單位根左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量研究

王曉強 江海峰

（安徽工業(yè)大學(xué) 商學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032）

0 引言

眾所周知，單位根檢驗是檢驗經(jīng)濟理論、防止偽回歸、深入研究其他相關(guān)理論不可缺少的環(huán)節(jié)。因此，檢驗宏觀經(jīng)濟時間序列是否為單位根過程，一直成為理論和實證研究的熱點。自單位根DF檢驗提出以來，單位根檢驗量理論不斷深入發(fā)展。在檢驗量改進研究方面，學(xué)者們先后提出ADF檢驗、PP檢驗、KPSS檢驗、ERS檢驗和NP檢驗，這些檢驗方法被計量經(jīng)濟學(xué)軟件所采納，成為目前單位根主流檢驗方法[1-6]。在檢驗方法改進方面，不少學(xué)者將Bootstrap方法引入到單位根檢驗中，取到了較好的檢驗效果[7]。Phillips和Magdalinos[8]在單位根檢驗引入相關(guān)變量從而提出IVX檢驗方法，Hepsag[9]考察結(jié)構(gòu)突變非線性調(diào)整單位根檢驗方法。在檢驗時間序列頻率方面，Hylleberg等[10]考察季節(jié)數(shù)據(jù)，提出季節(jié)單位根HEGY檢驗，而Laurent和Shi[11]進一步提出高頻數(shù)據(jù)單位根檢驗方法。其他相關(guān)研究不一而足，這里不再贅述。

由于單位根檢驗結(jié)論同時受到數(shù)據(jù)生成過程和檢驗?zāi)Ｐ驮O(shè)置影響，從某種程度上說，單位根檢驗過程就是確定數(shù)據(jù)生成過程。為此，Doldado等[12]、江海峰和汪忠志[13]分別提出單位根DJSR檢驗流程和KPSS檢驗流程。就DJSR檢驗流程來說，單位根檢驗不僅要檢驗單位根項，還需要同時考察與漂移項和趨勢項的聯(lián)合檢驗。聶巧平和張曉峒[14]、張凌翔和張曉峒[15-16]分別考察DF類單位根中聯(lián)合檢驗的F檢驗量、Wald檢驗量和LM檢驗量。左秀霞[17]進一步考慮單位根檢驗中高次趨勢聯(lián)合F檢驗量分布。和其他檢驗量一樣，這三類檢驗量僅考察原假設(shè)成立時信息，在檢驗量構(gòu)建過程中采用雙側(cè)假設(shè)檢驗?zāi)Ｊ剑雎粤藗鋼窦僭O(shè)中單側(cè)設(shè)置形式所提供的信息。Abadir等[18]研究表明，融入備擇假設(shè)信息的聯(lián)合檢驗量能夠提高檢驗功效。由于單位根檢驗屬于單邊左側(cè)檢驗，因而可以嘗試將單側(cè)檢驗信息融入到上述聯(lián)合檢驗量構(gòu)造中。鑒于F檢驗量、Wald檢驗量和LM檢驗量的相似性，文章以Wald檢驗量為代表展開研究。首先，按照數(shù)據(jù)生成過程是否包括漂移項，分類討論單位根檢驗中左側(cè)聯(lián)合檢驗量的構(gòu)建；其次，研究大樣本下調(diào)整聯(lián)合檢驗量的分布，利用蒙特卡洛模擬技術(shù)獲取左側(cè)調(diào)整聯(lián)合檢驗量分位數(shù)；最后，從分位數(shù)、檢驗水平和檢驗功效三個角度和無調(diào)整聯(lián)合檢驗量進行比較。這些研究完善了單位根檢驗流程理論，為實證研究提供一種新檢驗方法。

1 單邊檢驗量構(gòu)造

根據(jù)經(jīng)典Wald檢驗量構(gòu)造有

其中I（·）為示性函數(shù)，條件成立取1，否則取0。

2 單位根檢驗左側(cè)聯(lián)合檢驗量構(gòu)建研究

2.1 無漂移項單位根數(shù)據(jù)生成過程

不失一般性，為便于敘述，文章研究DF模式下的左側(cè)調(diào)整聯(lián)合檢驗量構(gòu)建，對于PP檢驗和ADF檢驗也可以類似研究。沿用文獻[15]中的記號，與W22、W33檢驗量對應(yīng)的數(shù)據(jù)生成過程為

其中 εt～iid（0，σ2），y0=0，T 為樣本容量。估計模型分別為

在模型（3）中檢驗 H01∶α1=0，ρ1=0，在模型（4）中檢驗 H02∶α2=0，δ1=0，ρ2=0，檢驗量分別記為W22、W33。設(shè) diag（·）表示以括號內(nèi)元素構(gòu)造對角陣，W（·）表示定義在[0，1]內(nèi)的布朗運動。引入相關(guān)記號如下

對檢驗 H01∶α1=0，ρ1=0、H02∶α2=0，δ1=0，ρ2=0 有h11（θ1） = α1，h12（θ1） = ρ1，，h22（θ2） = ρ2對模型（3）令

記左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量分別為W22adj和W33adj，?表示弱收斂，則有以下定理1成立。

定理1 設(shè)數(shù)據(jù)生成為式（2），分別估計模型（3）和模型（4），檢驗假設(shè) H01∶α1=0，ρ1=0、H02∶α2=0，δ1=0，ρ2=0。記左側(cè)調(diào)整 Wald聯(lián)合檢驗量為 W22adj和 W33adj，則有

證明 由OLS估計知，模型（3）和模型（4）的參數(shù)估計量及其方差在大樣本下服從分布為

縱觀馬克思的青年時代，他也擁有本屬于青年人的一般特質(zhì)，甚至曾經(jīng)是一個叛逆青年。他曾經(jīng)流連于所謂“特里爾同鄉(xiāng)會”組織的各種聚會當中，也曾因為每個月的巨額花銷遭到父親的斥責(zé)。但是，這些只是一個年輕人在成長過程中的一段插曲，而馬克思在青年時代所展現(xiàn)出的與眾不同的精神特質(zhì)，注定意味著他將在自己的人生中譜寫出壯麗的樂章。

i=1，2。對模型（3），根據(jù)式（5）計算表明

帶入W22adj和W33adj表達式，且示性函數(shù)I（·）為連續(xù)函數(shù)，根據(jù)連續(xù)映射定理，容易驗證定理1成立。

2.2 有漂移項單位根數(shù)據(jù)生成過程

設(shè)數(shù)據(jù)生成過程為

此時估計模型分別為模型（7）和模型（8）

在模型（7）中建立假設(shè) H03∶α3=c，ρ3=0，在模型（8）分別建立假設(shè) H04∶δ2=0，ρ4=0，H05∶α4=c，ρ4=0，H06∶α4=c，δ2=0，ρ4=0。對模型（8）進行共線性處理得

證明 對模型（7）而言，當數(shù)據(jù)生成為式（6）時，參數(shù)估計量及其方差分布在大樣本下有

帶入檢驗量W32adj的表達式可得結(jié)論成立。類似可證明W34adj、W33adj的分布也成立，從而定理2成立。

3 仿真模擬研究

和無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量一樣，調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量在大樣本下收斂到維納過程的泛函，也為非標準分布，但與無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量分布不同。為此，需要使用蒙特卡洛模擬技術(shù)獲取分位數(shù)，所有仿真模擬采用統(tǒng)計軟件SAS9.4。設(shè)置模擬次數(shù)為50萬次，擾動項εt服從標準正態(tài)分布。不失一般性，令漂移項c=0.1。為進行對比，同時列出無調(diào)整和調(diào)整的Wald聯(lián)合檢驗量分位數(shù)。限于篇幅，這里只列出95%分位數(shù)，結(jié)果如表1所示。表1給出了13種樣本下的95%分位數(shù)模擬結(jié)果。表1反映出3條結(jié)論。第一，隨著樣本容量的增大，各個檢驗量的分位數(shù)呈現(xiàn)下降趨勢，但降幅趨緩，這與各個檢驗量在大樣本下具有明確的分布相吻合。第二，固定樣本容量時，所有調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量的分位數(shù)都小于對應(yīng)無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量的分位數(shù)。第三，聯(lián)合檢驗量W22adj與W22、Wadj與W分位數(shù)差異相對較大，其他三組調(diào)整聯(lián)合檢驗量，與對應(yīng)的無調(diào)整聯(lián)合檢驗量分位數(shù)相差很小，個別場合在小數(shù)點后三位完全相同。原因是模型（3）、模型（7）中1＜ 0 和3＜ 0出現(xiàn)的機會比模型（4）、模型（9）中2＜ 0 和4＜ 0出現(xiàn)的機會要小，機會越小，調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量與無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量分位數(shù)相差越大。下面表2給出與表1相對應(yīng)單位根項估計小于零出現(xiàn)的比例。顯然，1＜0出現(xiàn)機會基本在95%左右，2＜0 與4＜ 0 出現(xiàn)機會高達 99%，而3＜ 0出現(xiàn)機會最小，且隨著樣本增大呈現(xiàn)下降趨勢。

接下來考察檢驗水平和檢驗功效，設(shè)置模擬次數(shù)為1萬次，其他設(shè)置與分位數(shù)模擬設(shè)置相同。取單位根項 ρ分別為 1.00、0.95、0.90、0.85 和0.80。其中，取值為1.00表示單位根數(shù)據(jù)生成過程，對應(yīng)檢驗水平；其他4組值表示數(shù)據(jù)生成為平穩(wěn)過程，對應(yīng)檢驗功效。表3給出了部分樣本下模擬結(jié)果，分位數(shù)來自表1。就檢驗水平而言，考慮到抽樣的隨機性，當取顯著性水平為5%時，計算表明，名義檢驗水平區(qū)間估計為[4.57%，5.43%][19]。表3顯示，當ρ取值為1.00時，所有檢驗量檢驗水平基本以5%為中心作上下波動，且落在上述區(qū)間估計內(nèi)，表明左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量也具有滿意的檢驗水平。當ρ取值小于1考察檢驗功效時，表3揭示出3點結(jié)論。第一，固定樣本容量時，檢驗功效隨ρ降低而增大。以調(diào)整聯(lián)合檢驗量W22adj為例，當樣本容量為25時，ρ分別取0.95、0.90、0.85和0.80時，檢驗功效分別為4.10%、4.38%、5.66%、7.894%，遞增趨勢明顯。第二，固定ρ取值時，檢驗功效隨著樣本容量增大而增大。仍以調(diào)整聯(lián)合檢驗量W22adj為例，ρ取0.95，6種樣本下檢驗功效分別為 4.10%、5.04%、7.70%、22.42%、34.92%和92.75%，增幅也顯著。第三，所有左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量檢驗功效，都不低于對應(yīng)的非調(diào)整聯(lián)合檢驗量檢驗功效，尤其是聯(lián)合檢驗量W22與W22adj、W與Wadj，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量檢驗功效優(yōu)勢明顯，只有當樣本足夠大，或者ρ與1.00偏離較大時，此時兩類檢驗量檢驗功效近乎相等。聯(lián)合檢驗量 W33與W33adj、W32與 W32adj、W34與W34adj的檢驗功效基本相當，在少數(shù)場合，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量功效略高于無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量檢驗功效。檢驗功效模擬研究表明，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量具有明顯的功效優(yōu)勢，功效差異程度取決于單位根項估計值小于零的比例，比例越大，功效差異越小，因此表3反映的功效差異與表2給出的比例差異相吻合。

表1 兩種數(shù)據(jù)生成過程下無調(diào)整和調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量95%分位點模擬值

表2 兩種數(shù)據(jù)生成過程下單位根項小于零出現(xiàn)的比例（%）

表3 兩種數(shù)據(jù)生成過程下無調(diào)整和調(diào)整聯(lián)合檢驗量檢驗水平與檢驗功效（%）

4 結(jié)論與建議

文章以單位根過程Wald聯(lián)合檢驗量為研究對象，按照數(shù)據(jù)生成過程是否含有漂移項，分別引入左側(cè)調(diào)整模式，構(gòu)造左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量，得到以下幾點結(jié)論。

（1）理論研究表明，和無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量一樣，在大樣本下，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量分布收斂到維納過程的泛函，但與無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量分布不同，因此需要重新模擬分位數(shù)。

（2）分位數(shù)模擬顯示，當樣本容量相同時，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量分位數(shù)不超過非調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量分位數(shù)，兩者之間的差異取決于單位根項小于零的比例，比例越大，分位數(shù)差異越小。

（3）就檢驗水平而言，當使用名義檢驗水平95%置信區(qū)間估計結(jié)果考察檢驗水平時，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量與無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量都具有滿意的檢驗水平。因此，從檢驗水平角度來說，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量沒有出現(xiàn)過渡拒絕和拒絕不足原假設(shè)情況。

（4）就檢驗功效而言，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量的檢驗功效不但繼承無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量檢驗功效所具有的特征，而且具有明顯的功效優(yōu)勢，功效差異程度與單位根項估計值小于零的比例有關(guān)。

文章在理論上改進單位根聯(lián)合檢驗方法，完善單位根檢驗流程，實踐上也為實證研究提供一種新檢驗方法。結(jié)合理論和模擬分析結(jié)果，提出三點建議。第一，在實證研究中，可以同時使用經(jīng)典Wald聯(lián)合檢驗量和左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量，但以后者結(jié)論為準。第二，為進一步考察單邊調(diào)整的優(yōu)勢，可以繼續(xù)研究左側(cè)調(diào)整LM聯(lián)合檢驗量和F檢驗量的檢驗效果，并與左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量進行對比。第三，隨著泡沫檢驗理論興起，可以在泡沫檢驗中引入右側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗量，進一步完善資產(chǎn)價格泡沫計量模型檢驗理論。