例談數學解題中的平衡性

吳劍俠

(江蘇省南京師范大學數學科學學院，210023)

著名法國數學家龐加萊曾說:在解題證明中,各部分的平衡可以給予我們美感.同時,平衡也是一種文化觀點,更是一種境界,世界上萬事萬物都在追求一種平衡.除此之外,平衡也是一種重要思想,諸如高斯求和,包括由此展開的等差數列中am+an=ap+aq及等比數列中aman=apaq(m,n,p,q∈N*)等性質無不體現著平衡.本文通過典型例題,淺談數學解題中體現的平衡性.

一、三角函數中的平衡

在一個三角形中出現的恒等式是一類特殊的三角恒等式,它們都蘊含平衡條件式A+B+C=π.但在解題的拆分化簡過程中也要注意其平衡性,以達到事半功倍的效果.

例1證明:在非直角三角形ABC中,恒有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

分析一方面,可利用A=π-(B+C)達到消元化簡的目的;另一方面,注意到待證等式兩端有不平衡的現象,我們不妨考慮利用A+B=π-C促成兩邊達成平衡性.

二、不等式中的平衡

不等式作為一個熱門的專題,一直活躍在高考與數學競賽中.其中許多解題方法也蘊含著平衡思想.

證明當x=0時,對任意實數a,題設不等式均成立.

評注本解法利用了分離參數的思想方法,將變量落在不等式兩端,這實際上也是一種平衡的狀態,能簡化討論,優化解題過程.

評注從平衡性的角度出發,換元化簡后可以保證an+bn展開式的每一項均非負,從而利于直接放縮.避免了傳統直接消元法在二項式展開的時候由于有負項存在,給放縮增添的不小難度.

三、幾何中的平衡

在幾何問題中,對稱的圖……