應(yīng)用“切線法”求解導(dǎo)數(shù)綜合題

李 斌

(新疆烏魯木齊市第二十三中學(xué)，830000)

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是導(dǎo)數(shù)的重要知識(shí)點(diǎn)之一,也是求解有關(guān)導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用問(wèn)題的重要工具.在解題過(guò)程中,若能應(yīng)用或構(gòu)造應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往能使問(wèn)題得到順利解決.我們把應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題的方法權(quán)且稱(chēng)之為“切線法”,下面舉例說(shuō)明“切線法”在幾個(gè)方面的應(yīng)用.

一、平移化切

例1已知直線y=t與函數(shù)f(x)=2x+1和g(x)=2lnx+x的圖象交于點(diǎn)A和B，則|AB|的最小值為_(kāi)_____.

解函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0,+∞).

平移直線y=2x+1與g(x)=2lnx+x的圖象相切于點(diǎn)B，此時(shí)|AB|最小.

評(píng)注本題先將直線進(jìn)行平移與函數(shù)g(x)的圖象相切，確定此時(shí)|AB|取最小值，

評(píng)注本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，確定兩個(gè)函數(shù)g(x)和h(x)的凸凹性，由兩個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)P(x0,y0)處有公切線時(shí)得到a=e,然后當(dāng)a>e時(shí)，由h(x)的圖象在公切線附近向上伸展，從而根據(jù)兩函數(shù)的凸凹確定出函數(shù)f(x)必有兩個(gè)零點(diǎn).本題利用兩函數(shù)圖象的公切求解，頗為精彩.

三、利用圖象與切線的位置關(guān)系

例3已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax(a∈R),且y=f(x)的圖象在點(diǎn)(e,f(e))處的切線與直線x+4y+3=0垂直.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

解(1)題設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f′(x)=1+lnx+a.由條件可得1+ln e+a=4,解得a=2.

所以f(x)=xlnx+2x,得f′(x)=lnx+3.

(2)由(1)知a=2.

令φ(x)=xlnx+x,y=k(x-2),故問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)x>2時(shí)，直線y=k(x-2)在φ(x)=xlnx+x圖象的下方，求整數(shù)k的最大值.

先求過(guò)點(diǎn)(2，0)的函數(shù)φ(x)=xlnx+x圖象的切線斜率k的取值范圍.

由φ(x)=xlnx+x,得φ′(x)=lnx+2.設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0)(x0>2),則有

消去y0,可得x0-4-2lnx0=0.

下面求x0的取值范圍.

因?yàn)閗∈Z,所以當(dāng)x>2時(shí)，直線y=k(x-2)在函數(shù)φ(x)=xlnx+x圖象的下方時(shí)，整數(shù)k的最大值為4.

評(píng)注本題第(2)問(wèn)將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為當(dāng)x>2時(shí)，直線y=k(x-2)在函數(shù)φ(x)=xlnx+x圖象的下方，然后求出過(guò)點(diǎn)(2，0)的函數(shù)φ(x)=xlnx+x圖象的切線斜率k的范圍，進(jìn)而求得整數(shù)k的最大值.