應(yīng)用坐標(biāo)變換簡(jiǎn)化有限元建模的方法

石永燕

(招商局重慶公路工程檢測(cè)中心有限公司，重慶 400067)

如今ANSYS，Midas Civil，Adina等有限元軟件的發(fā)展，使得大規(guī)模復(fù)雜結(jié)構(gòu)的數(shù)值分析成為可能。在結(jié)構(gòu)有限元分析中，相當(dāng)一部分時(shí)間用于建立幾何模型，這在建立復(fù)雜實(shí)體單元模型時(shí)尤為明顯。有限元程序雖都提供了用戶(hù)界面建立實(shí)體單元模型的方法，但往往功能有限，建立簡(jiǎn)單的模型比較容易，要直接建立一個(gè)復(fù)雜的幾何模型仍然是比較困難的事情。因此，有必要研究快速地建立復(fù)雜的有限元幾何模型的方法。

實(shí)際上簡(jiǎn)單幾何模型和復(fù)雜幾何模型的主要區(qū)別在于單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)不同，其單元編號(hào)和節(jié)點(diǎn)連接可保持不變。因此，可試圖將簡(jiǎn)單的有限元幾何模型通過(guò)一系列的變換逐漸轉(zhuǎn)化成復(fù)雜的幾何模型，其關(guān)鍵是如何實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。

1 坐標(biāo)基本變換[1]

復(fù)雜的幾何變換可以通過(guò)一系列的基本變換得到。為便于統(tǒng)一以矩陣形式表示變換過(guò)程，可將3維點(diǎn)P擴(kuò)展為4維點(diǎn)，令P0=P(x0,y0,z0,1)，P1=P(x1,y1,z1,1)。下面分別給出坐標(biāo)平移變換、比例變換、旋轉(zhuǎn)變換的基本方法。

1.1 坐標(biāo)平移變換

將點(diǎn)P0(x0,y0,z0,1)平移(dx,dy,dz,0)得到P1(x1,y1,z1,1)的變換方法如下：

x1=x0+dx，y1=y0+dy，z1=z0+dz，1+0=1。

變換過(guò)程寫(xiě)成矩陣形式為：

[P1]=[P0][Tp]

(1)

1.2 坐標(biāo)比例變換

將點(diǎn)P0(x0,y0,z0,1)按因子(kx,ky,kz,1)縮放得到P1(x1,y1,z1,1)的變換方法如下：

x1=x0kx，y1=y0ky，z1=z0kz，1×1=1。

變換過(guò)程寫(xiě)成矩陣形式為：

[P1]=[P0][Tk]

(2)

1.3 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換

將點(diǎn)P0(x0,y0,z0,1)繞Z軸在X-Y平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)θ角得到P1(x1,y1,z1,1)的變換方法如下：

x1=x0cosθ+y0sinθ，y1=-x0sinθ+y0cosθ，z1=z0，1×1=1。

變換過(guò)程寫(xiě)成矩陣形式為：

[P1]=[P0][Tz]

(3)

將點(diǎn)P0(x0,y0,z0,1)繞Y軸在Z-X平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)θ角得到P1(x1,y1,z1,1)的變換方法如下：

x1=x0cosθ-z0sinθ，y1=y0，z1=x0sinθ+z0cosθ，1×1=1。

變換過(guò)程寫(xiě)成矩陣形式為：

[P1]=[P0][Ty]

(4)

將點(diǎn)P0(x0,y0,z0,1)繞X軸在Y-Z平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)θ角得到P1(x1,y1,z1,1)的變換方法如下：

x1=x0，y1=y0cosθ+z0sinθ，z1=-y0sinθ+z0cosθ，1×1=1。

變換過(guò)程寫(xiě)成矩陣形式為：

[P1]=[P0][Tx]

(5)

2 組合變換

坐標(biāo)在幾何空間中的復(fù)雜變換，均可通過(guò)上述基本變換得到，通過(guò)上述基本變換式(1)～式(5)可以派生出各種復(fù)雜的幾何變換。

4)通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換Tx將P3繞X軸旋轉(zhuǎn)θ角，記為P4。

(6)

3 坐標(biāo)映射變換

設(shè)有曲線(xiàn)段S及S上一點(diǎn)Ps，規(guī)定Ps到S起點(diǎn)的距離與S長(zhǎng)度之比Rs為Ps的相對(duì)坐標(biāo)。直線(xiàn)段為特殊的曲線(xiàn)段，設(shè)直線(xiàn)段上一點(diǎn)P1的相對(duì)坐標(biāo)為R1，如果R1與曲線(xiàn)S上點(diǎn)Ps的相對(duì)坐標(biāo)Rs相等，則稱(chēng)Ps為P1在S上的映射點(diǎn)。坐標(biāo)點(diǎn)的映射變換示意圖如圖2所示。

根據(jù)映射的定義，顯然直線(xiàn)段L上任意一點(diǎn)P1，在曲線(xiàn)段S上都有一對(duì)應(yīng)的映射點(diǎn)Ps。直線(xiàn)段L的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)段S的起點(diǎn)和終點(diǎn)，直線(xiàn)段上的N等分點(diǎn)則對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)段上的N等分點(diǎn)。通過(guò)這樣處理，可將直線(xiàn)坐標(biāo)系的點(diǎn)映射到曲線(xiàn)坐標(biāo)系中。在此稱(chēng)這種變換為映射變換。

對(duì)于給定點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)，若不便于用解析方法計(jì)算曲線(xiàn)S上映射點(diǎn)的坐標(biāo)值，則可采用數(shù)值方法計(jì)算曲線(xiàn)上映射點(diǎn)具體坐標(biāo)。具體過(guò)程為：首先計(jì)算點(diǎn)P1在直線(xiàn)上相對(duì)坐標(biāo)R1，將映射曲線(xiàn)S根據(jù)計(jì)算精度要求等分成足夠多的N段，逐一計(jì)算各分段點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)值。然后查找到R1所屬的分段，此時(shí)可近似將曲線(xiàn)上的分段視為直線(xiàn)段，用分段點(diǎn)的兩端點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)R1值即可插值計(jì)算出映射點(diǎn)的具體坐標(biāo)。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需考慮關(guān)鍵點(diǎn)在直線(xiàn)和曲線(xiàn)上逐一對(duì)應(yīng)，關(guān)鍵點(diǎn)之間則應(yīng)用插值映射變換。

4 有限元模型通過(guò)坐標(biāo)變換的建模實(shí)例

下面分別以Midas Civil和ANSYS為例來(lái)說(shuō)明在有限元軟件中快速建立復(fù)雜幾何模型的方法。例1：某橋梁為30 m+35 m+30 m的空心板梁橋，平曲線(xiàn)半徑為200 m，橋面橫坡由1%逐漸變化到2%，豎曲線(xiàn)在R=1 000 m 的弧線(xiàn)上。例2[2]：萬(wàn)縣長(zhǎng)江大橋?yàn)橹骺?20 m的拱橋，拱圈為箱型截面，寬16 m，高7 m。若用常規(guī)方法建立有限元幾何模型，其工作比較煩雜，尤其是在A(yíng)NSYS中如果出錯(cuò)后修改較困難。

Midas Civil中建立此彎坡斜橋有限元幾何模型的過(guò)程如下：

1)用Midas建立直線(xiàn)形有限元模型(見(jiàn)圖3)。根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙，先建立沿其橋軸線(xiàn)或拱軸線(xiàn)展開(kāi)的直線(xiàn)形模型(梁橋：61 538個(gè)節(jié)點(diǎn)，41 808個(gè)單元；拱橋：74 370個(gè)節(jié)點(diǎn)，38 091個(gè)單元)。

2)在Midas Civil中導(dǎo)出直線(xiàn)橋模型的MCT文件，提取MCT文件中的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)信息。

3)對(duì)提取的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)利用前述變換進(jìn)行幾何變換，具體方法為：首先定義直線(xiàn)形橋梁中心線(xiàn)為后續(xù)操作的導(dǎo)向線(xiàn)。對(duì)直線(xiàn)形橋?qū)蚓€(xiàn)按照曲線(xiàn)橋梁的橋軸線(xiàn)方程進(jìn)行映射變換，再對(duì)直線(xiàn)形橋模型的各節(jié)點(diǎn)按照其相對(duì)于導(dǎo)向線(xiàn)的幾何位置，按照前述方法進(jìn)行坐標(biāo)變換。

設(shè)E,F在導(dǎo)向線(xiàn)上的投影點(diǎn)為P1，Ps為點(diǎn)P1在曲線(xiàn)形橋軸線(xiàn)上的映射點(diǎn)，映射后圖中點(diǎn)M,N相對(duì)于曲線(xiàn)形橋軸線(xiàn)點(diǎn)Ps的幾何位置與E,F點(diǎn)相對(duì)于導(dǎo)向線(xiàn)上P1點(diǎn)的幾何位置保持相同，即都垂直于導(dǎo)向線(xiàn)，示意圖如圖4所示。

4)將變換后的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)替換到Midas Civil軟件的MCT文件中的對(duì)應(yīng)位置，然后在Midas Civil中導(dǎo)入MCT文件，則直線(xiàn)形橋有限元模型將變成彎坡斜橋的有限元模型。

直線(xiàn)形橋模型經(jīng)過(guò)軸線(xiàn)彎曲(映射變換)，旋轉(zhuǎn)(M，N繞Z軸旋轉(zhuǎn)變換)、扭轉(zhuǎn)(繞X軸旋轉(zhuǎn)變換)一系列變換后即可成為彎坡斜橋和拱圈的有限元幾何模型，其結(jié)果如圖5所示。

ANSYS中建立復(fù)雜彎坡斜橋的過(guò)程與在Midas Civil中的方法相似，區(qū)別在于提取直線(xiàn)橋有限元模型的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)需使用一定的代碼。ANSYS中建立彎坡斜橋有限元幾何模型的主要過(guò)程如下：

1)先建立直線(xiàn)橋模型。

2)在直線(xiàn)橋模型中提取節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)信息，可用如下APDL代碼[3]。

*GET,N_NUM,NODE,0,COUNT

*DIM,XN,,N_NUM

*DIM,YN,,N_NUM

*DIM,ZN,,N_NUM

*DIM,NN,,N_NUM

*DO,I,1,N_NUM

NN(I)=I

XN(I)=NX(I)

YN(I)=NY(I)

ZN(I)=NZ(I)

*ENDDO

/OUT,NODE,TXT

*VWRITE,N_NUM

(F5.0)

*VWRITE,NN(1),XN(1),YN(1),ZN(1)

(f5.0,F15.5,F15.5,F15.5)

/OUT

3)對(duì)提取的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)用前述方法進(jìn)行幾何變換，變換成需要的模型。

4)在A(yíng)NSYS中重新生成節(jié)點(diǎn)。可用“N，K，X，Y，Z”命令對(duì)所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)即可。

在橋梁設(shè)計(jì)中，如對(duì)建立的有限元幾何模型不滿(mǎn)意，還可以簡(jiǎn)單地按照控制參數(shù)如平彎半徑、豎彎半徑，橋面橫坡等對(duì)直線(xiàn)橋有限元模型的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)重新變換后，再導(dǎo)入Midas Civil或ANSYS中即可迅速得到彎坡斜橋梁模型。直線(xiàn)橋模型可不斷調(diào)整參數(shù)，建立各種復(fù)雜的彎坡斜橋梁模型。

5 有限元模型幾何坐標(biāo)變換小程序

筆者根據(jù)本文方法，編制了有限元模型幾何坐標(biāo)變換的實(shí)用小程序，主要的功能有定義導(dǎo)向線(xiàn)，坐標(biāo)線(xiàn)性平移、彎曲、旋轉(zhuǎn)和扭轉(zhuǎn)等功能。小程序以參數(shù)化形式定義控制參數(shù)，計(jì)算精度可調(diào)，導(dǎo)向線(xiàn)上的點(diǎn)可使用相對(duì)坐標(biāo)或絕對(duì)坐標(biāo)，能適應(yīng)絕大多數(shù)的模型處理情況。筆者在建立萬(wàn)縣長(zhǎng)江大橋(420 m拱橋)主拱圈的船撞有限元實(shí)體模型時(shí)，先建立了直線(xiàn)形的主拱圈模型，然后在小程序中設(shè)置主拱圈的懸鏈線(xiàn)參數(shù)后，小程序就將直線(xiàn)形模型的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)變換為懸鏈線(xiàn)主拱圈模型的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(見(jiàn)圖6)。

6 結(jié)語(yǔ)

1)本文逐一建立了坐標(biāo)基本變換的變換矩陣，并說(shuō)明了坐標(biāo)組合變換的具體過(guò)程。

2)提出了映射變換的概念及其數(shù)值方法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。

3)通過(guò)對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行一系列的基本坐標(biāo)變換和映射變換，可以將簡(jiǎn)單的有限元模型轉(zhuǎn)換成彎、坡、扭等復(fù)雜的有限元幾何模型。復(fù)雜的有限元幾何模型的建立轉(zhuǎn)化成了簡(jiǎn)單幾何模型的建立，這樣可簡(jiǎn)化建模過(guò)程，取得事半功倍的效果。