非厄米臨界動力學及其在量子多體系統中的應用*

張禧征 王鵬 張坤亮 楊學敏 宋智?

1) (天津師范大學物理與材料科學學院,天津 300387)

2) (南開大學物理科學學院,天津 300071)

3) (重慶郵電大學理學院,重慶 400065)

4) (中國工程物理研究院研究生院,北京 100193)

近些年來,非厄米與強關聯兩種元素開始融合并形成物理學中的一個重要研究領域,相關理論與實驗的進展重塑了人們對于物質的理解.在該領域中,研究對象并不局限于非厄米元素對多體系統能譜以及本征態性質的影響,研究者們更加關注對量子態的操縱.例外點作為非厄米量子力學區別于厄米量子力學中最顯著的特征得到了大家廣泛的關注.除了圍繞能譜例外點的非厄米拓撲能帶理論以及量子探測等最新進展外,本文重點闡述以能譜例外點為基礎的臨界動力學現象及其在量子多體系統中的應用.當系統處于能譜例外點上時,屬于例外點合并子空間中的任意初始態都將投影到體系的合并態上.基于量子態演化的方向性,本文回顧了近年來本課題組在量子自旋系統所發現的外場誘導的動力學磁化、橫場Ising 模型中的有限溫相變、中心-環境系統中的量子鑄模以及非厄米強關聯系統中的超導態制備等幾個代表性工作,著重討論了與例外點相關的新的非平衡量子態制備方法以及探測方案.

1 引言

哈密頓量的厄米性是量子力學中的一個重要假設.它確保了孤立量子系統的幾率守恒以及力學可觀測量的實數性.然而,由于人們所考慮的系統不可避免地與周圍環境發生能量、粒子以及信息的交換,因此人們所觀測到的系統概率不守恒現象在自然界中普遍存在.從歷史上來看,對此類開放系統的研究可以追溯到Gamow[1],Siegert[2],Majorana[3]和Feshbach[4,5]的早期工作.他們考慮了核反應中的輻射衰變,該衰變可以通過一個與量子態幾率衰減相關的非厄米有效哈密頓量來描述,他們從動力學的角度解釋了流向核外的非零幾率流.沿著這條主線發展起來的理論方法被稱為Feshbach或Cohen Tannoudji 投影方法,其在后續介觀物理以及原子和分子物理學研究領域中得到了廣泛的應用.另一方面,由于單粒子的量子力學與經典波動方程的數學形式等價[6],非厄米的描述可以被應用到不同的非保守經典物理系統中去.這些非保守的經典系統提供了一個在不同物理領域中(如光學、光子學、電子電路、機械系統、腔光力學系統、生物輸運、聲學以及流體)研究非傳統波動現象的理想平臺.由于波的本質以及方程的數學等價性,固體物理中的能帶理論可以被直接推廣到具有周期性結構的經典系統中.最近,由于非厄米量子力學與經典系統的這種相關性,傳統凝聚態物理中的拓撲能帶概念已經被擴展到非厄米體系中,這直接導致了一系列超越厄米能帶理論現象的發現[7].

隨著實驗上量子相干控制技術的進步,量子光學領域還發展出了一種處理開放量子系統的理論方法.基于此,人們可以在實驗上高度可調的領域中探尋少體物理機理[8].相比之下,量子物理學中另一個非常有趣的現象是當系統中存在大量相互作用粒子時所展現出的集體動力學行為[9].原子、分子和光學的最新實驗進展已經使得人們能夠在多體領域中探索量子開放系統.從這個角度來看,這些進展為曾經被認為只是出于基本理論建設以及學術興趣的早期理論研究提供了新的視角,如非幺正量子場論中的李-楊奇點等[10].從理論上來講,此類開放系統在馬爾可夫近似下由主方程描述.系統與環境之間耦合導致了與量子跳躍項(quantum jump)相關的Lindblad 耗散算符的出現,其代表在環境的影響下系統偏離自身的幺正演化行為.真正的非厄米量子系統恰是來源于系統與環境的相互作用.當量子跳躍項發生作用的時間小于系統的特征時間時,主方程中的量子跳躍項可以忽略,此時主方程與薛定諤方程等價.但是描述系統動力學的哈密頓量不再具有厄米性而具有非厄米性.從算符的角度來講,算符的演化應當滿足郎之萬方程.究其本質而言,非厄米哈密頓量就是郎之萬方程所對應的有效哈密頓量,它是利用海森伯方程在Weisskopf-Wigner 近似下推導郎之萬方程的直接結果.近些年來,探究非厄米哈密頓量與開放系統之間的聯系這一課題,引起了很多國內外理論與實驗組的重點關注[11-22].另一方面,對于系統的測量過程,究其本質而言也是一個系統與環境的相互作用過程.非幺正的微擾也可以顯著地改變系統潛在的動力學現象,一個典型的例子就是所謂的連續量子芝諾效應[23].在此現象中,系統與測量儀器(環境)之間的耦合足夠強以至于可以抑制量子態之間的隧穿概率(即所謂的量子躍遷).這種抑制機制背后的物理也可以通過分析有效非厄米哈密頓量的能譜特性來得到.連續量子芝諾效應通常表現為其復本征值的的虛部被抑制[24-27].這一特征在量子少體以及多體系統中鮮有發現,而后者可以導致更豐富的物理現象,如粒子間關聯的增強、量子臨界點的移動[28,29]、非阿貝爾規范場工程、晶格約束誘導的多帶效應[30,31]、以及非穩定量子態的長弛豫過程[32-39].

近十年來,從離散非厄米哈密頓量出發探究其能譜及本征態的基本性質已經成為當下非厄米研究領域的前沿問題.除了能譜結構的特殊性質,非厄米系統還表現出許多在厄米系統中從未出現過的特殊動力學行為,其中一個顯著特征是臨界動力學[40-47].這種特殊動力學行為以非厄米系統中的例外點為基礎[47-54].所謂例外點是指非厄米系統中本征態的合并,其導致系統希爾伯特空間的不完備.因此,非厄米哈密頓量在此時不能夠被對角化.這一非厄米所獨有的行為顯著區分于厄米系統中能級的簡并現象,簡并不會導致希爾伯特空間的缺失.狄拉克概率不守恒及例外點的存在造就了非厄米系統不同于厄米系統的特殊動力學行為.雖然基于例外點的相關非平衡物理在單體系統中得到了深入的研究[55,56],但在多體系統中則較少涉及.可以肯定的是非厄米性和相互作用之間的結合必定會產生新奇的量子多體效應,并且可以顯著地改變厄米物理中已經確立的宏觀集體激發行為[37].

本綜述簡要總結了近年來本課題組在非平衡量子多體物理方面的幾個代表性工作,著重討論與非厄米例外點相聯系的非平衡多體物態的制備.本文涉及的非厄米哈密頓量不僅可以在短時間內很好地捕獲非平衡系統的動力學特征,而且可以很好地與量子跳躍項一起決定量子態演化的一條量子軌跡[57].由于密度矩陣可以被視為純態在經典概率下的疊加,那么通過對所有可能的量子軌跡進行加權便可以得到密度矩陣在量子主方程下的演化.因此研究非厄米哈密頓量在例外點附近的動力學特性為在開放系統中發現奇特的量子態有著重要的理論意義.本文第2 節首先基于厄米系統的簡并子空間,給出構建具有例外點的非厄米非平庸哈密頓量的一般方法.以此為基礎,闡明非厄米系統在例外點時的一般演化規律,并揭示具有不同階數例外點下系統所獨有的的動力學規律.第3 節主要側重于將第2 節發展的非厄米臨界動力學理論應用到具體的多體系統.具體來講: 第3.1 節介紹自旋系統中由臨界外場誘導的高階例外點,并探討鐵磁海森伯系統自發磁化過程以及在時間域上形成的磁滯回線[58].第3.2 節著重討論橫場伊辛模型對于非局域外場的動力學響應.闡明在有限溫下,外場所誘導的能級合并現象是系統保持零溫相圖的關鍵[59].第3.3 節回顧了通過合理設置中心-環境系統的非厄米耦合形式,以時間演化為基礎,在中心系統中制備非平庸拓撲物態的量子鑄模方法[60].第3.4 節討論了非平衡多體系統中臨界動力學演化框架下的η對態制備方案[61].最后對非厄米臨界動力學理論進行總結和展望.

2 非厄米臨界理論

本節首先通過簡并厄米模型給出具有例外點的非厄米模型的一般構建方法,在此基礎上探討例外點系統中態的演化規律.

2.1 具有例外點的非厄米模型的構建

一般情況下,一個處于例外點的系統可以通過調整非厄米參數(如復數勢、復數磁通、復數相互作用及不等幅跳躍)得到.在例外點附近的系統表現出能級排斥現象[47].超越例外點時,系統將經歷實數能級向復數能級的轉換.參數臨界值通常是某個超越方程的解,并且例外點系統對復參數非常敏感.因此,在實驗中使一個系統精確地位于例外點并不容易.本節將提出一種基于能譜簡并點建立例外點系統的一般性理論,利用這種理論得到的例外點對非厄米參數的強弱程度不敏感.

考慮如下形式的非厄米哈密頓量:

該哈密頓量可以分成兩部分,即厄米部分和非厄米部分:

定理當以下條件滿足時,哈密頓量H=H0+H′的能譜中一定擁有例外點:

1)H0有二重簡并態|A〉與|B〉,其對應的能量為E;

2)|A〉(|B〉) 是哈密頓量H(H?) 能量為E的非簡并本征態.

證明對于非厄米哈密頓量H,其本征態的正交性無法保證,通常從數學上引入由H的本征態和H?的本征態組成的一組雙正交基矢來對H做研究.常規情況下,H本征值為E的本征態與H?本征值為E*的本征態可以被雙正交歸一化,即它們的交疊可以被歸一化為 1 ;在例外點處,這組本征態無法被雙正交歸一化,它們的交疊為 0 .基于H(H?) 的 假設,對于兩個態|A〉和|B〉:

這意味著兩個態|A〉和|B〉自發雙正交,其雙正交模為〈B|A〉.條件1)表明〈B|A〉=0 .根據非厄米量子力學的相關理論[62],如果〈B|A〉=0,則|A〉是H的合并態,即哈密頓量H擁有合并態為|A〉的例外點.這清楚地表明: 如果一個厄米系統H0和一個非厄米系統H(H?)具有共同本征態|A〉(|B〉),對應能量都為E,并且|A〉(|B〉)對于H0簡并但對于H(H?)不簡并,則H具有例外點.該定理有兩個明顯的優勢: 首先,定理對于H0的具體形式沒有任何要求,對于非相對論和相對論、連續和離散的哈密頓量都成立,不需要做矩陣的對角化就可以得到系統的例外點.其次,圍繞例外點的動力學一般需要明確系統合并態的物理性質.一般非厄米哈密頓量的合并本征態由于依賴系統非厄米元素的具體形式而變得非常復雜.該定理則直接指明合并態為相關厄米系統的簡并態,這為后續通過非厄米臨界動力學制備具有新奇性質的目標量子態提供了理論基礎.作為一個簡單的特例,將其應用于緊束縛模型,根據上述兩個條件,H′|A〉=0,(H′)?|B〉=0,就可以發現滿足此條件的H′所具有的最簡形式是非對稱跳躍項,即這 里ai和aj是費米子或玻色子算符.當aj|A〉=0 且ai|B〉=0 時,以上兩個條件成立.這意味著兩個態|A〉和|B〉在格點j和i處有零點[63].

2.2 例外點動力學

例外點的存在導致系統的哈密頓量矩陣不能被對角化,但是總可以通過相似變換將其約化為一個具有相同本征值的約當塊(Jordan block).考慮一個具有 2 階例外點的非厄米矩陣:

其只具有一個能量E=0,形式為|ψ〉=(i 1)T的合并本征態.在相似變換

的作用下,非厄米矩陣H可以變換為約當塊的標準形式,即

顯然對于一個含有n階例外點的非厄米哈密頓量,其必然可以通過相似變換轉化為一個n階的約當塊形式.因此,系統在例外點上的動力學行為將主要由約當塊的階數來決定.研究一個定義在N維復數空間的約當塊M,其矩陣元為(M)i,j=λδi,j+δi+1,j(λ ∈C) .這里δi,j為克羅內克爾符號,

該矩陣有且僅有 1 個能量為λ的合并本征態ψc,相應的矩陣元為 (ψc)i,1=δi,1.該矩陣的時間演化算符可以寫為U=exp{-iλt}exp{-iDt},其中D為N階冪零矩陣,滿足如下性質:

從(7)式可以看到,當n＞N -1 時,Dn為零矩陣.利用這一性質,算符U的矩陣元可以表示為

為階躍函數.考慮一個初始態列向量ψ0,其矩陣元為 (ψ0)l,1=cl.在時間演化算符U的作用下,t時刻的演化態的矩陣元可以表示為

容易看出,cN=0 時,ψt不含tN-1項;cN=cN-1=0 時,ψt不含tN-1以及tN-2項.換言之,對于初始態含有最高cn不為 0 的態來說,ψt含有的t的最高次冪為n-1,相應的的狄拉克概率含有的t的最高次冪為 2 (n-1) .這說明無論初始態如何選取,當考慮長時間演化時,(ψt)1,1將始終含有t的最高次冪,其成分在演化態中隨著時間的推移將占據主導地位[61].這同時表明在例外點上,態的演化具有方向性,即指向系統的合并本征態ψc.這里需要指出的是例外點動力學是一種特殊的非平衡動力學,其最終穩態是非厄米系統的合并本征態,這種非厄米方向演化性與非平衡動力學中的穩態有著本質的不同.在非平衡動力學中,穩態意味著物理可觀測量在長時間平均下保持不變,但是其隨時間變化呈現出圍繞某些定值的周期振蕩行為,而非厄米臨界動力學在經過特定的弛豫時間后,任意的初始態完全投影到合并態中,相應的物理可觀測量將保持定值.本文的后半部分將利用此性質在不同的量子多體系統中,發展臨界量子態操控的方法,以及探究其背后有趣的物理圖像.

3 非厄米臨界理論在多體系統中的應用

本節將回顧本課題組基于非厄米臨界動力學演化規律在多體系統中發展的一些新理論與新方法.主要圍繞非厄米局域外場下量子自旋模型中的動力學磁化、有限溫量子相變探測、中心-環境系統中多體拓撲物態制備以及Hubbard 系統中超導對態制備4 個方面展開論述.

3.1 非厄米自旋模型中的動力學磁化

海森伯模型作為描述Hubbard 模型在半滿填充時基態以及低能激發態行為的有效模型在量子磁性理論中取得了巨大的成功.隨著冷原子實驗及單格點分辨技術的進展,人們已經可以在光晶格超冷原子實驗中模擬海森伯模型并成功實現了對其系統磁性的操縱.另一方面,量子模擬實驗中所涉及到的系統基本上都是耗散系統,描述其動力學行為的有效哈密頓量都不再具備厄米特性.系統的耗散不可避免地導致量子態的退相干行為.然而最近的研究表明,人們可以通過有效的耗散去實現對量子態的測量以及操縱、制備.這些新的思想為耗散系統中操縱量子態奠定了重要基礎[29,64,65].受此啟發,我們詳細研究了外場下自旋系統的動力學行為,其核心在于臨界外場可以誘導單個自旋的磁化.如果系統不存在相互作用,那么一個全局的復數磁場可以誘導所有的自旋沿著特定的取向.當系統存在相互作用時,局域磁場與相互作用之間的協作可以誘導系統中所有的自旋以集體運動的形式激發,其基本機制可由圖1 表示.這一現象與厄米外場有著重要的區別,在厄米系統中,磁場只會導致自旋沿著布洛赫球做周期性的旋轉.

圖1 自旋在(a)局域磁場、(b)各向同性全局復數磁場及(c)粒子與粒子相互作用與局域復數磁場共同作用下的動力學演化示意圖.復數磁場通過綠色陰影部分標注.自旋與自旋的非各項同性相互作用 J ij 通過不同的顏色來區分.根據非厄米臨界動力學的理論,圖(a) 中含有一個二階例外點,對應兩個簡并態合并.圖(b)和圖(c)有N 個簡并態合并對應N 階例外點.從圖中可以看到,局域的復數磁場可以通過與相互作用的協作來影響系統自旋的整體取向Fig.1.Schematics of spins subjected to (a) a local complex field,(b) a global complex field,and (c) a local complex field and interaction.The complex magnetic field is shaded green.The couplings between different spins are denoted by different colors representing inhomogeneous coupling J ij .Two states coalesce in panel (a) and N states coalesce in panels (b) and (c).Local complex field only affects local spin without interaction,but can affect globally with interaction.

具體來講,考慮局域復數外場下的自旋系統,其哈密頓量為

從(15)式可以看出,無論初始態系數cn(0) 如何選取,系統的演化末態中c1(t) 的成分最大,保證了演化的方向性,即經過一定的弛豫時間,系統演化到合并態上.

利用這一特性,通過不同的初始態,|ΨI(0)〉=|↑↓↑↓···↑↓〉及|ΨII(0)〉=|?〉,在時間域上實現了磁滯回線,磁滯回線的高度、寬度、面積等性質可以客觀地反映系統的耗散等特征量,如圖2 所示.除此之外,磁滯回線的構型對初始態的選擇也非常敏感,這一事實為在開放系統中的量子探測提供了一種可能的理論方案.

圖2 (a) 對于初始態 | ΨI(0)〉 在時間域上的磁滯回線;(b),(c) 對于初始態 | ΨII(0)〉 的磁滯回線.這里局域的復數外場被施加到格點1 上.其強度在圖(a)中為 0 .02,在圖(b)和圖(c)中為 0 .1 .弛豫時間分別為(a),(b) t f=2×103J-1 及(c)tf=3×103J-1Fig.2.Hysteresis loops for the initial state | ΨI(0)〉 in (a) and | ΨII(0)〉 in (b),(c).The critical local complex field g1 is 0 .02 in panels (a) and (b),and 0 .1 in panel (c).The relaxation time is t f=2×103J-1 in panels (a) and (b),and t f=3×103J-1 in panel (c).

3.2 非零溫橫場Ising 模型中的量子相變

量子相變是指系統在零溫時的相變現象,是由量子漲落而非熱漲落驅動.量子相變的發生一般代表著量子多體系統中基態的性質隨參數變化發生突變.然而,在實驗上系統不可能冷卻至零溫,因而在有限溫下探測量子相變成為了研究者們長期追求的目標.基于非厄米臨界動力學現象,在有限溫度下,我們提出利用非厄米非局域外場探測量子相變的動力學方案.在不同的物質相內,熱態對于非厄米外場的響應不同,其可以通過施密特回波(Loschmidt echoes)的動力學行為來刻畫.該動力學特性對于有限溫系統依然成立,這一發現不僅為有限溫下的體邊對應原則提供了依據,而且為人們理解非零溫下量子自旋系統中的相變提供了新的動力學視角.

這里簡要地介紹一下該工作涉及的開放邊界條件下量子自旋系統的能譜及其在非厄米外場下的臨界動力學現象.考慮如下的橫場Ising模型,其哈密頓量為

由于這種簡并滿足下面兩個條件: i)二重簡并存在于全能譜(如圖3 所示);ii)在外場g存在無序的時候依然存在,代價是D算符的具體形式需要重新定義.我們將其稱為拓撲的類Kramers簡并.如果將D算符當作非厄米外場,那么其將會使得0＜g ＜1區域中包含基態在內的所有的二重簡并能級合并.具體來說,考慮非厄米哈密頓量H=H+κD.在鐵磁相 0＜g ＜1 的區域,任何一對能量為En的簡并態所張成的子空間中,哈密頓量的矩陣表示為

圖3 (a) 通過施密特回波所給出的相圖;(b) 關聯函數所給出的相圖,這里 β -1 是溫度,gc 是量子相變點;(c) 有限橫場Ising 模型低能激發譜隨著參數g 的變化. E g 代表基態能量.其他系統參數為 N =50 和 J =1 .系統的不同相通過兩種不同顏色來區分.通過圖(c)可以發現,當 g ＜1 時,系統的能譜都變為二重簡并Fig.3.(a) Phase diagram detected from the Loschmidt echoes in this work.(b) Phase diagram studied in term of correlation function in the work of Sachdev et al..Here β -1 is the temperature and gc is the quantum critical point.(c) Spectrum of the low-lying states for a finite quantum Ising chain as a function of g,obtained numerically through exact diagonalization. E g is the groundstate energy.System parameters: N =50 and J =1 .The energy gap closes at a quasicritical point,indicated by the boundary of the two shaded areas.Notably,all energy levels become twofold degeneracy simultaneously at one point,protected by the symmetry of the quasi-zero-mode operator D.

因此在時間演化算符的長時間作用下,任意一個初始態投影到分量當系統處在順磁相中g ＞1的區域中時,系統不存在這種類Kramers 簡并結構,因此外場不會誘導合并本征態進而系統的演化態只會在低能激發態附近振蕩.由于這種簡并性涉及到系統的全能譜范圍中,所以即使是考慮有限溫下的動力學演化,其依然成立.系統在不同量子相中的顯異動力學行為可以被用來在有限溫度下探測量子相變,為了達成這一目的,引入施密特回波:

圖4 施密特回波隨時間變化曲線.線和點分別代表不同的溫度,即 β =5 和 β =10 .其他系統參數為 N =10,κ=0.1 及 J =1 .施密特回波在不同物質相內的動力學行為不同,最終趨近于 1 .0 和 0 .5 兩個定 值.需要注 意的是 這個結果獨立于初始熱態的溫度.因為D 依賴于參數g,并且其在g ＞1時發散,所以在這里的數值模擬中,非厄米外場只取D 的主導項,即H=H +κD1Fig.4.Loschmidt echoes of different g values.The lines and dots represent the Loschmidt echoes for β =5 and β =10,respectively.Other parameters: N =10,κ =0.1,and J=1.The profiles of the Loschmidt echoes in the two regions are distinct,independent of the temperature of the initial thermal states,and converge to 1 .0 and 0 .5,respectively.

3.3 基于非厄米臨界動力學的量子鑄模

本節提出的量子鑄模方案,即通過平庸初始態的淬火演化來按需制備特殊量子態.淬火動力學將原系統的基態在新的哈密頓量下進行演化,通過施加驅動場或者將能量和粒子從外部儲庫泵浦到系統等方式使系統處于非平衡狀態,是一類非常典型的遠離平衡態的過程,并具有非常廣闊的應用場景.

基于中心-環境系統（如圖5 所示）,利用非厄米臨界動力學中演化的單向性,鑄造一個穩定的非平庸量子態是本方案的核心內容.我們考慮含時的非厄米哈密頓量

圖5 量子鑄模系統示意圖 (a)系統由兩部分組成,中心系統 H c 和源系統 H s . H in 為非厄米項,表示 H c 和 H s 之間的連接,并承擔從 H s 向 H c 單向傳輸費米子的任務.(b)該方案的緊束縛模型,包含三種格點A,B 和D.嵌入陰影區域的晶格A 和B (紅色和藍色實心圓)是拓撲絕緣體,而晶格D (黃色實心圓)是一個無跳躍的平帶系統,但具有振蕩的化學勢.綠色箭頭表示從D 點到B 點的單向跳躍.本工作的目的是通過時間演化實現以下過程: 初始時刻D 格點填充滿粒子,而A 和B 格點無粒子;最終末態是Hc 半滿填充的基態.(c)動力學過程的基本機制.在瞬時 tk,H s 的化學勢和 H c 的能級共振導致例外點.相應的例外點動力學允許費米子在簡并能級之間完全轉移,并且在長時間極限下,這樣的動力學過程發生在每個 k 子空間. H c 的能帶顏色表示能帶反轉,說明能帶可以是拓撲絕緣帶.預計 H c 的下帶可以完全填充Fig.5.Schematics for the system and process of quantum mold casting: (a) The system consists of two parts,central systemHc and source system H s .The target state is the ground state of H c,which can be topologically non-trivial or not. H s is a topologically trivial system,providing the supply of fermions.Both H c and H s are Hermitian,while H in is non-Hermitian,representing the connection between H c and H s,and taking the role to transport fermions unidirectionally from H s to H c .(b) A tight-binding model for the scheme,which contains three sets,A,B,and D.Lattices A and B (red and blue filled circles) embedded in the shadow area is topological insulator,while lattice D (yellow filled circle) is a flat-band (hopping-free) system but with oscillating chemical potential.Green arrows represent unidirectional hopping from D to B lattices.The aim of this work is to realize the following process via time evolution.Initially,D lattice is fully filled,while A and B are empty.The final state is expected to a half-filled ground state of H c .(c) The underlying mechanism of the dynamic process.At instant tk,the chemical potential and energy levels of H c are resonant,leading to exceptional points.The corresponding (EP) dynamics allows a complete transfer of fermions between the degenerate energy levels.In the long-time limit,such dynamics occurs at each k sector again and again.The band color ofHc illustrates the band inversion,indicating that the energy band can be topological insulating band.It is expected the lower band of Hc can be completely filled.

這里aj,bj以及dj是費米子算符,cos(ωt) 是周期性驅動的化學勢.參數{Tij,Aij,Bij}依賴于中心系統Hc的構型.系統的非厄米性來源于中心系統與環境的耦合Hin.在Nambu 基矢下,系統的布洛赫哈密頓量可以表示為,其中

矢量B(k) 可以通過系統參數{Tij,Aij,Bij}待定,矩陣元中的其他參數被定義為

以及相應的本征能量為

基于單向共振接口和例外點動力學這兩個核心機制,如果將具有特殊性質的目標量子態,設計為復合系統的合并態,那么對于任意初始態,在淬火動力學的作用下,演化末態都將變為計劃制備的目標態.基于這一理解,我們在工作[60]中,提出了利用非厄米臨界動力學在拓撲絕緣體中制備出拓撲絕緣態以及邊界態的方案.相關研究內容豐富了量子態制備方案,并為單向量子器件的制造帶來一些啟示.

3.4 Hubbard 模型中局域磁場所誘導的非對角長程序穩態

Hubbard 模型作為描述巡游電子磁性的有效模型在傳統凝聚態領域得到了廣泛關注,特別是隨著近些年來冷原子實驗的進展,Hubbard 模型已經可以通過量子系統進行模擬,并在實驗高度可調的范圍內去探討傳統凝聚態領域所未關注的量子態特性.然而,冷原子實驗中系統不可避免地與外界環境交換能量與信息.這導致量子態隨時間演化的概率不再是一個守恒量,因此描述該相互作用體系的哈密頓量不再具有厄米性.為了有效地描述量子態隨時間的演化,人們除了利用主方程的方法去處理該問題以外,還從非厄米量子力學出發,基于非厄米的哈密頓量去探討非厄米性的引入會在多大程度上影響系統的動力學特性.研究組在2017 年就對該問題進行了深入的探討,特別是對冷原子氣體的研究,我們揭示了該系統中可能存在的碰撞湮滅動力學等特征[67].隨著單格點分辨技術的進步,人們已經可以利用量子氣顯微鏡來探測原子的磁性、超導等特性.特別是近些年來,研究者們發展了一系列非平衡態物理的處理辦法,基于Hubbard 系統中的絕緣態來實現超導.受此啟發,我們利用系統的SO(4) 對稱性,基于η算符與系統哈密頓量的對易,發展了一套外場誘導產生η對態的動力學方案.該方案的核心是基于η算符的簡并子空間,將臨界外場當作微擾,通過高階例外點的演化生成η對態.考慮復數外場下的費米Hubbard 模型,其哈密頓量為

圖6 (a)—(d) 4 格點Hubbard 模型中關聯函數隨時間的變化圖.初始態被制備在H0 的真空態 | Vvac〉 中,其相互作用強度 U =2J .隨后其運動由外加局域虛數磁場來驅動.對于圖(a)和圖(c),局域虛數磁場為g1=g=0.2J ;對于圖(b)和圖(d),系統受到一個各向同性的磁場驅動,其強度為 g j=g=0.2J (j=1,···,N) .需要注意的是此時外場 H I 處于例外點上.(e),(f) 穩態關聯函數與相對距離之間的函數曲線.對于圖(e),弛豫時間為 t f=400/J,而對于圖(f),tf=100/J .從圖中可以看到當 i j 時,=1/4 ;當 i =j 時,=1/2,與正文中的結論一致Fig.6.(a)—(d) Evolution of the correlators,averaged over all sites for the 4 -site Hubbard model.The initial state is prepared in vacuum state | Vvac〉 of H 0 with interaction U =2J,and then it is driven by the system with the local imaginary field g 1=g=0.2J for panels (a) and (c),and homogeneous dissipationgj=g=0.2J(j=1,···,N) for panels (b) and (d),respectively.Notice that H I is at EP such that λ /γ=1 .(e),(f) The correlation values of steady state for different relative distance () at relaxation time t f=400/J for panel (e) and t f=100/J for panel (f).It is shown that=1/4 for i j and=1/2 for i =j,which confirms the understanding in the main text.

這說明最終的演化穩態具有與相對距離無關的非對角長程序,因此可以認為系統處在穩定的非平衡超導相中.

該方案的好處是此過程只是一個動力學演化的結果,其并不依賴于外界額外的操作.另一方面該方案只要求系統具有SO(4) 對稱性,對于臨界外場的位置、強度均不作特定的限制.系統的演化末態對一些無序的微擾來說也并不敏感.這些特性為在實驗上制備η對態并實現穩定的非平衡超導相提供了一種有效非厄米臨界動力學方案.

4 總結與展望

本文綜述了非厄米臨界動力學在非厄米多體系統中的應用與發展.除了從非厄米量子力學角度闡述這一動力學規律以外,該理論還適用于遵循馬爾可夫近似下量子開放系統中的短時動力學描述.文中通過厄米系統的簡并子空間給出了構造具有例外點非厄米哈密頓量的普適方法.當非厄米系統處于例外點時,它的矩陣表示必然等價于一個約當塊的矩陣形式,其維度依賴于例外點的階數.在此約當塊所涉及到的子空間中,任意的初態在狄拉克幾率歸一化下都將演化至系統的合并態.利用非厄米哈密頓量的這一臨界動力學特性,分別在量子自旋系統中觀察到了局域外場所誘導的動力學磁化、橫場Ising 模型中的有限溫相變、中心-環境系統中的量子鑄模以及費米Hubbard 模型中臨界外場所誘導的非平衡超導相等一系列新奇的動力學現象.該臨界動力學思想的提出,不僅僅豐富了動力學操控量子態的手段,更為在開放系統中非平衡地調控物相提供了重要的理論基礎.未來,高分辨顯微技術以及單原子操控技術的進步勢必會令研究者們在多體系統中更加關注量子態的特性.我們期待本文涉及的非厄米調控機制會在不同的開放量子體系下得到檢驗,并在不同的物理分支上得到進一步發展.由于具有獨特而有趣的物理性質,非厄米臨界動力學對于理解各種物理平臺下的多體耗散動力學機制勢必會有新的幫助.