency change curve with vehicle-bridge mass ratio

3.2 不同類型交通形式橋梁較高階有載頻率分析

在實際工程中，高階模態只有在振動初始階段比較明顯，頻率階數越高，因阻尼作用造成的衰減越快，在結構實際的振動中，主要由前幾階模態控制。因此本文在已分析一階頻率的基礎上，進一步計算前四階有載頻率的變化及其車橋質量比的影響。計算推導過程同一階有載頻率計算類似，以車橋質量比最大的跨座式單軌和最小的高速公路為例，對橋梁前四階頻率的變化進行分析研究。

計算結果表明，不論是跨座式單軌還是高速公路，隨著頻率階數的提高，有載頻率在列車通過橋梁時變化波動越來越大，其中一階有載頻率變化最穩定，在列車入橋和出橋階段逐漸減小或增大，而二、三、四階有載頻率則始終呈現出劇烈的上下波動；但頻率階數對橋梁有載頻率的最大變化率影響較小如圖11所示。

圖11 不同橋梁類型前四階有載頻率變化率Fig.11 The first four-order load frequency changes rate of different bridge types

圖12表示跨座式輕軌交通和高速公路橋梁有載頻率前十階相對無載頻率的變化率，可以看出對于車橋質量比較大的跨座式單軌橋梁其各階有載頻率變化率均在40%左右，而高速公路橋梁，前十階有載頻率變化率均在15%～20%。

圖12 前十階有載頻率減小變化率Fig.12 The first ten orders of load frequency decrease rate of change

4 結論

本文首先分析了不同交通形式下常用中等跨度的橋梁之間的質量比和車輛荷載的質量比，然后計算分析對比了車輛過橋時它們之間的有載頻率變化大小和規律，分析結果表明：

（1）跨座式交通橋梁由于車橋質量比遠大于其他類型交通形式的橋梁，所以它的有載頻率和無載頻率變化的幅度較大，減小率可達到36%左右。公路橋梁由于車橋質量比較小，其有載頻率相對于無載頻率變化幅度較小，可以忽略。

（2）車輛過橋時，梁跨結構有載頻率基頻量值隨時間變化比較平緩穩定，頻率階數越高，其量值隨時間變化愈加劇烈，呈隨時間上下波動狀態。

（3）梁跨結構各階有載頻率與其對應的無載頻率，其變化率均比較接近，即車輛過橋時橋梁各階有載頻率均以基本相同的變化率發生改變。

結構的自振特性是影響結構動力響應的重要因素。對于跨座式軌道交通橋梁結構而言，要重視其車橋質量比變化對結構有載頻率的影響作用，尤其在制定設計規范的動力參數限值時，不宜簡單引用其他軌道交通橋梁規范相應的條文，必須做一些必要的研究分析工作。隨著今后城市軌道交通建設的發展、高強材料的應用和城市景觀的要求，城市軌道橋梁將向著纖細苗條方向發展，車橋質量比會進一步增大，橋梁有載頻率變化也更加明顯，應當注重考慮頻率變化帶來的橋梁動力性能改變，這也是當前軌道橋梁設計和規范制定中需要注意的一個問題。