汽車主動懸架系統的有限頻域輸出反饋控制

孟亞鵬，李文鋒，謝正超

(1.泛亞汽車技術中心有限公司，上海 201201；2.華南理工大學機械與汽車工程學院，廣東廣州 510640)

0 前言

作為汽車底盤中不可或缺的一部分，汽車懸架系統在提高乘坐舒適性、改善操縱穩定性和優化道路友好性方面起著非常重要的作用。懸架系統通常包含被動懸架系統、半主動懸架系統和主動懸架系統3種類型。由于主動懸架系統配備了一個獨立作動器,能夠有效改善懸架系統各性能間的矛盾關系，進而提升懸架系統的綜合性能，所以主動懸架系統已經成為當前的研究熱點之一。近年來，大量的控制方法被開發應用到主動懸架系統上來，例如自適應控制、滑模控制、預瞄控制、最優控制和H控制等。值得注意的是，H控制方法在主動懸架控制分析與設計中引起了較為廣泛的討論，尤其是在注重控制魯棒性和干擾抑制性能的背景下，更加引人關注。

在汽車懸架系統控制的分析與設計中，核心目標是抑制路面干擾產生的振動，以提高汽車的乘坐舒適性。在現有的控制方法中，大多數都是針對全頻域的路面干擾進行分析。然而現實中路面激勵的頻率往往屬于一個特定頻率區間。此外，根據ISO-2631,人體對4～8 Hz的垂直振動更為敏感，甚至由于和人體器官的振動頻率相近，二者產生共振，對人體造成傷害。因此，針對有限頻域約束的主動懸架系統進行控制分析與設計顯得更有意義。為了解決有限頻域下的控制問題，文獻[11]提出了一種廣義KYP引理，搭建了頻域不等式與時域線性矩陣不等式等價轉換的橋梁。基于廣義KYP引理，大量的研究成果被發表并獲得了較好的工程應用。其中，SUN等針對主動懸架系統提出了一種有限頻域控制方法，仿真結果驗證了所提的有限頻域控制方法在特定頻率段內能夠進一步改善懸架的乘坐舒適性。值得指出的是，有限頻域控制能夠最大程度地抑制所關注頻域內的擾動，而適當放寬對其他頻域內的擾動抑制效果。然而，上述有限頻域控制方法必須在所有懸架狀態信息均能在線獲得的情況下才能作用于懸架系統。在實際懸架系統中必然存在部分狀態變量無法通過商用傳感器獲得的情況，因此上述方法具有嚴峻的可行性問題。基于此考慮，輸出反饋控制的研究漸漸引起了學者們的注意。文獻[16]提出了一種基于單步法的有限頻域靜態輸出反饋控制，但是該方法需要一個正定矩陣來完成變量替換，在存在時滯、不確定性等情況下該條件不能得到滿足。

因此，本文作者針對汽車主動懸架系統提出了一種基于啟發式兩步法的有限頻域靜態輸出反饋控制方法。首先，提出一種特定頻域下的H性能指標判據，針對性考慮了敏感頻域內擾動的抑制性能，有助于進一步提升車輛的乘坐舒適性；其次，提出一種有限頻域靜態輸出反饋控制的設計與優化算法，消除了對完整狀態信息的在線依賴，保證了控制器的工程可行性；最后，通過數值仿真和臺架試驗證實了該方法能很好地抑制外界擾動，從而有效地提高懸架系統的乘坐舒適性。

1 問題描述

文中考慮一種典型的二自由度1/4車主動懸架模型，如圖1所示。

圖1 1/4車主動懸架模型

其動力學方程如下：

(1)

其中：和分別代表簧上質量和簧下質量；()、()和()分別代表車身位移、輪胎位移及路面干擾不平度；和分別表示懸架剛度和阻尼系數；和分別代表輪胎剛度和阻尼系數；()表示作動器的主動力。選取狀態向量如下：

(2)

由于()-()含有路面不平度信息，無法通過低成本傳感器獲得，故文中的測量輸出向量選取如下：

(3)

(4)

其中：表示懸架行程的最大值。

(5)

其中：

文中考慮的靜態輸出反饋控制器形式如下：

()=()=()

(6)

綜上所述，可以得到主動懸架閉環系統表達式如下所示：

(7)

其中：=+,=，=+，=0。

文中的目標是提出一種形式如式(6)的控制器設計方法，使得下列條件成立：

(1)閉環系統(7)在干擾為零的情況下漸近穩定；

(2)使得車身加速度在考慮頻率范圍內滿足H性能，即

(8)

其中：(j)表示到的傳遞函數。

(3)主動懸架機械約束得到滿足，即

|[()]|≤1=1,2

(9)

2 控制設計

將提出一種基于啟發式兩步法的有限頻域靜態輸出反饋控制方法，以進一步提升主動懸架系統的綜合性能。首先，給出如下兩個引理。

引理1：針對任意線性狀態空間表達系統(,,,)和一個對稱矩陣，下面的兩個條件等價:

(1)頻域內的不等式：

(10)

(2)存在對稱矩陣和正定矩陣>0，下式成立：

(11)

其中：

首先，容易得知式(10)可以寫成如下形式：

<0

(12)

其中：

然后，通過選取Lyapunov正定函數()=()()，閉環系統(7)可以通過下面的不等式來保證漸近穩定性要求：

(13)

其中：

引理2：給定正標量、及控制器形式如式(6)，閉環系統(7)滿足漸近穩定性并且獲得期望性能(8)和(9)，若存在對稱矩陣、>0,>0和一般矩陣、及一個正標量使得下式成立：

(14)

(15)

(16)

則有限頻域狀態反饋增益系數的求解算式為

=

(17)

其中：[]表示+。

2.1 系統控制分析

綜上所述，給出系統控制分析的定理如下：

定理1：給定正標量、及控制器形式如式(6)，閉環系統(7)滿足漸近穩定性并且獲得期望性能(8)和(9)，如果存在對稱矩陣、>0,>0和一般矩陣和使得下式成立：

++<0

(18)

(19)

(20)

其中：如式(12)所示，如式(13)所示，且

對于上述定義的矩陣、、和，下列關系成立：

(21)

接下來討論的是主動懸架系統的機械約束。基于上述討論，以下不等式成立：

(22)

對式(18)兩端同時進行0到的積分，則以下不等式成立：

(23)

(24)

其中：(·)表示的是矩陣的最大特征值。因此，系統的機械約束(9)可以通過下式得到保證：

(25)

其中，基于舒爾補定理，式(25)可以改寫為式(20)。

至此，證明完成。

在定理1的基礎上，接下來提出一個用于控制器反饋系數求解的新定理，如下：

定理2：給定正標量、及控制器形式如式(6)，閉環系統(7)滿足漸近穩定性并且獲得期望性能(8)和(9)，如果存在對稱矩陣、>0,>0和一般矩陣、和使得下式成立：

++<0

(26)

(27)

(28)

進一步，靜態輸出反饋系數的求解算式為

=

(29)

其中，，和的定義與前文一致，且

證明：根據式(19)容易得知+<0，即矩陣是可逆矩陣。接著作如下矩陣替換：

=，=()

(30)

因此，在定理1的基礎上，式(26)—式(28)成立。

至此，證明完成。

2.2 系統控制求解

定理2給出了一個求解靜態輸出反饋系數的充分條件，然而矩陣不等式中存在未知矩陣和的耦合。換言之，定理2的條件不再是線性矩陣不等式的形式了，無法直接求解。在文獻[17]的啟發下，未知矩陣可以提前設定為一個有限頻域狀態反饋增益，從而使得定理2中的矩陣不等式可以直接求解。由引理2得到一個有限頻域狀態反饋增益是可行的，在此基礎上，有限頻域靜態輸出反饋控制器可以通過求解下列優化問題獲得：

(31)

進一步，文中提出的基于啟發式兩步法的主動懸架系統有限頻域控制器求解步驟總結如下：

步驟 1，通過運行引理2尋求一個合適的有限頻域狀態反饋增益系數；

步驟 2，求解最優化問題(31)并獲得期望的有限頻域靜態輸出反饋增益系數。

3 仿真分析與試驗驗證

為了評估和驗證文中所提控制方法的有效性，采用圖2所示的主動懸架設備進行數值仿真和臺架試驗。主動懸架設備主要部件的介紹如圖2所示，懸架參數如表1所示。與控制求解相關的參數選取為=4 Hz,=8 Hz,=500及=0.9。通過MATLAB LMI工具箱的MINCX函數，按照啟發式兩步法可以求解得到有限頻域輸出反饋控制的性能指標為=4.290 2，其反饋增益系數為=[591.300 5 -66.097 3 -0.589 4]。

圖2 主動懸架設備

表1 主動懸架試驗臺參數

同樣地，根據所提有限頻域輸出反饋控制器設計的基本思路，可以獲得一個全頻域輸出反饋的性能指標為=14.356 6，其反饋增益系數為=[460.166 7 -61.694 6 1.217 1]。

基于得到的控制器參數，通過Bode函數可以得到如圖3所示的車身加速度頻域響應曲線。可以看出：相比較無控制器的被動懸架系統，搭載有限頻域輸出反饋控制器和全頻域輸出反饋控制器的主動懸架系統能夠產生較低的車身加速度，這說明兩種控制器均具有良好的干擾抑制性能；其次可以看出與全頻域輸出反饋控制器相比，有限頻域輸出反饋控制器在干擾抑制方面更具優越性，這說明有限頻域控制器比全頻域控制器能更好地抑制路面擾動，從而獲得更好的乘坐舒適。換句話說，車身加速度頻域響應驗證了所提有限頻域輸出反饋控制方法的優越性。

圖3 車身加速度頻域響應

為了進一步評估主動懸架控制系統在時域內的性能，采用如圖4所示的主動懸架試驗臺進行實驗分析與驗證。考慮到在控制設計過程中面向的是一般路面激勵，選取兩種典型路面形式開展實驗和仿真研究。首先給出如下脈沖路面激勵：

圖4 主動懸架系統試驗圖

=3 s

(32)

圖5為懸架系統在脈沖路面干擾下的響應曲線。從圖5(a1)(b1)中可以看出有限頻域控制器比全頻域控制器產生更小的車身加速度值，這顯示著有限頻域控制器能更好地抑制振動，從而提高車輛的乘坐舒適性。從圖5(a2)(b2)(a3)(b3)中可以看出相對懸架動行程和相對輪胎動載荷均小于1，這說明了有限頻域控制器和全頻域控制器均可使懸架系統滿足機械硬約束，處于穩定的工況。從圖5(a4)(b4)中可以看出兩種控制器的主動力輸入均小于20 N，其中有限頻域的主動力略大，這也是產生更好振動抑制性能的支撐。綜上所述，脈沖路面激勵的實驗和仿真結果驗證了有限頻域控制器的有效性和優越性。

圖5 脈沖激勵下系統響應

其次，給出頻率為4 Hz的正弦路面激勵進行實驗和仿真，如下：

()=001sin(2π)

(33)

其中：=4 Hz。

從圖6(a1) (b1)中可以看出所提出的有限頻域控制器相較于全頻域控制器能更好地抑制振動。這說明了有限頻域輸出反饋控制方法在提升懸架系統乘坐舒適性具有良好的效果。從圖6(a2)(b2)(a3)(b3)可以看出懸架系統的機械約束包括相對懸架動力行程和相對輪胎動載荷均在規定范圍內，這說明了懸架系統處于一個穩定的工況。從圖6(a4)(b4)可以看出執行器主動力幾乎限制在15 N之內，這顯示了執行器的輸出是可行的。綜合所述，文中提出的有限頻域輸出反饋器在提升車輛乘坐舒適性方面具有較好的優越性。

圖6 正弦激勵下系統響應

總而言之，實驗和仿真結果說明了所提有限頻域控制方法能更好地提升車輛乘坐舒適，同時保證了懸架系統的穩定性。

4 結論

針對有限頻域干擾下的主動懸架系統，以提升懸架系統乘坐舒適性和滿足其機械硬約束為目標，提出一種基于啟發式兩步法的輸出反饋控制算法。首先，給出了一種有限頻域性能指標判據，通過引入合適的乘子矩陣推導出了懸架系統性能分析的充分條件。其次，通過應用矩陣變換分離了充分條件中的矩陣耦合項，進一步得到了用于有限頻域控制器設計的可求解充分條件。基于啟發式算法，提出一種具有兩步的有限頻域輸出反饋控制的新方法。與全頻域控制方法相比，文中提出的基于啟發式兩步法的有限頻域輸出反饋控制方法體現了更好的擾動抑制性能。最后，仿真分析和試驗結果證明了文中提出的新方法比傳統的全頻域控制方法具有更好的控制效果，能更好地提升懸架系統的綜合性能。