計算機專業數值計算方法課程教學模式探索

張紅平，黃麗麗

(1.深圳技術大學大數據與互聯網學院，廣東深圳，518118；2.深圳技術大學工程物理學院，廣東深圳，518118)

一、引言

隨著大數據、人工智能、物聯網的興起，當今社會正經歷著一場重大科技變革。為了應對這場變革，德國推出“工業4.0”來規劃國家創新戰略以應對智能化趨勢[1]，美國在2005年發布了一份名為《計算科學：確保美國競爭力》的長篇研究報告[2]，將計算提升到了面向智能化趨勢國家戰略的核心地位，俄羅斯在《現代工程教育》系列報告中提出“計算”戰略，并指出最終目標是構建一個高科技計算工程環境的教育—研究—創新前瞻性架構[3]，我國也在《中國制造2025》中對智能化工業時代的需求和發展作出了部署。[4]

各國提出的國家戰略都體現出對“計算”以及“智能化和數字化”工業時代的重視，事實上，重要前沿研究均有可能通過先進的計算技術和計算科學而得到解決[5]，計算正深刻影響著社會生產力的創造。“計算”對各國抓住智能化發展的重大戰略機遇具有不可取代的作用。在智能化趨勢下，計算基礎已不局限于計算數學和計算機相關專業，計算能力也不局限于計算機硬件設備算力和對少數數值模擬軟件的使用及對算法的改進，對計算人才的培養應從智能環境的特征和對從業人員的實際需求出發，綜合工程應用提煉專業人員所需具備的計算能力要素。

傳統數值算法和計算科學由物理世界的工程問題和需求發展而來，投影到數字化信息世界后，傳統以計算機為工具的計算方法的掌握運用能力為定義的計算能力也應進一步投射為掌握智能化知識和技能，基于計算的思維方式和從智能化環境中求解復雜問題的能力。[6]誠然，該新型計算能力正逐步成為智能化時代新型人才的核心能力要求。

為應對智能化發展環境的挑戰，使高校培養的工科人才與行業發展相適配，數值計算相關課程扮演著重要角色。無論從理論到方法，還是從最新軟件的使用到相關前沿領域發展，都廣泛涉獵，為學生提供多樣選擇，為國家戰略發展提供可用的復合型工程類人才。為呼應信息技術時代對工程人才計算能力的要求，美國、德國等發達國家高校已將數學和計算科學有效貫通，跨專業開展計算能力復合型人才的培養。[7-8]相比之下，我國每年的高校畢業生中同時擁有計算機相關能力與科學計算能力的人數難以滿足新形勢下行業對計算能力復合型人才的需求。

根據國內計算能力相關課程的發展現狀，結合深圳技術大學的具體實際情況，本文以計算機科學與技術專業本科生的數值計算方法授課為契機，基于學生的計算機專業背景，探討適合培養其科學計算能力的新教學模式，并在計算機科學與技術專業本科班進行了教學實踐，學生反饋和課堂效果都有積極反響。

二、對學生計算能力的新要求

大數據時代工程環境已拓展為數字化、網絡化、智能化的工程環境，支撐這一環境發展的重要因素就是“計算”，于是智能環境對工程師的要求也將“計算”放在了重要位置。在數據思維與建模仿真、工程技術基礎、系統思維等智能化趨勢下的工程科技人才核心能力要求中[9]，計算的思維方式和專業知識、技能體系的復雜問題解決能力正逐步成為工程師能力的核心要求。就信息產業發展而言，當前人工智能所包含的運算智能、感知智能和認知智能、計算機視覺、機器學習、自然語言處理、語音識別、自動駕駛等人工智能關鍵技術領域，都要求計算機科學、計算機工程、算法、信息技術等多方位知識儲備和技術支持，這些變革性和前沿性的知識和技術發展直接要求工程師具備新的計算能力。

在智能化趨勢下，科技領域產生大量復雜的計算問題，計算機相關專業人才將面臨更多需要計算、仿真和模擬的場景。如在人工智能和機器學習等熱門領域，所涉及的計算數學理論如最優化理論、回歸分析、概率模型、矩陣運算、特征值提取等，都要求工程師掌握扎實的數值計算理論和算法，并且能夠使用計算工具高效地求解問題。而數值計算方法中的大部分內容，如微分方程組求解、數據插值擬合、數值微積分、矩陣的特征值和特征向量的計算等，對計算機相關專業學生的實踐性、創新性、程序設計能力等都將具有重要意義。

三、課程教學中存在的問題

在高校課程設置中，主要還是將計算能力的培養作為一種解決問題的應用工具，而沒有意識到計算能力是智能化發展對工程師能力的時代性要求。這容易導致人才培養與實際應用脫節，工程師在遇到問題時往往只能現學現用，對解決復雜問題準備不足。盡管數值算法和分析在科研領域已被越來越廣泛地使用，但作為計算類的專業課程，其教學過程存在以下問題。

(一)欠缺應用實踐

傳統的數值計算方法課程內容主要側重理論知識的講解，欠缺應用實踐部分。課程中數學理論講解、解題技巧傳授的內容偏多，計算機編程實現成熟數值算法的內容偏多，針對如何吸引學生注意力、如何培養學生利用計算機專業知識分析和解決實際問題，尤其是智能化信息世界問題的設計偏弱，無法切實提高學生的計算能力。加上理論知識發展有其自身的客觀規律，不是實踐問題的照搬，而是對實踐問題的高度抽象和概括，進一步拉開了課程內容與實踐問題的距離。

(二)教學模式單一

教學模式單一是當前數值計算方法課程教學存在的主要問題之一。在教學過程中，教師以理論傳授為主，輔以上機編程。理論課程中涉及算法眾多，數學基礎要求較高，學生往往有力不從心的感覺；而上機實驗課題目往往專業相關性較弱，僅為實現課本算法而設計，有專業針對性的應用題目很少，因此，學生會缺乏主動性，只是機械地照搬課本上的成熟代碼。

(三)師資隊伍結構單一

在數值計算方法課程教學中具有計算機專業實踐經驗的教師占比較低，師資隊伍結構單一。由于傳統數值計算方法課程內容中數學理論和公式推導偏多，導致高校教授數值計算方法課程的教師中以數學專業教師居多，但數學專業教師往往智能化實踐和信息化實戰背景較弱，感知市場信息化工程案例的敏感度較低，難以將課堂理論知識和行業應用較好地結合。

總體而言，計算能力培養尚未與工程教育完美融合，本科階段教學與專業緊密結合的計算能力培養課程非常少，對計算能力培養的意識和重視程度不足，并且教學模式單一、師資隊伍有待建設。為了解決上述問題，本科課程教學內容亟待推陳出新，可以在本科生課程中增加一些研究生課程的內容，比如在人工智能、機器學習領域得到充分運用的最優化理論，在圖像處理領域運用頗多的矩陣運算和特征向量等。

四、數值計算方法課程新教學模式

為了在計算機相關專業學生中更好地傳授數值算法，提升其數值計算能力，以應對新數據時代對專業人才計算能力的要求，課題組在教學實踐中提出以專業應用為切入點，將算法理論與專業應用結合起來開展課堂講授和實驗課實踐，科學計算思維培養與學生專業實踐相結合，形成以“興趣培養—算法學習與實踐—科學計算能力提升—專業能力提升”為目的的新教學模式，如圖1所示。

圖1 計算機相關專業數值計算方法課程培養目標

該教學模式具體可以從培養興趣、結合實踐、綜合考核等方面進行，不斷探索和完善課程內容。

(一)由科學計算應用案例入手，培養學生興趣

興趣是人們做好工作的原動力，因此應從培養學生對數值計算課程的興趣入手。數值計算方法課程理論性強、內容枯燥、公式繁多，各種算法的演變及公式推導和定理證明極其復雜，具有高度抽象性和嚴密邏輯性的特點。以PPT講解為主，板書為輔的單一化教學模式，不但忽略了課程的實用性，難以將理論與實際應用融合，而且容易使學生產生厭倦心理，失去學習的興趣與信心。教師可以從實際問題引入，展示真實工程案例或科技應用項目案例，以問題驅動學生探索，引導學生討論分析，充分調動其積極性和主動性，激發學生學習興趣。

為了解決這些問題，課題組在課堂上介紹國內外航空航天領域和國防重點行業數值模擬的部分項目和視頻，以及部分國內外科學家的相關事跡，如我國大飛機研制中的氣動實驗數值模擬、火箭發動機燃燒數值模擬、原子彈研制中的九次計算等，以加深學生對科學計算領域的了解，激發其學習興趣，同時豐富授課內容，活躍氣氛。

(二)與專業實踐相結合，調動學習積極性

將數值計算課程中的內容和計算機相關專業行業背景聯系起來，引入專業實踐性較強的教學內容，在一定程度上弱化讓學生頭疼的數學理論，強調實踐應用，注重專業計算能力培養，提高課程內容專業相關性和學生學習積極性。

在介紹線性方程組求解時，將其與矩陣分解和特征值求解的不同算法一起介紹，從而引出奇異值分解和主成分分析，將課本內容和圖像識別及基本的機器學習聯系起來，引導學生編程實現圖像降噪、分離和壓縮等基本圖像分析處理過程，如圖2所示；在介紹迭代算法時，將加速機制與計算機算力發展史相比較，引導學生認識數學家的智慧；在講解插值算法時，將其與數據取樣和預處理結合介紹，還可同時引導學生利用插值貝塞爾曲線設計自己的專屬字體，如圖3所示；在曲線擬合與最小二乘法的介紹中，將其與最優化算法結合，從而引入遺傳算法和非線性規劃等內容，同時將人工智能相關算例同步講解；在函數逼近內容中，將傅里葉變換和時頻分析結合講授，增加部分雷達探測信號處理案例，吸引學生的注意力，從而實現更優的學習效果。

圖2 利用矩陣分解進行圖像壓縮的實例

圖3 利用插值進行貝塞爾曲線設計

(三)注重前后知識貫聯，建立數值計算知識網絡

教師在課堂上隨時將前后知識體系進行貫聯，培養學生主動參與、獨立思考、帶著問題自主學習的能力。如在高次插值時遇到的龍格現象，教師不僅要在理論課上進行圖像展示、實驗課上編程實現，還要引導學生思考截斷誤差、舍入誤差的深度關系。在基于插值的數值積分和數值微分中，是否會面臨相同的問題？是否也可以通過類似分段低次插值的方法規避？線性方程組組迭代求解與非線性方程的迭代求解的對比聯系，建立對迭代過程的深入理解。在曲線擬合中與函數插值建立聯系，同時與最優化理論和非線性方程組求解對比講解，從而建立起貫穿整個課程內容的知識網絡。

(四)豐富實踐教學模式，多角度提升學生計算能力

傳統的數值計算方法課程多采用理論講解加實驗課的模式，其中，實驗課以教材中算法的編程實現為主。事實上，數值計算各類教材中對所涉及的數值算法多有成熟代碼提供，學生實驗課上深度思考和實踐的機會不多，尤其對計算機相關專業學生而言，編碼挑戰難度不大，因此在一定程度上阻礙了學生計算能力的提高。為契合學科專業要求，教師可在實驗課中增設專業應用實踐部分，即除數值算法的基礎代碼實現外，學生還需組隊完成專業應用實踐題目，學習如何綜合使用多個數值算法共同解決問題，在專業領域內提升自身計算能力。

(五)多層次考核，帶動學生綜合能力的全面提升

課程教學模式需要實踐檢驗，課程教學質量也和課程考核方式直接相關。考核評價應充分考慮學生的不同特點及能力體現，不僅包括課堂表現、理論作業完成情況、基礎算法編程實現情況、專業應用實踐項目完成情況、考試成績等定量化指標，還應包括學生計算思維、團隊協作能力和綜合算法理解等思想層面的定性化指標，如表1所示。定量指標和定性指標有機結合可以較系統全面地對計算機相關專業學生掌握數值計算方法知識的情況進行綜合測評，其中每項又從知識掌握度和項目完成度兩方面給出考核，最終評判學生對該課程內容的理解和掌握。多層次的考核評價，旨在規避單一評價帶來的偏差，避免引起學生的厭學情緒，最終以此推動學生綜合提升自身計算能力，向綜合應用型計算人才邁進。

表1 課程教學質量考核體系

誠然，任何教學質量考核評價方法都不足以對學生所學形成完善的評價。一部分學生屬于后知后覺型人才，掌握消化所學算法和知識需要一定時間。因此，教師不妨記錄學生的長線發展，待學生進入高年級或研究生階段，在足夠專業知識的幫助下，再觀察其所具備的數值計算能力在完成專業計算機項目和適應專業需求方面所起的推動作用，這樣才能更全面地考查課程教學質量，進而實現本教學模式的良性迭代發展。

(六)課堂教學實踐與教學效果

深圳技術大學計算機科學與技術專業經過大二一個教學班的數值計算方法課程教學，以“興趣培養—算法學習與實踐—科學計算能力提升—專業能力提升”為目的的新教學模式取得了較為明顯的教學效果，大部分學生對數值算法的理解較以往有很大提升，基礎算法實驗編碼迅速，專業實踐項目完成度很高。相當一部分學生在學完數值算法后，計算思維得以強化，熟練掌握了計算技能，還助力了其他如人工智能和圖像處理等專業課程的學習，以及部分科研項目的參與，增強了專業自信心和成就感。

五、結語

科學計算是20世紀后半葉最重要的科技進步之一，是國家綜合國力的重要標志。[10]對數學和計算機科學算法的持續開發和改進是未來高端體系結構成功的關鍵。算法的改進對性能的貢獻，往往超過處理器速度的提高，而算法的改進和提高又仰賴于新數據時代對專業人員計算能力的超高要求。對計算機相關專業學生而言，如何借助數值計算方法課程全面提升自身的計算能力，已經成為越來越多計算機相關專業學生思考的問題。本文以計算機專業特點為切入點，提出了以“興趣培養—理論算法學習與實踐—科學計算能力提升—專業能力提升”為特點的教學模式。課堂中通過插入科學計算應用案例間接培養學生的學習興趣，課堂內容和計算機相關專業實踐相結合，注重前后知識貫聯，避免干枯教條式講授，建立數值計算知識網絡，豐富實踐教學模式，增加專業實踐項目中算法的綜合運用，多角度、多層次提升學生的綜合專業能力，真正實現新時代要求的高素質綜合型人才培養目標。