構造齊次式 巧解三類題

盧恩良

(江西省九江市第三中學，332000)

一、齊次式在三角函數中的應用

解將原方程兩邊平方,得cos2α+4cosαsinα+4sin2α=5,將等式右邊的常數5代換為5(cos2α+sin2α),整理可得sin2α+4cos2α-4sinαcosα=0.由條件知cosα≠0,故方程兩邊同除以cos2α,可得tan2α-4tanα+4=0,解得tanα=2.

變式2已知角α滿足tanα=2,求t=2sinαcosα-3cos2α的值.

評注通過以上例題及變式題,我們發現在遇到關于形如sinx,cosx的齊次結構時,有時需要靈活運用常數1的代換.當遇到關于sinx,cosx的一次結構時,我們還可以將式子平方化為二次結構去處理.

二、齊次式在多元函數中的應用

文[1]中討論的求一類多元函數最值的問題也可利用齊次式進行簡化處理.文[1]中的例1和例3都屬于三元函數求最值,例2屬于二元函數求最值,我們可以利用其齊次式的特點,將三元化二元,化到文[1]中的例2類型去求解.

評注在多元函數中的最值問題中,根據齊次式的特點,利用比值代換進行處理,有時可以起到“減元增效”的奇效.

變式已知x,y,z∈R,且x2+y2+z2=1,求xy+2yz+2zx的最大值.

分析觀察條件和目標式結構都屬于二次式,可根據齊次結構,進行換元處理,減少變量.

三、齊次式在圓錐曲線中的應用

在圓錐曲線中,直線過定點問題是高考、各類聯考模擬考的熱點問題.對于解決圓錐曲線上一定點與動弦端點連線斜率之和(積)為定值時的情況,我們可以構造齊次式,利用比值換元進行處理,能夠大大減少運算量,起到化繁為簡的神奇效果.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設直線l不經過點P2且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1,證明:l過定點.

(2)依題意,可設直線l的方程為mx+n(y-1)=1.

由直線……