鐵道車輛車體橫向低頻異常晃動探究

陳迪來，曹 委，楊 超，何 偉，晏瑩暉，晏 月

（1. 上海應用技術大學 軌道交通學院，上海 201418；2. 中國鐵路廣州局有限公司，廣州 510088；3. 復旦大學 工程與應用技術研究院，上海 200433）

某些地鐵車輛在運行過程中會出現橫向低頻異常晃動，這種情況會降低乘客的乘坐舒適性，帶來不佳的乘車體驗[1]。導致此現象的因素比較多，但其主要因素還是轉向架蛇行（同相或反相）振動和車體自身振動的相互作用，該現象也稱做這2種振型之間的耦合振動[2]。車體固有頻率（如上、下心滾擺、橫移和搖頭振動頻率）幾乎不隨車輛運行速度的變化而發生改變，且車體振動頻率較低，大約在2 Hz以下。而轉向架蛇行運動頻率卻隨車輛運行速度的增加而增加，也就是說，車輛運行速度越快，轉向架蛇行振動頻率也就越高。當某速度范圍內，轉向架蛇行運動頻率與車體振動頻率相接近時，就可能發生共振現象。

針對此問題，許多學者進行了大量的研究試驗。張洪[3]從模態參數識別角度對客車的異常晃動展開了研究，認為造成該現象的原因是車輛系統中某些參數的阻尼較小。黃彩虹等[4]從對于車體蛇行穩定性的研究測試中，得出輪軌條件和懸掛參數是造成蛇行運動不穩定的主要因素。周勁松等[5]通過搭建數學模型并運用車體模態參數和協方差的方法，對車輛穩定性進行分析，得出二系橫向剛度和二系橫向阻尼直接影響車輛運行時的平穩性的結論。陳迪來等[6]在搭建某地鐵車輛線性模型的基礎上再利用模糊教學的歐氏貼進度對不同速度下各振動模態進行識別，當歐氏貼進度判斷出2種振型的貼近度為1，則說明2種振型相似，屬于同一類振型，因此利用歐氏貼進度可以對有多個自由度的車輛系統進行自動識別和跟蹤。陸威宏等[7]運用模糊教學的最大隸屬度原則對相似度較高的模態參數進行自動識別并歸類，有利于在研究中對模態參數的追蹤。李艷[8]通過搭建車輛系統模型并運用敏感性分析法的方式，研究車輛懸掛參數和阻尼對車體運行時的平穩性影響。王賀鵬[9]從模態識別的角度對車輛系統的振動問題進行研究，運用有限元仿真分析法盡量避免車體振型頻率和轉向架蛇行振型頻率發生同步振動。孫善超等[10]建立多體仿真模型，指出輪軌關系不匹配可能導致轉向架蛇行阻尼因子太小，造成車輛發生晃車的狀況。宗聰聰[11]從車輛系統的強迫振動出發，利用機械振動的同步理論和歐氏貼近度概念判斷各振型的相似性，實現對不同振型頻率的跟蹤與識別。Wnicki[12]通過比較不同踏面等效錐度下的車輛運行平穩性，發現較低的踏面等效錐度更容易造成轉向架蛇行的不穩定。Suarez等[13]通過Pareto方法優化了轉向架橫向阻尼，降低了車輛的橫向加速度，結合磨耗車輪和鋼軌的特征，通過優化被動阻尼改善了乘客的舒適性。Perzold[14]對比了實際運行中的車輛和試驗臺上的車輛系統仿真模型，然后研究了不同條件下轉向架蛇行振動頻率和阻尼比隨速度變化的情況。

針對地鐵車輛的橫向低頻異常晃動，本文從模態識別角度出發，根據歐氏貼進度的概念對車輛系統中不同的振動模態進行追蹤，得出車輛系統各模態和阻尼比在不同速度下的變化趨勢，并分析地鐵車輛橫向低頻異常晃動的原因，再借助通過耦合度的概念來優化車輛系統的懸掛參數，以消除車體橫向低頻晃動現象。

1 車輛自由振動系統的特征值與特征向量

假設某地鐵車輛處于理想狀態并且在某速度v下運行，其自由振動線性方程為：

式中：[M]為自由振動系統的質量矩陣；[C]為阻尼矩陣； [K]為剛度矩陣；{q}為廣義坐標向量；[Cwr]、[Kwr]表示與輪軌接觸參數有關的矩陣。

將式（1）降為一階常微分方程，得到:

將式（2）代入式（1），將其轉化為:

式中：{q}為n維列向量；{y}為{q}的降階，為2n維列向量；[A]稱為系統矩陣，是2n階方陣。

將式（2）和式（4）代入式（3）中，得：

式（5）是一個齊次線性代數方程組，它有非零的充分必要條件為系數矩陣[[A]-λ[I]]的行列式為零，即：

由式（6）所得到的解λ就是矩陣[A]的特征值，也是系統的特征值。因為矩陣[A]為2n階方陣，所以可以求得2n個特征值，它們分別為λ1,λ2,···,λ2n。

由式（6）所得到的特征值λ的普遍形式是一對共軛復數：

當特征值共軛時取1個即可。對于每一特征值，其自由振動系統的解的形式如下：

式中：Aj為 振幅，且；αj為衰減系數；βj為模態振動頻率（有阻尼頻率）；?j為相位角，且?j=arctan(dj/cj)。

根據衰減系數αj的數值，可將系統狀態分為3種情況：

（1）αj＞0，系統的振幅將隨時間t的改變而不斷增大，系統屬于失穩狀態。

（2）αj=0，系統的振幅是定值，不隨時間t的改變而改變，系統屬于臨界狀態。

（3）αj＜0，系統的振幅將隨時間t的改變而連續衰減，系統屬于穩定狀態。

振動模態的阻尼率可由下式求得：

系統的自振頻率（無阻尼頻率）的計算方法為

在特定參數下，對矩陣求解其特征值和特征向量時，當特征值的虛部為零時，應該將其舍棄，得到a個b維共軛復數的特征向量：

忽略相位角的超前和滯后，可得

即ψi=[|φi1||φi2|···|φib|]T。

綜上所述，在固定速度為v的情況下，表1所示為車輛各模態振型的特征向量。

表1 車輛各模態特征向量Tab. 1 The eigenvectors of various modes of the vehicle

2 車輛系統建模及模態追蹤

對一個比較復雜的多自由度系統的研究，一般采用數值計算模擬，也就是把實際的系統簡化為抽象的物理模型，并建立相應的數學模型來求解。同理，車輛系統也是一個多自由度系統，共23個自由度，如表2所示。在車體橫向低頻晃動的分析中，可建立整車多剛體線性化模型。

表2 某地鐵車輛系統模型自由度Tab. 2 Degrees of freedom of a subway vehicle system model

對具有多自由度的系統進行動力學求解時，可以使用矩陣組裝法。先對慣量、阻尼、剛度較簡單的自由度進行組裝，再利用相同的方法，對整個車輛系統進行組裝。慣量、阻尼、剛度系數矩陣如下所示：

式中：[M]為自由振動系統的質量矩陣；[C]為阻尼矩陣；[K]為剛度矩陣。

在模糊集合中，把相似性較大的子集歸為同一個集合。通常，子集之間越相似，它們之間的距離就越近，反之，它們之間的距離就越遠。但僅僅依據距離來判斷某集合內部的相似程度是不準確的。研究人員在此基礎上提出了歐氏貼進度的概念[12]。

假設A、B為2個模糊集合，則歐氏距離為：

式中：n為集合的維數；A={a1,a2,···,an}，ai∈A，ai≥A；B={b1,b2,···,bn}，bi∈B，bi≥B。

數學中，2個值之間的差越小，它們就離的越近，但是，在歐氏距離中恰恰相反，差越大，集合之間越接近，即

式中：N(A,B)為歐氏貼進度，由式（16）可知，N(A,B)越大，集合A，B越接近，N(A,B)越小，說明A、B差異性就越大。

可以用歐氏貼進度來進行模糊識別。以下是表示特征向量的相似度公式:

式中：N_Y為計算出的振型A和B的振幅貼進度；N_ψ為計算出振型A和B的相位角貼進度；α、β分別為振型A和振型B的相似性振幅、相位角所占的權重；N為計算得到2個振型的綜合貼進度；ω為振幅在綜合貼進度中貢獻的比例值。

依據歐氏貼進度的定義，假設Nij中 的第j列的第i個數最大，可以得出參數v1的第i個模態振型與參數v2的第j個模態振型最接近，因此可以判斷參數v1的第i個模態振型與參數v2的第j個模態振型相似。

3 車體橫向低頻晃動原因分析

建立某地鐵車輛系統的模型，運用MATLAB軟件對車輛各剛體模態進行追蹤。仿真速度為1～120 km/h，速度變化幅度不宜過大[6]。轉向架蛇行（同相或反相）振動、車體上心滾擺和車體搖頭是導致車體橫向低頻振動的主要因素，實驗將從這4種振動模態出發，進行模態追蹤分析。利用控制變量法，保持其他參數不變，通過改變踏面等效錐度，觀察在不同速度下轉向架蛇行和車體振動模態的變化趨勢。

如圖1～圖3所示，車體上心滾擺振型頻率和車體搖頭頻率幾乎不隨速度的變化而變化。在0.7～0.8 Hz范圍內，車體搖頭比上心滾擺微大，轉向架蛇行（同相或反相）振動頻率隨速度的增加而增加，幾乎呈線性關系；且隨著踏面等效錐度的增大，線性關系越明顯，振動頻率越大，踏面錐度由0.1時的1.9增加到0.3時的4.1。在某一速度范圍內，轉向架蛇行振動頻率（同相或反相）與車體上心滾擺振動和搖頭頻率相接近或相等時，認為這時2種模態的歐氏貼進度接近于1，從而導致2種模態發生共振并相互作用，造成車體低頻異常晃動現象。在圖1中，踏面等效錐度為0.1時，轉向架蛇行振動與車體振動相互作用的速度范圍大，隨踏面等效錐度的增加，2種模態振型發生共振時的速度范圍減小。等效錐度為0.1時，發生共振的速度為40～70 km/h；等效錐度為0.2時，發生共振的速度為30～40 km/h；等效錐度為0.3時，發生共振的速度為22～30 km/h。發生共振時的速度隨踏面等效錐度的增加而降低。不同踏面等效錐度下，各模態阻尼比的圖像變化趨勢大致相似，車體搖頭的阻尼比明顯比車體上心滾擺的阻尼比大，且車體搖頭阻尼比先變小后增大，車體上心滾擺隨速度的變化呈現先增加后減小的趨勢，兩者最后幾乎維持一個值保持不變。當轉向架蛇行振動頻率與車體頻率發生共振現象時，在與之對應的速度范圍下，各振動模態的阻尼比出現劇烈的變化趨勢。阻尼比出現劇烈變化可能會引起相應的模態振型不穩定，從而造成車輛出現不穩當的振動。分析3種等效錐度下的各振型模態的頻率和阻尼比變化曲線圖得出，等效錐度不同，其發生共振時的速度范圍不同，但發生共振時的頻率卻幾乎相同，都大約為0.8 Hz。

圖1 踏面等效錐度為0.1的頻率、阻尼比速度圖像Fig. 1 The frequency and damping ratio speed image of the tread equivalent taper of 0.1

圖3 踏面等效錐度為0.3的頻率、阻尼比速度圖像Fig. 3 The frequency and damping ratio speed image of the tread equivalent taper of 0.3

為了驗證前面的模態追蹤的準確性，選取踏面等效錐度為0.2，速度分別為70和30 km/h時，車體上心滾擺和轉向架蛇行（同相）振動模態的車輛系統23各自由度的振幅變化進行研究。由上述分析可知，踏面等效錐度為0.2時發生共振的速度范圍為30～40 km/h。如圖4和圖5所示，仿真運行速度為70 km/h時，車體上心滾擺模態的和轉向架蛇行（同相）模態的各自由度振幅變化差異較大；而在速度為30 km/h時，車體上心滾擺模態的振幅和轉向架蛇行（同相）模態振幅非常接近。這與圖2的內容一致。根據歐氏貼進度的概念，此時2種振型相似，從而導致其相互作用，發生耦合共振，在該情況下，車體就會發生低頻異常晃動。

圖2 踏面等效錐度為0.2的頻率、阻尼比速度圖像Fig. 2 The frequency and damping ratio velocity image of the tread equivalent taper of 0.2

圖4 仿真速度70 km/h的模態振型Fig. 4 Modal amplitude of simulation speed 70 km/h

圖5 仿真速度30 km/h的模態振型Fig. 5 Modal amplitude of simulation speed 30 km/h

4 參數優化

4.1 耦合度的概念

耦合度指的是多個振動系統共同振動時，它們之間會相互影響，同時還會相互作用。對車輛系統來說，整個系統各模態同時振動時，把它們之間的模態耦合度看成是一個整體，得到一個系統耦合度：

式中：Cij表示第i個模態和第j個模態之間的耦合度；ωij為各模態在系統耦合度中的所占的權重系數。

以耦合度為標準來判斷各模態振型之間發生共振程度的大小。如果耦合度大，說明振型之間的相互作用大，即發生共振現象的幾率大；反之，則發生共振的幾率就小。

圖6為3種不同等效錐度條件下耦合度隨速度的變化曲線圖，初始的等效耦合度幾乎相等，隨著速度的增加，耦合度都是先增大，在某個速度時，其耦合度達到最大。隨著等效錐度的增大，耦合度的最大值減小。說明等效錐度越小時，耦合度越大，從而越容易發生共振現象，導致車體發生晃車現象。

圖6 不同等效錐度下的耦合度變化圖Fig. 6 Coupling degree change diagram under different equivalent tapers

4.2 參數優化

通過優化參數的方法來降低耦合度的大小。利用控制變量法，不斷改變阻尼和剛度相關參數，并進行仿真分析，得出最優參數。對阻尼參數中的二系橫向阻尼和剛度中的抗側滾扭桿2種參數進行進一步優化，將二系橫向阻尼由58 kNm/s增大到100 kNm/s，抗側滾扭桿由1.5 Nm/rad減小到0.05 Nm/rad。優化后的仿真結果如圖7所示。

圖7 優化后的頻率-阻尼比與速度的圖像Fig. 7 The optimized frequency-damping ratio and speed image

圖7是踏面等效錐度為0.2時參數優化后的頻率、阻尼比和速度的圖像。與同等效錐度下參數未經優化時比較，在某個速度時，轉向架蛇行（同相或反相）振動與車體的上心滾擺和搖頭振動頻率還是會相交，卻沒有明顯的耦合現象。且各個模態振型的阻尼比沒有發生劇烈的上升或者下降的趨勢，隨速度的變化較平緩穩定。車體上心滾擺從19%增加到28%，車體搖頭從37%左右增大到75%，隨著阻尼比的增加，車輛橫向低頻異常晃動的現象減少。

經過參數優化后，如圖8所示，速度增大的整個過程中，每一個速度下的耦合度都明顯減小了，優化前的最大耦合度為90，優化后的耦合度為82，大約減小了9%。說明參數的優化有效地降低了整個車輛系統的耦合度，同時整個系統發生共振的狀況也相對降低。

圖8 等效錐度0.2時優化后的耦合度-速度變化圖Fig. 8 Optimized coupling degree-speed change diagram with equivalent taper 0.2

5 結 語

根據歐氏貼進度的定義，在模態的追蹤分析中，對模態進行自動識別和追蹤，得出各模態振型的頻率、阻尼在不同速度下變化的曲線圖。車體上心滾擺和車體搖頭振型頻率不隨速度的改變而發生改變，是車輛系統本身固有的振型頻率；而轉向架蛇行（同相或反相）振型頻率基本隨速度的增加呈線性增加趨勢。轉向架蛇行振型頻率和車體振型頻率相近時會發生共振現象，轉向架蛇行（同相）振型與車體上心滾擺更容易發生共振現象；而轉向架蛇行（反相）與車體搖頭更容易發生共振，2種振型發生共振時，對阻尼比的影響很大，會發生急劇增加或減小的狀況，很有可能引起地鐵車輛的橫向低頻晃動。通過耦合度的大小來判斷發生共振的明顯程度，耦合度越大說明車輛系統發生共振的幾率越大。進一步對參數進行優化來降低車輛系統的耦合度大小，利用控制變量法得出最佳模擬參數。本研究可為地鐵車輛運行中的低頻異常現象及其原因和解決思路提供參考，從而幫助解決部分地鐵車輛的晃車問題。