不同翹曲位移函數(shù)對(duì)薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)的影響

黃洪猛，張?jiān)?/p>

（1.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730070；2.西北民族大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730030）

箱形截面由于抗彎抗扭性能良好被廣泛應(yīng)用于橋梁結(jié)構(gòu)中，而腹板間距較大的箱形梁，對(duì)稱(chēng)彎曲時(shí)變形不服從平截面假定，存在剪力滯效應(yīng).剪力滯效應(yīng)是箱梁翼板出現(xiàn)橫向裂縫的主要原因之一，不容忽視［1］.目前，基于最小勢(shì)能原理的能量變分法是分析薄壁箱梁剪力滯最常用的解析法，而采用該方法的前提是確定能合理描述剪力滯變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù).

Reissner［2］假定翼板縱向翹曲位移在橫截面上符合二次拋物線的分布規(guī)律，首次運(yùn)用能量變分法推導(dǎo)了矩形箱梁剪力滯控制微分方程并得到了其解析解.郭金瓊等［3］認(rèn)為橫截面上的縱向位移差沿橫向按三次拋物線分布，比較符合有限元分析和模型測(cè)驗(yàn)結(jié)果.Zhang等［4］從翼板面內(nèi)剪切變形和彎曲剪流的分布規(guī)律上證明了二次拋物線翹曲位移模式分析剪力滯是合理的.許多學(xué)者對(duì)剪力滯翹曲位移函數(shù)的選取產(chǎn)生了爭(zhēng)議，并進(jìn)行了相關(guān)探討和研究，提出了二次［2，4-7］、三次［3，8-10］、四次［10-11］、五次［10］拋物線、余弦曲線［12-14］、橢圓曲線及懸鏈線［10］、抽象函數(shù)［15］等多種形式的翹曲位移函數(shù).目前對(duì)翹曲位移函數(shù)的選取仍然較為混亂.為了提高剪力滯效應(yīng)分析的精確度，應(yīng)用過(guò)程中對(duì)翹曲位移函數(shù)不斷改進(jìn)和修正，例如：He等［7］在剪力滯分析時(shí)引入腹板縱向位移實(shí)現(xiàn)軸向平衡的條件；錢(qián)寅泉等［12］以余弦曲線作為翹曲位移函數(shù)并考慮軸力平衡條件，在翹曲位移函數(shù)上附加全截面均勻位移；文獻(xiàn)［4-5，8，12-14］對(duì)懸板和底板寬度、底板相對(duì)位置進(jìn)行了修正，文獻(xiàn)［4-5，12-14］選取板寬平方比為板寬修正系數(shù)，而文獻(xiàn)［8］將面積比作為板寬修正系數(shù)；當(dāng)懸板板寬與內(nèi)側(cè)頂板半寬相等時(shí)板寬修正系數(shù)消失，因此張?jiān)５龋?6］通過(guò)試算的方法對(duì)懸板引入邊界約束修正系數(shù).此外，進(jìn)行剪力滯效應(yīng)分析時(shí)普遍的方法都是將剪切變形差函數(shù)作為翹曲廣義位移，其物理意義不明確，而楊綠峰等［17］提出將剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度作為縱向翹曲廣義位移，其物理意義更加明確.總之，目前還沒(méi)有用于剪力滯效應(yīng)分析的統(tǒng)一的翹曲位移函數(shù)表達(dá)式.

本文選取二次～五次拋物線、余弦曲線、懸鏈線等形式的翹曲位移函數(shù)，并引入板寬平方比、相對(duì)位置、懸板邊界約束等系數(shù)對(duì)其修正.選用剪力滯引起的附加撓度并考慮翹曲應(yīng)力需滿足的自平衡條件來(lái)描述縱向翹曲位移，應(yīng)用能量變分法建立剪力滯控制微分方程并求得附加撓度和翹曲應(yīng)力解析解.通過(guò)算例分析剪力滯效應(yīng)差異，為找出合理的用于剪力滯效應(yīng)分析的翹曲位移函數(shù)提供參考.

1 剪力滯翹曲變形及應(yīng)力

作用豎向任意分布荷載q（x）的箱梁如圖1所示．坐標(biāo)原點(diǎn)O位于截面形心處，y軸和z軸為橫截面形心主軸；b為頂板半寬；α和β分別為懸板寬、底板半寬與頂板半寬的比值；h為頂、底板中面間的距離；zs和zx分別為y軸至頂、底板中面的距離；γ為zx與zs的比值．以剪力滯引起的附加撓度來(lái)描述縱向翹曲位移，能把剪力滯翹曲變形與初等梁彎曲變形分離開(kāi)來(lái)．橫截面上任意一點(diǎn)的縱向位移u（x，y，z）可表達(dá)為［16］

圖1 梯形箱梁Fig．1 Trapezoidal box girder

式中：uo（x，y，z）和uω（x，y，z）分別為橫截面任意一點(diǎn)的初等梁縱向位移和縱向翹曲位移；w（x）為初等梁撓度；-w′（x）為初等梁撓曲轉(zhuǎn)角；f（x）為剪力滯引起的附加撓度；-f′（x）為剪力滯引起的附加撓曲轉(zhuǎn)角；ω（y，z）為剪力滯翹曲廣義位移函數(shù)；ωζ（y，z）為箱梁各板的剪力滯翹曲位移函數(shù)；η和d為剪力滯翹曲應(yīng)力不合成彎矩和軸力的自平衡修正系數(shù)．

由式（1）箱梁橫截面上任意一點(diǎn)的縱向位移可得橫截面上的應(yīng)力為

式中：σo和σω分別為初等梁彎曲應(yīng)力和剪力滯翹曲應(yīng)力，分別表達(dá)為

由式（1）和式（2）可以看出，引入剪力滯引起的附加撓度后，可將變形狀態(tài)分解為初等梁彎曲變形和剪力滯翹曲變形，同時(shí)將總應(yīng)力分解為初等梁彎曲應(yīng)力和剪力滯翹曲應(yīng)力，物理意義更加明晰，便于工程技術(shù)人員理解和應(yīng)用.

與式（4）中剪力滯翹曲應(yīng)力σω相對(duì)應(yīng)的廣義力矩Mω定義為

式中：Iω稱(chēng)為剪力滯廣義翹曲慣性矩，Iω=∫A［z-

由式（4）和式（5），翹曲應(yīng)力σω又可以表達(dá)為

箱梁截面的翹曲應(yīng)力需滿足自平衡條件，即在箱梁橫截面上不合成軸力和彎矩，則：

考慮y軸為形心主軸，將式（4）分別代入式（7）和式（8），可得

2 控制微分方程及其初參數(shù)解

綜合薄壁箱梁的初等梁應(yīng)變能、剪力滯翹曲應(yīng)變能及外力勢(shì)能，根據(jù)彈性力學(xué)的應(yīng)變能計(jì)算公式，作用豎向分布荷載q（x）的箱梁的總勢(shì)能表達(dá)為

式中：k為Reissner參數(shù)

根據(jù)式（12）可以求出剪力滯附加撓度表達(dá)式為

式中：C1～C4為積分常數(shù)，可由梁端邊界條件確定；f*是與豎向分布荷載q（x）有關(guān)的特解．

求解積分常數(shù)的梁端邊界條件為［5］

固定端：f=0，f′=0；

簡(jiǎn)支端：f=0，f″=0；

自由端：f″=0，f?-k2f′=0．

為簡(jiǎn)化描述不同梁端支承的箱梁，文中用J-J箱梁、G-G箱梁、G-J箱梁、J-G箱梁分別表示兩端簡(jiǎn)支、兩端固定、左端固定右端簡(jiǎn)支、右端固定左端簡(jiǎn)支的箱梁.不同梁端支承箱梁承受的荷載如圖2所示，采用初參數(shù)法［4］可導(dǎo)出圖2中各箱梁的附加撓度計(jì)算公式.計(jì)算公式中：對(duì)于分別承受均布荷載q和集中荷載P的箱梁，其附加撓度分別用fq、fP表示；承受集中荷載的箱梁，其附加撓度計(jì)算公式中帶有符號(hào)‖a的項(xiàng)表示x＞a時(shí)考慮此項(xiàng).

對(duì)于圖2（a）J-J箱梁，其附加撓度計(jì)算公式為

對(duì)于圖2（b）G-G箱梁，其附加撓度計(jì)算公式為

圖2 不同梁端支承箱梁的荷載Fig．2 Load of different supported box girders

對(duì)于圖2（c）G-J箱梁，其附加撓度計(jì)算公式為

對(duì)于圖2（d）J-G箱梁，其附加撓度計(jì)算公式為

兩跨連續(xù)箱梁可以分離出單跨J-G箱梁和單跨G-J箱梁計(jì)算，分離情況如圖3所示.計(jì)算出了單跨箱梁的附加撓度，即得到連續(xù)箱梁的附加撓度.采用同樣的方法，三跨連續(xù)箱梁可以分離出單跨J-G箱梁、G-G箱梁和G-J箱梁計(jì)算.

圖3 兩跨連續(xù)箱梁分離計(jì)算圖Fig．3 Separate calculation of two-span continuous box girder

3 翹曲位移函數(shù)及幾何特性求解

本文選取二次～五次拋物線、余弦曲線、懸鏈線等不同形式的翹曲位移函數(shù)，并對(duì)其引入板寬平方比、相對(duì)位置、懸板邊界約束等修正系數(shù).

拋物線型翹曲位移函數(shù)ωζ可表達(dá)如下（n分別取值為2、3、4、5）：

余弦曲線型翹曲位移函數(shù)ωζ為

懸鏈線型翹曲位移函數(shù)ωζ為（參照文獻(xiàn)［10］

式（22）～式（24）中各參數(shù)的意義見(jiàn)圖1，ξ為懸板邊界約束修正系數(shù)，其值可取為1．4［13，16］．將式（22）～式（24）分別代入式（9），可得

根據(jù)Iζ、Izζ、Aζ的積分表達(dá)式，可得

式中：A、At、Ac、Ab分別為箱梁的總橫截面積、頂板截面積、兩側(cè)懸板截面積、底板截面積；K1～K4為幾何特性系數(shù)．

不同翹曲位移函數(shù)的幾何特性系數(shù)計(jì)算結(jié)果如表1所列.由表1可以看出幾何特性系數(shù)K1～K4隨拋物線次數(shù)增大而增大，二次拋物線、余弦曲線和懸鏈線的幾何特性系數(shù)較為接近.

表1 幾何特性系數(shù)Tab．1 Coefficients of geometric properties

4 算例分析及對(duì)比

選取簡(jiǎn)支箱梁和兩跨連續(xù)箱梁等不同梁端支承的薄壁箱梁為算例，從截面應(yīng)力和撓度兩方面，分析不同翹曲位移函數(shù)對(duì)剪力滯效應(yīng)的影響.

為描述按不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的截面應(yīng)力與有限元解的總體吻合程度，引入均方根誤差Re，Re越小表示截面應(yīng)力與有限元解的總體吻合越好.有限元解是用ANSYS軟件建立箱梁空間有限元模型求得，各板件用SHELL63殼單元模擬，腹板與頂?shù)装彘g共節(jié)點(diǎn)連接，在支承處施加相應(yīng)邊界約束.

式中：σi為i點(diǎn)應(yīng)力解析解；σAi為與i點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力ANSYS解；N為計(jì)算點(diǎn)數(shù)，算例中在頂板半寬、懸板、底板半寬按10 mm間距均勻選取計(jì)算點(diǎn)．

4.1 算例1：簡(jiǎn)支箱梁

有機(jī)玻璃制作的簡(jiǎn)支箱梁模型［9］如圖4所示，材料彈性模量E=3.0 GPa，泊松比μ=0.385.在跨中截面的頂板與腹板交接處作用總值P=272.2 N的對(duì)稱(chēng)集中荷載.采用ANSYS軟件建立的簡(jiǎn)支箱梁有限元分析模型如圖5所示，共劃分3 362個(gè)節(jié)點(diǎn)，3 280個(gè)單元，在梁端底板節(jié)點(diǎn)施加約束，一端約束平動(dòng)位移Ux、Uy、Uz和轉(zhuǎn)角位移Rx、Rz，另一端約束平動(dòng)位移Uy、Uz和轉(zhuǎn)角位移Rx、Rz.

圖4 簡(jiǎn)支箱梁（單位：mm）Fig．4 Simply supported box girder（unit：mm）

圖5 簡(jiǎn)支箱梁有限元模型Fig．5 Finite element model of simply supported box girder

箱形梁各板件總應(yīng)力為初等梁彎曲應(yīng)力和剪力滯翹曲應(yīng)力的疊加，由于剪力滯效應(yīng)的影響，頂?shù)装鍛?yīng)力在橫截面上分布不均勻，腹板與頂?shù)装逑嘟惶幊霈F(xiàn)峰值應(yīng)力.簡(jiǎn)支箱梁跨中截面頂?shù)装宸逯祽?yīng)力及各板件應(yīng)力總體誤差分析結(jié)果如表2所列.由表2可以看出：按不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的頂?shù)装宸逯祽?yīng)力均與ANSYS解吻合良好，頂?shù)装宸逯祽?yīng)力與ANSYS解的偏差在-1.55%～7.49%（偏差是由不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的解析解與ANSYS解的差除以ANSYS解絕對(duì)值得出，表征解析解與ANSYS解的偏離程度）；頂板按二次拋物線計(jì)算的均方根誤差最小，而底板按五次拋物線計(jì)算的最小，亦即此時(shí)與ANSYS解總體吻合最好，且頂板按二次拋物線、余弦曲線、懸鏈線計(jì)算的均方根誤差很接近.

表2 跨中截面應(yīng)力結(jié)果及誤差分析Tab．2 Stresses and error analysis at mid-span cross section kPa

不同翹曲位移函數(shù)對(duì)撓度有一定的影響，簡(jiǎn)支箱梁的剪力滯附加撓度曲線如圖6所示，跨中截面撓度結(jié)果如表3所列.由圖6和表3可以看出：按不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的附加撓度差異明顯，按五次拋物線計(jì)算的附加撓度最小，懸鏈線的最大且與二次拋物線的數(shù)值極為接近，最大值與最小值的比值為1.28；附加撓度約占初等梁撓度的10%，雖然附加撓度差異明顯，計(jì)入初等梁撓度后的總撓度差異很小，總撓度最大值與最小值的偏差僅為2.26%.

圖6 簡(jiǎn)支箱梁剪力滯附加撓度曲線Fig．6 Additional deflection curves for shear lag of simply supported box girder

表3 跨中截面撓度Tab．3 Deflection at mid-span cross section 10-3 mm

4.2 算例2：兩跨連續(xù)箱梁

有機(jī)玻璃制作的兩跨連續(xù)箱梁模型［9］如圖7所示，材料彈性模量E=2.8 GPa，泊松比μ=0.37.在跨中截面的頂板與腹板交接處作用總值P=20 N的對(duì)稱(chēng)集中荷載.采用ANSYS軟件建立的兩跨連續(xù)箱梁有限元分析模型如圖8所示，共劃分個(gè)5 346節(jié)點(diǎn)，5 280個(gè)單元，在底板節(jié)點(diǎn)施加約束，兩側(cè)梁端約束平動(dòng)位移Uy、Uz和轉(zhuǎn)角位移Rx、Rz，中支承處約束平動(dòng)位移Ux、Uy、Uz和轉(zhuǎn)角位移Rx、Rz.

圖7 兩跨連續(xù)箱梁（單位：mm）Fig．7 Two-span continuous box girder（unit：mm）

圖8 連續(xù)箱梁有限元模型Fig．8 Finite element model of continuous box girder

兩跨連續(xù)箱梁跨中截面和中支承截面的頂?shù)装宸逯祽?yīng)力及各板件應(yīng)力總體誤差分析結(jié)果如表4～5所列.由表4和表5可以看出：按不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的跨中截面和中支承截面頂?shù)装宸逯祽?yīng)力均與ANSYS解吻合良好，跨中截面頂?shù)装宸逯祽?yīng)力與ANSYS解的偏差為-2.39%～7.83%，中支承截面的偏差為-3.04%～4.01%；由均方根誤差的結(jié)果可以看出，跨中截面的頂板按二次拋物線、底板按五次拋物線計(jì)算的應(yīng)力與ANSYS解總體吻合最好，中支承截面的頂板按余弦曲線、底板按三次拋物線計(jì)算的應(yīng)力與ANSYS解的總體吻合最好，頂板按二次拋物線、余弦曲線、懸鏈線計(jì)算的均方根誤差很接近.

表4 跨中截面應(yīng)力結(jié)果及誤差分析Tab．4 Stresses and error analysis at mid-span cross section kPa

表5 中支承截面應(yīng)力結(jié)果及誤差分析Tab．5 Stresses and error analysis at mid-supported cross section kPa

兩跨連續(xù)箱梁的剪力滯附加撓度曲線如圖9所示，跨中截面撓度結(jié)果如表6所列.由圖9和表6可以看出：按不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的附加撓度差異明顯，按五次拋物線計(jì)算的附加撓度最小，懸鏈線的最大且與二次拋物線的數(shù)值極為接近，最大值與最小值的比值為1.26；附加撓度占初等梁撓度的12.38%～15.64%，雖然附加撓度差異明顯，計(jì)入初等梁撓度后的總撓度差異很小，總撓度最大值與最小值的偏差僅為2.94%.

圖9 連續(xù)箱梁剪力滯附加撓度曲線Fig．9 Additional deflection curves for shear lag continuous box girder

表6 跨中截面撓度Tab．6 Deflection at mid-span cross section 10-3 mm

5 結(jié)論

1）本文選取不同形式的翹曲位移函數(shù)，并考慮板寬平方比、相對(duì)位置、懸板邊界約束等多參數(shù)修正，同時(shí)引入翹曲應(yīng)力需滿足的自平衡條件，以提高箱梁截面應(yīng)力的計(jì)算精度.不同梁端支承的箱梁算例表明，按多參數(shù)修正的不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的頂?shù)装宸逯祽?yīng)力均與有限元解吻合良好.

2）均方根誤差能夠表征按不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的應(yīng)力與有限元解的總體吻合程度，根據(jù)箱梁算例的均方根誤差結(jié)果，頂板（含懸板）應(yīng)力解析解建議采用二次拋物線、懸鏈線或余弦曲線計(jì)算，跨中截面和中支承截面的底板應(yīng)力解析解建議分別采用五次拋物線、三次拋物線計(jì)算.

3）以剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度作為翹曲廣義位移能夠?qū)⒓袅冃畏蛛x出來(lái).剪力滯效應(yīng)使跨中撓度增大，工程中不容忽視.按不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的附加撓度差異明顯，最大值與最小值的比值達(dá)到1.28，但計(jì)入初等梁撓度后的總撓度差異卻很小，總撓度最大值與最小值的偏差僅為2.94%.