借力學材 讓學習歷程看得見

◇賈雪娟（江蘇：南京市銀龍花園學校）

數學學習的效果與教師提供的學習材料有著密切的關系，數學學習材料不單是現成的教材，更是教師站在學生的視角，通過研讀理解教材，剖析數學知識間的內在關聯、對數學知識進行整合的適合小學生數學學習的材料。它是實現數學學科本質與學習方式深度融合的載體。深度學習的課堂有一個很重要的因素就是歷程，我們可以借力學材，讓學生親歷學習過程，也讓學習過程看得見。

一、呈現個性學習，讓思維路徑看得見

學生是課堂的主人，學習應該屬于學生自己。但每個學生都是不同的個體，都有自己的學習特點，正如沒有兩片完全相同的樹葉，天下也沒有完全雷同的學生。怎樣因材施教呈現他們的個性化學習呢？

案例1：在《認識100以內的數》的情境引入時，我拍攝了班級學生的座位圖作為學習材料，讓學生數一數教室里一共有多少人。

學生有的1 個1 個數，有的2 個2 個數，有的5個5個數，有的10個10個數，還有的多種方法一起數。最初的設計是呈現雜亂排列的23 根小棒，讓學生用自己的方法數一數，但學生不感興趣。為了進一步激發學生的興趣，改為呈現雜亂擺放的23顆糖果，但學生基本上是一顆一顆數，因為糖果的擺放沒有規律，一顆一顆數，學生覺得更簡單。怎樣讓學生感受數數方法的多樣性，特別是10 個10個數的方便性呢？我就想到了教室的座位，一大組正好有10 個人，而且座位的擺放規則，學生應該能想到很多種數法。果不其然，學生對這個問題非常感興趣，個個開動腦筋，反饋時呈現出不同的數數方法。通過對比，學生也體會到10 個10 個數的便捷。這樣有助于學生理解數的含義，為學習數的組成做好鋪墊。

數學源于生活，用于生活，生活中的素材是寶貴的學習材料，經過合理的設計，學生可以借助生活中的學材呈現個性化的想法，也讓自己的思維路徑看得見。所以教師既要善于發掘兒童身邊的“學材”，又要基于時代的特質，開發學材，為學生的學習服務，為數學教學服務。

二、多元表征，讓概念形成過程看得見

數學學習領域，絕大多數的學習對象都可以用實物情境、教具模型、圖形、圖表、言語、書寫符號這五種類型來表征。數學多元表征，可以多層次抽象數學概念，多視角歸納數學概念，多維度建構數學概念，讓數學概念的形成過程看得見。

如何使用學材，讓多元表征更有效呢？

（一）目標驅動，引領教材向學材轉化

對于《認識100 以內的數》一課，各個版本的教材都運用了哪些學材？這些學材是如何作用于學生的？我對人教版、北師大版、蘇教版這三個版本的教材進行了橫向梳理，發現它們的相同點是：三個版本的教材都選取了小棒，因為小棒更能凸顯數的層次性，更容易幫助學生借助操作看到“十進”，即“10 個一是1 個十”“10 個十是1 個百”。它們的不同點是：蘇教版主要提供了計數器，計數器是學習和理解“位值”的很好學材，方便學生動手操作，尤其在學習多位數時，這個優勢更為顯著；北師大版提供了第納斯木塊，木塊也凸顯“十進”，雖然其結構與木棒相同，但是，第納斯木塊更能凸顯數的結構，容易讓學生頭腦里形成一維、二維到三維的表象，也為后續大數的學習做好鋪墊；人教版提供了下圖這樣的素材。

圖片中的物品按每1 列有10 個或者每1 行有10個擺放，這樣方便學生數數和理解數的組成。

還有10×10 的格子紙，如表示32（即3 行加2個），格子紙為學習百數表奠定基礎，也是學習小數的一種重要工具。

生活中如果遇到數豆子、數珠子的問題，人們是怎樣解決的呢？有一種數數的工具“數珠器”，如下圖。它可以快速數出大量的珠子，具有實際應用價值。

但是，這些學材各自也有一些不足：小棒是10根打成一捆，不能讓學生清楚地看出是10 個一；第納斯木塊更能凸顯“形的直觀”與“數”之間的關系，但學生動手操作麻煩；計數器半直觀半抽象；格子紙涂色較慢；數珠器成本較高。教學中，我們可以嘗試融合多樣的學材，使表征多元化，但要避免華而不實，要讓學習真正發生。

（二）優化學材，讓數的概念逐步形成

學材具有多樣性，也各有利弊，如何使用學材發揮它的優勢，減少它的弊端呢？在傳統學材的基礎上，是否可以進一步優化學材？這些都是我們在教學中應該思考的問題。

案例2：在《認識100以內的數》教學中，最初給學生提供的學材有小棒、木塊，讓學生用喜歡的方式表示出23。有的學生擺木塊，2豎條加3個，有的學生擺小棒，2 捆加3 根。再通過比較不同點與相同點，發現它們都表示2 個十，3 個一，這也是23 這個數的含義。學生借助小棒、木塊，直觀體會了數的含義，能不能在直觀操作的基礎上，豐盈學生的經驗，讓思維過程拾級而上呢？

我啟發學生思考：除了小棒，我們還能借助其他學材去探索100 以內甚至更大的數嗎？引出可以用圓片來代替小棒，1 個紅圓片表示1 個一，10根小棒可以捆一捆，可是圓片不方便捆起來，又該怎么辦呢？可以用1 個綠圓片表示1 個十，10 個綠圓片就是100，可以用1個藍圓片表示1個百。2個綠圓片和3 個紅圓片合起來就表示23。學生會發現這樣的擺放和計數器很像，有助于學生理解計數器的原理，也為下節課深入研究計數器的學習做了鋪墊。

課后我也進行了反思，用顏色區分“數值”比較抽象，為了更直觀，可以用1個小圓片表示1個一，1個稍大點的圓片表示1個十，1個更大的圓片表示1個百。再擺出23，擺出的圓片有的大有的小，說明表示的數值不同。為了更簡單地表示不同的數值，可以用顏色和大小都一樣的圓片，但要標清楚每個圓片的數值，也就是數位，即計數器的原理。

了解學情后，你會發現學生是有能力更深入學習的，所以我們提供的學材要讓學生的思維過程富有張力，從已有的經驗生長出新的經驗，推動學生的思維由淺入深不斷進階，讓數的概念逐步形成。我們發現優化學習材料有利于培養學生的數學意識，增強學生的數學學習才能，更有利于學生的發展。

三、凸顯數形結合，讓概念內涵看得見

概括而言，小學數學教學研究的對象就是數和形。數與形的相互轉化、結合既是數學的重要思想，也是一種很好的教學方法。以形助數，以數輔形，可以達到邏輯思維與形象思維的完美統一。

在認識數的教學中，我們讓數的概念與小棒圖、木塊圖、計數器圖等圖形有機結合，讓學生對數的概念形成清晰的表象。在教學中，我們除了讓學生擺一擺，還可以讓學生試著畫一畫，提供畫圖的學習材料，讓學生由直觀思維向抽象思維進一步過渡。

在數學課上，我經常會讓學生畫一畫數的組成、概念的含義、題中的信息、解題思路等。經過平時的畫圖練習，學生已經養成一種習慣，覺得學數學沒有那么難，而且很有意思。畫圖是直觀思維和抽象思維之間的橋梁，是學生學習能力的進一步提升。在課堂上給學生提供畫圖的機會，可以讓概念內涵看得見。

四、注重脈絡建構，讓知識體系看得見

數學知識不是孤立存在的，它們之間有著密切的聯系，每一個新知識點都是已有知識點的拓展和延續。在小學數學教學中，秉持這樣的一種“關系”數學觀，有助于“整體”教學，讓學習方法得以同化和順應，讓知識體系看得見。

學生認識數是一個循序漸進的過程，從認識10以內的數到認識20以內的數到認識100以內的數到認識萬以內的數再到認識多位數。認識數的方法也由具體向抽象過渡，最初是數生活中的實物，到數圓片、小棒，到計數器，再到算盤。數的方法也由1個1個數，提升到10個10個數、100 個100 個數、1000 個1000 個數……但是學習的方法是相通的，它們之間都是“十進制”，學生可以利用學材建立一個“十進制”數學模型，10 個幾是1 個幾，讓學習資源結構化呈現。

小學階段的數學建模不同于其他階段，其主要目的并不是讓學生自己建構新的模型，更重要的是讓學生體驗建模的過程，在教師的引導下自主探究相關問題，由具體到抽象、由個別到一般，形成模型。在形成模型的基礎上再次應用模型，加深對模型的理解。學生從認識20 以內的數到認識億以內的數就是這樣的一個過程。所以，在教學中，教師要有建模意識，在這個過程中，學材就是拐杖，教師要充分發揮學材的作用。

案例3：除了利用學材建立數學模型可以讓數結構化呈現，數軸也是能夠讓數結構化呈現的一種學材。在《認識11～20》這節課的教學中，我讓學生在數軸上找到11～20 各數的位置。有的學生先找到11，然后一個一個地往后找；有的學生先找到20，再找15，在找數的位置過程中，對0～20 各數之間的關系有了更深的了解。

在認識更大一些的數時，可以繼續延長數軸，在數軸上找到它們對應的位置。利用數軸可以將數有序地表示在一條有方向的線上。這對于整個數體系的建立具有重要的作用。

課堂中應關注學生思維的發展，以學生自主探索為主線，設計有效的數學學習活動，讓學生的學習真正發生。學材凸顯出學生學習的主體性，借助學材，可以設計多元的、有層次的活動，讓學生自主探究，還給學生思維的空間，激發學生思維的動力，讓學生的數學思維“活起來”。通過擺一擺、撥一撥、畫一畫、說一說、寫一寫等途徑，調動學生多種感官參與學習，動態、直觀、清晰、深刻地展現學生的思維，從而讓學生的數學學習歷程真正“看得見”。