一道圓錐曲線壓軸題的解法探究

王昌林 羅萍雙

(四川電影電視學院實驗中學，611331)

一、試題呈現

(1)求E的方程;

二、解法探究

綜上,直線HN過定點A(0,-2).

評注解法1是求解通法,但要對直線斜率是否存在進行討論,過程較繁瑣.改變直線方程的設定方式,可得如下解答.

解法2設點M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN的方程為x-1=m(y+2).

①

評注將直線方程設為x=my+n形式有效避免了對直線斜率的討論,但運算過程仍較為復雜.究其原因在于橢圓方程的“不特殊”,若是將橢圓移動到較為特殊的位置是否方便計算呢?由此產生以下解法3的解答過程.

3y1y2=x1y2+x2y1.

②

評注將橢圓進行平移后,整個解答過程無論是計算量還是式子的復雜程度都明顯有了一定的簡化.回顧解法2與解法3,將直線方程設為x=my+n可以有效簡化解答過程.

評注將直線方程用參數形式也是解決直線與圓錐曲線問題的常用方法.由本解法的特殊性,想到借助向量驗證A,H,N三點共線,此外還可以借助斜率相等進行證明,因此產生如下解法.