獨立不同分布的n中?。╪-k+1）系統存活元件的剩余壽命

溫九紅

（蘭州交通大學 數理學院，蘭州 730070）

n中?。╪-k+1）系統作為一種重要的冗余系統被廣泛地應用于航空工業、武器制造和電氣工程等領域．一個系統被稱為n中?。╪-k+1）系統當且僅當n個元件中至少有（n-k+1）個元件工作，所以n中取（n-k+1）系統的壽命可以用元件壽命的第k個順序統計量來表示．最近幾十年，國內外關于n中?。╪-k+1）系統剩余壽命和休止時間的研究有很多［1-7］.

然而在實際生活應用中，大多數的n中取（n-k+1）系統都是由獨立但不同分布的元件構成，這樣的系統的結構和分布函數表達都較為復雜．2001年David［8］利用permanent函數給出了獨立但不同分布元件的壽命可靠度函數，為研究獨立但不同分布元件的剩余壽命和平均剩余壽命提供了一個非常有用的工具．近些年許多學者開始關注獨立但不同分布元件構成的n中取（n-k+1）系統，并得到很多有用的結論．Sadegh［9］在元件是獨立但不同分布情形下討論了并聯系統的條件剩余壽命（Xn∶n-t｜Xr∶n＞t）（r=1，…，n）；Zhao等［10］在元件是獨立但不同分布情形下考慮了n中?。╪-k+1）系統的剩余壽命（Xk∶n-t｜Xl∶n＜t＜Xl+1∶n）（1≤l＜k≤n）；Gurler等［11］在元件是獨立但不同分布情形下研究了n中取（n-k+1）系統的剩余壽命（Xk∶n-t｜X1∶n＞t）（k=1，…，n）；Sadegh［12］在元件是獨立但不同分布情形下討論了n中取（n-k+1）系統的剩余壽命（Xk∶n-t｜Xr∶n＞t）（r=1，…，n）；Zhang等［13］在元件是獨立但不同分布情形下考慮了有兩個時間監控的條件下并聯系統的剩余壽命（Xn∶n-t2｜Xr∶n＜t1＜Xr+1∶n，Xn∶n＞t2）（1≤r≤n）．

本文將研究由n個獨立但不同分布元件構成的n中?。╪-k+1）系統中可存活元件的剩余壽命（Xk∶n-t｜Xj∶n＜t）（1≤j＜k≤n）得到了該剩余壽命可靠度函數和平均剩余壽命函數的混合表達，并對可存活元件的剩余壽命進行了普通隨機序比較．

1 可存活元件剩余壽命的混合表達

定理1．1對任意的1≤j＜k≤n和0＜x＜t有：

而集合Cp表示集合｛1，2，…，n｝中由p個元素構成的子集，集合為Cp的補集．

證明：對任意的1≤j＜k≤n和0＜x＜t有：

其中，l1，l2，…，ln是從1，2，…，n的所有排列，因此l1＜l2＜…＜lp，lp+1＜lp+2＜…＜lp+q，并且lp+q+1＜lp+q+2＜…＜ln．

再根據Permanent函數可將式（1）化簡為聯立式（2）～（3）可得到

接下來將給出（Xk∶n-t｜Xj∶n＜t）的平均剩余壽命函數的混合表達．

定理1．2對任意的1≤j＜k≤n和0＜x＜t，則（Xk∶n-t｜Xj∶n＜t）的平均剩余壽命函數混合表達為

另外集合Cp表示集合｛1，2，…，n｝中由p個元素構成的子集，集合為Cp的補集，且集合表示基數為q的集合的子集．

根據文獻［9］有

2 可存活元件剩余壽命的隨機比較

引理2．1假設X1，X2，…，Xm和Y1，Y2，…，Yn是兩組獨立但并不一定同分布的隨機變量．對任意的m，n和所有的i，如果Xi≤stYi，那么Xi∶m≤stYj∶n，其中i≤j，m-i≥n-j［14］．

定理2．2對任意的1≤j＜k≤n和0＜x＜t，有P（Xk∶n-t＞x｜Xj∶n＜t）≤stP（Xk+1∶n-t＞x｜Xj∶n＜t）．

證明：對于0＜x＜t和任意的1≤j＜k≤n，有式（4）分子等價于

集合Cp的序列為（l1，l2，…，lp），補集相對應的序列為（lp+1，lp+2，…，ln）．根據引理2．1則有則式（5）大于零，故得證．

定理2．3對任意的1≤j＜k≤n和0＜x＜t，有

證明：對于0＜x＜t和任意的1≤j＜k≤n，有

定理2．4對任意的1≤j＜k≤n和0＜x＜t，有

P（Xk∶n-t＞x｜Xj∶n＜t）≤stP（Xk∶n-1-t＞x｜Xj∶n-1＜t）．

證明：對于0＜x＜t和任意的1≤j＜k≤n，有

而A式又等價于

另一方面B式等價于

所以B式也非負，故得證．