分類例說線性規劃思想在解題中的運用

劉海青

(福建省莆田第六中學，351111)

線性規劃問題通常是指在線性約束條件下求線性目標函數的最值問題,具體體現就是圖解法.利用圖解法解題的步驟是:一畫(畫滿足條件的平面區域)、二移(平移目標函數相應的直線)、三解(解方程組求出最優解)、四答(寫出目標函數的最值).隨著線性規劃相關理論及應用的發展,其可行域、目標函數已不再限于線性區域或線性函數.

現在新教材中雖然刪去了線性規劃的內容,但作為一種重要的解題工具,線性規劃思想在解決許多最值問題時有著明顯的優勢.下面擷取線性規劃思想應用的幾個視角,旨在探索題型規律.

一、在函數問題中的運用

二、在三角函數問題中的運用

(C)f(x)的最小值為1

選項C，D均為最值問題，換元轉化為二元函數來處理.

對選項C，由a∈[0,1],得a-a4=a(1-a3)≥0,即a≥a4,當且僅當a=0或a=1時等號成立.

同理b≥b4,當且僅當b=0或b=1時等號成立.所以a+b≥a4+b4=1,即f(x)的最小值為1，選項C正確.

對選項D，如圖2，當a,b∈[0,1]時，a+b=1對應的圖形是一條線段；a2+b2=1對應的圖形是四分之一圓弧；a3+b3=1和a4+b4=1對應的圖形是在線段a+b=1上方，且關于直線y=x對稱的曲線段.

綜上，選ACD.

評注本題判斷選項D時，通過將問題轉化，運用線性規劃思想求解，頗為巧妙.

三、在向量問題中的運用

例3已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值為______,最大值為______.

解由三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|及條件|a|=1,|b|=2,可得1≤|a+b|≤3,1≤|a-b|≤3.

設x=|a+b|,y=|a-b|,則x,y∈[1,3],且|a+b|+|a-b|=x+y,x2+y2=10.

評注本題是通過設元,構造線性目標函數,運用線性規劃思想求解的.

四、在不等式問題中的運用

如圖4，在平面直角坐標系xOy中，作出不等式組表示的平面……