分類例析將軍飲馬型最值問(wèn)題

鄧文忠

(陜西省洋縣黃安初級(jí)中學(xué)，723307)

將軍飲馬問(wèn)題中蘊(yùn)含著軸對(duì)稱思想:解決線段和的最小問(wèn)題,往往將同側(cè)其中一條線段關(guān)于某直線對(duì)稱反射到該直線另一側(cè),從而將線段的和轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短,即把兩折線“轉(zhuǎn)直”使問(wèn)題獲解.一般地,在同一平面內(nèi),通常將同側(cè)點(diǎn)作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化問(wèn)題;在空間中,往往將同側(cè)點(diǎn)作關(guān)于面的對(duì)稱點(diǎn),同時(shí)伴隨著將相關(guān)面展平,化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題.現(xiàn)結(jié)合具體例子予以說(shuō)明.

一、一個(gè)動(dòng)點(diǎn),“定-動(dòng)-定”型最值問(wèn)題

例1在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,P是線段BC1上的一動(dòng)點(diǎn),求A1P+PC的最小值.

解法1(代數(shù)法)

如圖1,連結(jié)B1P,過(guò)點(diǎn)P作EF∥BC,分別交BB1,CC1于點(diǎn)E,F.

解法2(幾何法)

因?yàn)锳1P在面A1BC1上,PC在面BCC1上,把這兩個(gè)面展平(如圖3),則A1P+PC的最小值為A1C.

過(guò)點(diǎn)B作BE⊥A1C1于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A1作A1F⊥BC1于點(diǎn)F.

解法3(解析法)

評(píng)注這兩種解法是求最值的常用解法.代數(shù)法門檻低,切入容易深入難,需要一定的運(yùn)算求解能力;幾何法化空間為平面、化折為直,門檻高,起點(diǎn)高，落點(diǎn)低,需要一定的空間想象能力和邏輯思維能力.

例2已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為6,E是線段D1C1上的點(diǎn),且D1E=2EC1,P是平面A1DC1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),則D1P+PE的最小值為( )

設(shè)?A1DC1的外心為點(diǎn)G,連結(jié)D1G并延長(zhǎng)至點(diǎn)D2,使D1與D2關(guān)于平面A1DC1對(duì)稱.連結(jié)D2E交平面A1DC1于點(diǎn)P,則D1P+PE的最小值為D2E.

評(píng)注本解法將點(diǎn)D1關(guān)于平面A1DC1對(duì)稱得點(diǎn)D2后,化點(diǎn)D1與E在平面A1DC1同側(cè)為點(diǎn)D2與E在平面A1DC1異側(cè),然后將折線和D1P+PE拉直為D2E,是典型的“立幾搭臺(tái)、平幾唱戲”.

二、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),“定-動(dòng)-動(dòng)”型最值問(wèn)題

例3在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱A1D1,C1D1的中點(diǎn),N為……