多角度剖析問題 提升科學(xué)思維素養(yǎng)
——一維彈性正碰的簡化計(jì)算和啟示

翟佑彬，欒 麗，李忠相

重慶市第一中學(xué)校，重慶 400030

在《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中，提出了四個(gè)學(xué)科核心素養(yǎng)，其中“物理觀念”是各素養(yǎng)的基礎(chǔ)，代表知識(shí)的內(nèi)化；“科學(xué)思維”與“科學(xué)探究”對應(yīng)關(guān)鍵能力，“科學(xué)態(tài)度與責(zé)任”屬于必備品格。其中，科學(xué)思維包括模型建構(gòu)、科學(xué)推理、科學(xué)論證、質(zhì)疑創(chuàng)新等要素，對應(yīng)物理學(xué)科5大關(guān)鍵能力中的推理論證能力、模型建構(gòu)能力、創(chuàng)新能力等?？梢?，提升學(xué)生的關(guān)鍵能力的核心在于科學(xué)思維素養(yǎng)的提升。多角度分析、多方法解決同一物理問題有利于訓(xùn)練學(xué)生思維的新穎性和靈活性，提升學(xué)生關(guān)鍵能力，下面以一維彈性正碰問題為例對此進(jìn)行探討。

一維彈性正碰是高中物理常規(guī)教學(xué)和物理競賽活動(dòng)中常見的物理過程，其求解過程通常較為復(fù)雜。為快速求解此問題，在實(shí)際教學(xué)中研究、總結(jié)出了六種不同的簡化計(jì)算方法。

如圖1所示，質(zhì)量為m的彈性小球以初速度u運(yùn)動(dòng)，與另一質(zhì)量為M、速度為u的小球在同一水平面上發(fā)生一維彈性正碰，求碰后兩球的速度v和v。

圖1 碰撞過程示意圖

1 直接消元法，特解指引簡化求解思路

直接將一個(gè)方程的未知數(shù)表示出來，代入另一個(gè)方程消元。這種方法有時(shí)候容易因?yàn)樾问竭^于復(fù)雜而使人迷失方向，如果有容易發(fā)現(xiàn)的特解指引，往往思路會(huì)更加明確。

碰撞前后，由于動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，分別有

初學(xué)者第一次遇到這兩個(gè)公式，第一反應(yīng)是直接代入消元。但是嘗試之后發(fā)現(xiàn)計(jì)算越來越復(fù)雜，便中途放棄，改用它法。事實(shí)上，直接消元未嘗不可。 由（1）（2）式分別可得

再將（3）式平方后與（4）式消掉 v，有

代入（3）式即可得到

此外，當(dāng)我們注意到u應(yīng)當(dāng)是v的一個(gè)根，這就意味著（5）式一定包含（v-u）的因式，于是按此指引，也可將（5）式化簡為

對于碰后狀態(tài)，v≠u，可由此消掉（v-u）因式，實(shí)現(xiàn)對原表達(dá)式的降次，使之成為一次方程，后續(xù)求解這里略去。

可見，由物理規(guī)律發(fā)現(xiàn)特解，對化簡復(fù)雜表達(dá)式有非常好的指引作用，這一思想在復(fù)雜運(yùn)算中應(yīng)用較多。

2 整體消元法，恢復(fù)系數(shù)替代能量方程

將多個(gè)方程中的一些表達(dá)式整體消元，可能讓方程整體變得簡潔。如果新的方程對應(yīng)明確的物理含義，也可以越過整體消元這一步驟，直接按物理意義寫出新方程。

對此問題，通常的簡化求解方法是將（1）（2）式分別移項(xiàng)變形為

由于碰后 v≠u，v≠u，兩式相除整體消元可得

再將（11）式和（1）式聯(lián)立即可容易解出結(jié)果。事實(shí)上，（11）式正是彈性碰撞恢復(fù)系數(shù)為1的結(jié)果，即

所以，在彈性碰撞問題中，往往可以用恢復(fù)系數(shù)為1的表達(dá)式替代能量關(guān)系式，直接和動(dòng)量關(guān)系構(gòu)成一次方程組，問題求解大大簡化。

3 質(zhì)心參考系法，零動(dòng)量要求速率反比于質(zhì)量

質(zhì)心系是一個(gè)非常特殊的參考系，有很多特別的性質(zhì)，比如質(zhì)心系是零動(dòng)量系。合理利用這個(gè)特點(diǎn)，也可以簡化運(yùn)算。

在質(zhì)心系下，系統(tǒng)的動(dòng)量一定為零。由兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)，其速率必然和質(zhì)量成反比。如圖2所示，此問題中，碰后兩小球一定有

圖2 碰后質(zhì)心系

又因?yàn)閺椥耘鲎?，碰后相互遠(yuǎn)離速率等于碰前相互靠近速率，有

由以上兩式很容易寫出

以上兩式的結(jié)果均包含兩項(xiàng)，各自的含義非常明確，通常可以做到直接寫出結(jié)論，運(yùn)算過程進(jìn)一步簡化。

4 轉(zhuǎn)換參考系法，借用動(dòng)碰靜相關(guān)結(jié)論

如果以其中一個(gè)物體為參考系，就可以將問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的運(yùn)動(dòng)物體碰靜止物體的模型，借用相關(guān)結(jié)論可以迅速找到結(jié)果。

如圖3所示，如果選擇被碰小球M碰前與之同速的慣性參考系，那么問題轉(zhuǎn)化為m以（u-u）與靜止的M發(fā)生彈性正碰，其結(jié)果是大家熟知的，即

圖3 碰前M參考系

再加上該參考系的牽連速度u，可得

以上兩式的結(jié)果也均包含兩項(xiàng)，各自的含義同樣非常明確，通常也可以做到直接寫出結(jié)論，實(shí)際運(yùn)算過程比質(zhì)心參考系法更簡潔。

要說明的是，這里選用的是與小球M碰前相對靜止的那個(gè)慣性參考系，這個(gè)參考系在碰后依然具有牽連速度u，整個(gè)過程中參考系的牽連速度沒有發(fā)生改變，故不必引入慣性力，動(dòng)量和機(jī)械能守恒均得以保證。

5 疊加原理法，線性方程組的必然性質(zhì)

如果一組方程都是線性方程，那么往往可以用疊加原理把多個(gè)因素分解成幾個(gè)因素單獨(dú)考慮，有效降低問題的復(fù)雜度。

此問題的結(jié)果可由（1）式和（11）式解出，這兩個(gè)式子均為以速度為變量的線性方程。于是可以將此過程“分解”，將原碰撞過程視為m以速度u和靜止的M彈性正碰（以下稱為“碰撞I”），以及M以u和靜止的m彈性正碰（以下稱為“碰撞II”）的疊加，如圖4所示。

圖4 碰撞疊加示意圖

對于碰撞I，碰后兩球速度分別為

對于碰撞II，碰后兩球速度分別為

結(jié)果也相應(yīng)疊加，即為原碰撞碰后兩小球的速度

線性方程對應(yīng)的疊加原理在線性電路求解過程中應(yīng)用較多，但在力學(xué)中應(yīng)用比較少。在這個(gè)問題中應(yīng)用同樣可以將計(jì)算過程簡化到可以直接寫出結(jié)論的程度。

6 共速中間態(tài)法，對稱過程必有對稱結(jié)論

從問題的對稱性出發(fā)，往往能在復(fù)雜的關(guān)系中快速找到物理量之間的規(guī)律，從而為復(fù)雜問題快速找到簡單解。

碰撞過程中，一定存在一個(gè)形變量最大的狀態(tài)，此時(shí)二者共速，可稱為共速態(tài)。由動(dòng)量守恒定律

同理，M小球的初末速度平均值也正好是共速態(tài)的速度，即

上述結(jié)果的形式也保留了兩項(xiàng)，以使表達(dá)式的含義更清晰。使用這個(gè)方法的計(jì)算過程更加簡潔。

上述六種方法是在教學(xué)過程中逐漸總結(jié)出的，本文給出的是一般情況的表達(dá)式計(jì)算和結(jié)果，如果有具體的數(shù)據(jù)，或質(zhì)量倍數(shù)關(guān)系，或速度倍數(shù)關(guān)系，計(jì)算過程均會(huì)比本文的計(jì)算更簡單，限于篇幅就不再一一舉例驗(yàn)證。對于這六種方法，可以舉出一些數(shù)據(jù)，用不同的方法驗(yàn)算，熟悉計(jì)算思路，對比計(jì)算的難易，挑選一兩種自己最容易接受的方法熟練掌握。這幾種方法的原理，有的比較好理解，有的比較抽象，在實(shí)際教學(xué)中要根據(jù)學(xué)生的情況進(jìn)行篩選，切不可死記硬背，避免變成單純地套用數(shù)學(xué)公式而忽略了對物理過程的分析和物理規(guī)律的理解。

物理思維的靈活性是指對某一具體思維過程來說，并沒有固定的模式和步驟，能從多角度審視問題、全方位綜合分析問題、采用多種方法解決問題。一維彈性正碰過程的求解，本就是動(dòng)量與能量雙守恒的二元二次方程組的求解。通過“特解指引簡化求解”“恢復(fù)系數(shù)替代能量方程”“質(zhì)心參考系法”“轉(zhuǎn)換參考系借用動(dòng)碰靜法”“線性方程對應(yīng)的疊加”“共速中間態(tài)對稱法”六種簡化辦法，利用物理規(guī)律及結(jié)論指引數(shù)學(xué)方程組的求解，對拓寬學(xué)生視野、訓(xùn)練學(xué)生科學(xué)思維、提升學(xué)生關(guān)鍵能力具有積極的作用。