多角度剖析問題 提升科學思維素養
——一維彈性正碰的簡化計算和啟示

翟佑彬，欒 麗，李忠相

重慶市第一中學校，重慶 400030

在《普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）》中，提出了四個學科核心素養，其中“物理觀念”是各素養的基礎，代表知識的內化；“科學思維”與“科學探究”對應關鍵能力，“科學態度與責任”屬于必備品格。其中，科學思維包括模型建構、科學推理、科學論證、質疑創新等要素，對應物理學科5大關鍵能力中的推理論證能力、模型建構能力、創新能力等。可見，提升學生的關鍵能力的核心在于科學思維素養的提升。多角度分析、多方法解決同一物理問題有利于訓練學生思維的新穎性和靈活性，提升學生關鍵能力，下面以一維彈性正碰問題為例對此進行探討。

一維彈性正碰是高中物理常規教學和物理競賽活動中常見的物理過程，其求解過程通常較為復雜。為快速求解此問題，在實際教學中研究、總結出了六種不同的簡化計算方法。

如圖1所示，質量為m的彈性小球以初速度u運動，與另一質量為M、速度為u的小球在同一水平面上發生一維彈性正碰，求碰后兩球的速度v和v。

圖1 碰撞過程示意圖

1 直接消元法，特解指引簡化求解思路

直接將一個方程的未知數表示出來，代入另一個方程消元。這種方法有時候容易因為形式過于復雜而使人迷失方向，如果有容易發現的特解指引，往往思路會更加明確。

碰撞前后，由于動量守恒和機械能守恒，分別有

初學者第一次遇到這兩個公式，第一反應是直接代入消元。但是嘗試之后發現計算越來越復雜，便中途放棄，改用它法。事實上，直接消元未嘗不可。 由（1）（2）式分別可得

再將（3）式平方后與（4）式消掉 v，有

代入（3）式即可得到

此外，當我們注意到u應當是v的一個根，這就意味著（5）式一定包含（v-u）的因式，于是按此指引，也可將（5）式化簡為

對于碰后狀態，v≠u，可由此消掉（v-u）因式，實現對原表達式的降次，使之成為一次方程，后續求解這里略去。

可見，由物理規律發現特解，對化簡復雜表達式有非常好的指引作用，這一思想在復雜運算中應用較多。

2 整體消元法，恢復系數替代能量方程

將多個方程中的一些表達式整體消元，可能讓方程整體變得簡潔。如果新的方程對應明確的物理含義，也可以越過整體消元這一步驟，直接按物理意義寫出新方程。

對此問題，通常的簡化求解方法是將（1）（2）式分別移項變形為

由于碰后 v≠u，v≠u，兩式相除整體消元可得

再將（11）式和（1）式聯立即可容易解出結果。事實上，（11）式正是彈性碰撞恢復系數為1的結果，即

所以，在彈性碰撞問題中，往往可以用恢復系數為1的表達式替代能量關系式，直接和動量關系構成一次方程組，問題求解大大簡化。

3 質心參考系法，零動量要求速率反比于質量

質心系是一個非常特殊的參考系，有很多特別的性質，比如質心系是零動量系。合理利用這個特點，也可以簡化運算。

在質心系下，系統的動量一定為零。由兩個物體組成的系統，其速率必然和質量成反比。如圖2所示，此問題中，碰后兩小球一定有

圖2 碰后質心系

又因為彈性碰撞，碰后相互遠離速率等于碰前相互靠近速率，有

由以上兩式很容易寫出

以上兩式的結果均包含兩項，各自的含義非常明確，通常可以做到直接寫出結論，運算過程進一步簡化。

4 轉換參考系法，借用動碰靜相關結論

如果以其中一個物體為參考系，就可以將問題轉化為我們熟知的運動物體碰靜止物體的模型，借用相關結論可以迅速找到結果。

如圖3所示，如果選擇被碰小球M碰前與之同速的慣性參考系，那么問題轉化為m以（u-u）與靜止的M發生彈性正碰，其結果是大家熟知的，即

圖3 碰前M參考系

再加上該參考系的牽連速度u，可得

以上兩式的結果也均包含兩項，各自的含義同樣非常明確，通常也可以做到直接寫出結論，實際運算過程比質心參考系法更簡潔。

要說明的是，這里選用的是與小球M碰前相對靜止的那個慣性參考系，這個參考系在碰后依然具有牽連速度u，整個過程中參考系的牽連速度沒有發生改變，故不必引入慣性力，動量和機械能守恒均得以保證。

5 疊加原理法，線性方程組的必然性質

如果一組方程都是線性方程，那么往往可以用疊加原理把多個因素分解成幾個因素單獨考慮，有效降低問題的復雜度。

此問題的結果可由（1）式和（11）式解出，這兩個式子均為以速度為變量的線性方程。于是可以將此過程“分解”，將原碰撞過程視為m以速度u和靜止的M彈性正碰（以下稱為“碰撞I”），以及M以u和靜止的m彈性正碰（以下稱為“碰撞II”）的疊加，如圖4所示。

圖4 碰撞疊加示意圖

對于碰撞I，碰后兩球速度分別為

對于碰撞II，碰后兩球速度分別為

結果也相應疊加，即為原碰撞碰后兩小球的速度

線性方程對應的疊加原理在線性電路求解過程中應用較多，但在力學中應用比較少。在這個問題中應用同樣可以將計算過程簡化到可以直接寫出結論的程度。

6 共速中間態法，對稱過程必有對稱結論

從問題的對稱性出發，往往能在復雜的關系中快速找到物理量之間的規律，從而為復雜問題快速找到簡單解。

碰撞過程中，一定存在一個形變量最大的狀態，此時二者共速，可稱為共速態。由動量守恒定律

同理，M小球的初末速度平均值也正好是共速態的速度，即

上述結果的形式也保留了兩項，以使表達式的含義更清晰。使用這個方法的計算過程更加簡潔。

上述六種方法是在教學過程中逐漸總結出的，本文給出的是一般情況的表達式計算和結果，如果有具體的數據，或質量倍數關系，或速度倍數關系，計算過程均會比本文的計算更簡單，限于篇幅就不再一一舉例驗證。對于這六種方法，可以舉出一些數據，用不同的方法驗算，熟悉計算思路，對比計算的難易，挑選一兩種自己最容易接受的方法熟練掌握。這幾種方法的原理，有的比較好理解，有的比較抽象，在實際教學中要根據學生的情況進行篩選，切不可死記硬背，避免變成單純地套用數學公式而忽略了對物理過程的分析和物理規律的理解。

物理思維的靈活性是指對某一具體思維過程來說，并沒有固定的模式和步驟，能從多角度審視問題、全方位綜合分析問題、采用多種方法解決問題。一維彈性正碰過程的求解，本就是動量與能量雙守恒的二元二次方程組的求解。通過“特解指引簡化求解”“恢復系數替代能量方程”“質心參考系法”“轉換參考系借用動碰靜法”“線性方程對應的疊加”“共速中間態對稱法”六種簡化辦法，利用物理規律及結論指引數學方程組的求解，對拓寬學生視野、訓練學生科學思維、提升學生關鍵能力具有積極的作用。