宇稱-時(shí)間對(duì)稱與反對(duì)稱研究進(jìn)展*

唐原江 梁超 劉永椿

1) (清華大學(xué)物理系,低維量子物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100084)

2) (教育部量子信息前沿科學(xué)中心,北京 100084)

在標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)中,描述物理系統(tǒng)的哈密頓量一般是厄米的,以保證系統(tǒng)具有實(shí)能譜及系統(tǒng)演化的幺正性.近些年來,研究發(fā)現(xiàn)具有宇稱-時(shí)間(parity-time,P T)對(duì)稱特性的非厄米哈密頓量也具有實(shí)能譜,并且在PT 對(duì)稱相和 PT 對(duì)稱破缺相之間存在一個(gè)新奇的非厄米奇異點(diǎn),這是厄米系統(tǒng)所不具有的.最近,人們?cè)诟鞣N各樣的物理系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了 PT 對(duì)稱和 PT 反對(duì)稱的非厄米哈密頓量,并演示了新奇的量子現(xiàn)象,這不僅加深了對(duì)基本量子物理規(guī)律的理解,也促進(jìn)了應(yīng)用技術(shù)的突破.本綜述將介紹 PT 對(duì)稱和 PT 反對(duì)稱的基本物理原理,總結(jié)在光學(xué)系統(tǒng)和原子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn) PT 對(duì)稱和 PT 反對(duì)稱的方案,并回顧利用 PT 對(duì)稱系統(tǒng)非厄米奇異點(diǎn)進(jìn)行精密傳感的研究.

1 引言

標(biāo)準(zhǔn)的量子力學(xué)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述時(shí)引入了一條基本假設(shè): 系統(tǒng)的哈密頓量為厄米的.這一基本假設(shè)保證了系統(tǒng)的能量本征值為實(shí)數(shù),同時(shí)也保證了系統(tǒng)的量子態(tài)在演化過程中的概率守恒.一直以來,非厄米的哈密頓量?jī)H被用來唯象地描述耗散系統(tǒng),然而,研究者們?cè)诜嵌蛎坠茴D量中找到了大量具有實(shí)數(shù)本征值的算符,這引發(fā)了對(duì)非厄米哈密頓量的極大關(guān)注[1].1998 年,Bender 和Boettcher[2]提出空間反演(P)和時(shí)間反演(T)共同作用下不變的非厄米哈密頓量也可以有實(shí)數(shù)本征值(此類算符被簡(jiǎn)稱為PT算符).隨著系統(tǒng)參量的變化,PT算符描述的系統(tǒng)可以處于PT對(duì)稱相或者PT破缺相,處于PT對(duì)稱相的系統(tǒng)具有實(shí)數(shù)的本征值,處于PT破缺相的系統(tǒng)有一對(duì)共軛的本征值,兩個(gè)相的分界點(diǎn)為非厄米系統(tǒng)特有的奇異點(diǎn)(exceptional point,非厄米奇異點(diǎn))[3],在該點(diǎn)處系統(tǒng)的本征態(tài)和本征值同時(shí)合并在一起.

PT對(duì)稱性的研究引領(lǐng)了理論物理各個(gè)領(lǐng)域的新發(fā)展,包括量子場(chǎng)論[4]、李代數(shù)[5]等.PT對(duì)稱的概念被引入光學(xué)系統(tǒng)后,很快成為了研究的熱點(diǎn).隨著PT對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)的構(gòu)建和對(duì)其特性的深入研究,發(fā)現(xiàn)了基于PT對(duì)稱的大量新奇效應(yīng)和應(yīng)用,例如雙折射[6]、功率振蕩[7-9]、非互易性光傳播[10-12]、單向不可見性[13-15]、單模激光器[16,17],軌道角動(dòng)量激光器[18,19]等.除了光學(xué)系統(tǒng)外,人們也在其他各種系統(tǒng)中對(duì)PT對(duì)稱展開了廣泛的研究,如原子系統(tǒng)[20,21]、電子學(xué)系統(tǒng)[22-24]、NV 色心系統(tǒng)[25]、光力學(xué)系統(tǒng)[26,27]、聲學(xué)系統(tǒng)[28,29]和微波系統(tǒng)[30]等.

隨著對(duì)PT對(duì)稱系統(tǒng)研究的深入,人們又提出了具有PT反對(duì)稱特性的新系統(tǒng)[31-41].PT對(duì)稱系統(tǒng)的哈密頓量在P和T的聯(lián)合操作下形式不變,作為與PT對(duì)稱相對(duì)偶的概念,PT反對(duì)稱系統(tǒng)的哈密頓量在P和T聯(lián)合操作下形式與原來相反,出現(xiàn)一個(gè)負(fù)號(hào).PT反對(duì)稱系統(tǒng)呈現(xiàn)出與PT對(duì)稱系統(tǒng)對(duì)偶的特性,例如PT對(duì)稱系統(tǒng)中的無損耗傳播對(duì)應(yīng)到PT反對(duì)稱系統(tǒng)中就是無折射傳播,這為光的控制提供了嶄新的概念和技術(shù)手段,大大擴(kuò)展了非厄米光學(xué)的研究范圍.

目前已有許多相關(guān)綜述,例如,光學(xué)和光子學(xué)中的PT對(duì)稱綜述[42-47]、利用相干原子實(shí)現(xiàn)PT對(duì)稱綜述[48],基于PT對(duì)稱的人工合成激光綜述[49]、PT對(duì)稱中的非線性綜述[50,51]等.本文的側(cè)重點(diǎn)主要是綜合PT對(duì)稱和PT反對(duì)稱兩種系統(tǒng),以展現(xiàn)兩者的諸多類似之處以及各自的獨(dú)特性質(zhì).

本文首先介紹了PT對(duì)稱與PT反對(duì)稱哈密頓量,然后介紹在光學(xué)系統(tǒng)和原子系統(tǒng)中PT對(duì)稱的實(shí)現(xiàn),進(jìn)而介紹光學(xué)系統(tǒng)和原子系統(tǒng)PT反對(duì)稱的典型研究,以及基于PT對(duì)稱系統(tǒng)中非厄米奇異點(diǎn)的精密傳感研究.

2 PT 對(duì)稱與反對(duì)稱哈密頓量

在量子力學(xué)中,可觀測(cè)物理量需要用厄米算符來表示,因此系統(tǒng)的哈密頓量也需要用厄米算符表示,這不僅可以確保其本征值為實(shí)數(shù),而且可以確保波函數(shù)隨時(shí)間的演化過程中的模值不變[52].1998 年,Bender 和Boettcher[2]提出空間反演P和時(shí)間反演T共同作用下不變的非厄米哈密頓量也可以有實(shí)數(shù)的本征值.在空間反演變換下,坐標(biāo)和動(dòng)量算符有如下變換:

其中,r和p分別為坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符.在時(shí)間反演變換下:

則系統(tǒng)的哈密頓量滿足PT對(duì)稱性.由以上對(duì)易關(guān)系系統(tǒng)的哈密頓算符滿足PT對(duì)稱的一個(gè)必要條件,是其中的勢(shì)能項(xiàng)滿足:

考慮二能級(jí)(模式)系統(tǒng),如圖1(a)所示,兩個(gè)模式耦合構(gòu)成的系統(tǒng)可以被如下PT對(duì)稱哈密頓量描述:

圖1 P T 對(duì)稱系統(tǒng)(a)與 PT 反對(duì)稱系統(tǒng)(b)示意圖Fig.1.Schematic diagram of PT -symmetric system (a)and anti-P T symmetric system (b).

其中,兩個(gè)共振模式的能量由能級(jí)ε描述,兩個(gè)模式分別為增益和耗散模式,增益和耗散速率由γ描述,兩個(gè)模式間的耦合系數(shù)為κ.

與PT對(duì)稱系統(tǒng)相比,PT反對(duì)稱系統(tǒng)的非厄米哈密頓算符H滿足如下反對(duì)易關(guān)系:

以二能級(jí)(模式)系統(tǒng)為例,如圖1(b)所示,相應(yīng)的PT反對(duì)稱哈密頓量為

其中,兩個(gè)模式的能級(jí)偏移分別為-δ和δ,增益或者耗散速率由|τ|描 述,兩個(gè)模式間的耦合系數(shù)為 iκ.

3 光學(xué)系統(tǒng)中的 PT 對(duì)稱

基于光學(xué)傍軸波動(dòng)方程和量子力學(xué)薛定諤方程之間的形式等價(jià)性,人們提出了在光學(xué)框架內(nèi)實(shí)現(xiàn)PT對(duì)稱勢(shì)的方案[6,14,53].例如,考慮光波導(dǎo)中的光場(chǎng)傳輸方程:

其中,E(x,z) 為電場(chǎng)強(qiáng)度的慢變振幅,k=k0n0為介質(zhì)中的波矢,k0=2π/λ0為真空中的波矢,λ0為真空中的波長(zhǎng),n0為介質(zhì)折射率(系統(tǒng)的折射率分別為n0+nR(x)+inI(x)).方程(12)與如下薛定諤方程具有相同的形式:

其中ψ(x,t) 為波函數(shù),? 為普朗克常數(shù),μ為粒子質(zhì)量,V(x) 為勢(shì)能函數(shù).對(duì)比兩個(gè)方程得到對(duì)應(yīng)關(guān)系為

由于折射率分布與量子力學(xué)的勢(shì)能部分相對(duì)應(yīng),由方程(7)中PT對(duì)稱系統(tǒng)的勢(shì)能項(xiàng)滿足的關(guān)系可以得出,PT對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)的折射率實(shí)部為坐標(biāo)x的偶函數(shù),折射率的虛部為坐標(biāo)x的奇函數(shù):

2010 年,Rüter 等[9]提出了PT對(duì)稱的耦合波導(dǎo)光學(xué)系統(tǒng)并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究.如圖2 所示,系統(tǒng)為兩波導(dǎo)耦合系統(tǒng),其中一個(gè)波導(dǎo)中的光具有大小為γ的損耗系數(shù),對(duì)另一個(gè)波導(dǎo)進(jìn)行泵浦,使該波導(dǎo)中的光獲得大小為γ的有效增益系數(shù),從而構(gòu)造出了滿足PT對(duì)稱的復(fù)折射率分布.通過耦合模方法,兩個(gè)耦合波導(dǎo)中的光場(chǎng)動(dòng)力學(xué)可以用下面的方程描述:

圖2 傳統(tǒng)和 PT 對(duì)稱耦合光學(xué)系統(tǒng) (a) 復(fù)折射率的實(shí)部(n R,紅線)和虛部(nI,綠線)分布;(b) 傳統(tǒng)和PT 對(duì)稱系統(tǒng)的疊加態(tài);(c) 對(duì)于傳統(tǒng)和 PT 對(duì)稱系統(tǒng),當(dāng)系統(tǒng)在通道1 或通道2 處被激發(fā)時(shí)的光波傳播情況 [9]Fig.2.Conventional and PT -symmetric optical systems: (a) The distribution of real part (n R,red line) and imaginary part (nI green line) of the complex refractive index;(b) superposition state of conventional and PT-symmetric systems;(c) light wave propagation when the system is excited at channel 1 or channel 2 [9].

其中E1和E2分別表示波導(dǎo)1 和波導(dǎo)2 中模式場(chǎng)的幅值,κ為兩個(gè)波導(dǎo)模式的耦合系數(shù).系統(tǒng)可以用如下的哈密頓量描述:

當(dāng)γ＜2κ時(shí),系統(tǒng)處于PT對(duì)稱相,系統(tǒng)的本征值為

其中 s inθ=γ/2κ.此時(shí)兩個(gè)本征值的虛部為零,實(shí)部劈裂,相應(yīng)的本征態(tài)為

顯然,處于PT對(duì)稱相的模式滿足|E1|=|E2|,這意味著本征態(tài)的強(qiáng)度在兩個(gè)波導(dǎo)中均勻分布,因此模式經(jīng)歷了平衡的增益和損耗,導(dǎo)致其本征值的虛部為零.此外,隨著γ/2κ從0 增大到1,θ從0 逐漸增大到 π /2 .

當(dāng)γ＞2κ時(shí),系統(tǒng)處于PT對(duì)稱破缺相,系統(tǒng)的本征值為

其中 c oshθ′=γ/(2κ) .此時(shí)兩個(gè)本征值的實(shí)部相等,虛部劈裂,相應(yīng)的本征態(tài)為

處于PT對(duì)稱破缺相的系統(tǒng),隨著γ/(2κ) 從1 開始逐漸增大,θ′從0 開始逐漸增大,顯然,|E12|,這意味著一個(gè)本征態(tài)主要局域在增益波導(dǎo),另一個(gè)本征態(tài)主要局域在損耗波導(dǎo),導(dǎo)致本征值的虛部劈裂.

當(dāng)γ=2κ時(shí),系統(tǒng)處于PT對(duì)稱相與PT對(duì)稱破缺相的相變點(diǎn),即為非厄米奇異點(diǎn),系統(tǒng)的本征值為

此時(shí)本征值的實(shí)部和虛部同時(shí)合并,相應(yīng)的本征態(tài)為

處于非厄米奇異點(diǎn)的系統(tǒng),不僅本征值合并在一起,本征態(tài)也合并為同一個(gè)模式.

與厄米系統(tǒng)不同,這些本征模不再是正交的,這對(duì)光束動(dòng)力學(xué)有重要影響,例如會(huì)產(chǎn)生非對(duì)稱傳輸特性和功率振蕩等現(xiàn)象.對(duì)于傳統(tǒng)的厄米系統(tǒng),兩個(gè)本征模(對(duì)稱和反對(duì)稱,見圖2(b))的任何疊加都會(huì)導(dǎo)致對(duì)稱的波傳播: 顯然,圖2(c)的上部分圖中的光場(chǎng)分布具有左右對(duì)稱性.當(dāng)耦合系統(tǒng)涉及增益/損耗時(shí),系統(tǒng)的特性與厄米系統(tǒng)的特性不再相同.在PT對(duì)稱相,隨著γ/(2κ) 從0 開始增大,本征態(tài)的兩個(gè)模式分量之間的相對(duì)相位差分別從0 和 π 處的初始值逐漸增大,當(dāng)γ/(2κ) 增大到1 時(shí),系統(tǒng)處于非厄米奇異點(diǎn).此時(shí)光傳播表現(xiàn)出非對(duì)稱傳輸特性: 將輸入通道從波導(dǎo)1 交換到波導(dǎo)2 時(shí),獲得了完全不同的輸出狀態(tài).在PT對(duì)稱破缺相,無論光從波導(dǎo)1 輸入還是從波導(dǎo)2 輸入,光總是從波導(dǎo)1 輸出,再次表現(xiàn)出了非對(duì)稱傳輸?shù)奶匦?見圖2(c)底部的圖).這是因?yàn)橄到y(tǒng)的本征值為復(fù)數(shù),相應(yīng)的模式振幅指數(shù)增大或者耗散,只有一個(gè)模式存留下來.

4 原子系統(tǒng)中的 PT 對(duì)稱

近年來,研究發(fā)現(xiàn)在原子系統(tǒng)中也可以實(shí)現(xiàn)PT對(duì)稱.中山大學(xué)羅樂課題組[54]與中國(guó)人民大學(xué)張威、張翔課題組[55]分別利用超冷原子和單個(gè)囚禁離子構(gòu)造了PT對(duì)稱系統(tǒng),并對(duì)其量子演化過程進(jìn)行了測(cè)量,同時(shí)引入周期性的含時(shí)系統(tǒng)哈密頓量,對(duì)系統(tǒng)的相圖等進(jìn)行研究,如圖3 所示.下面將以在單個(gè)囚禁離子系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)方案為例進(jìn)行說明.

考慮具有PT對(duì)稱性的單量子比特非厄米哈密頓量:

囚禁離子系統(tǒng)是量子模擬、量子計(jì)算等研究平臺(tái)之一,具有與環(huán)境耦合小、參數(shù)可控性高等優(yōu)點(diǎn),可以進(jìn)行量子態(tài)層析投影測(cè)量,能夠測(cè)量態(tài)占據(jù)數(shù)和密度矩陣相干項(xiàng)的演化(見圖3(c)).由此出發(fā),該課題組發(fā)現(xiàn)了兩組和實(shí)驗(yàn)參數(shù)無關(guān)的初態(tài)和測(cè)量態(tài),可以直接由體系演化測(cè)量結(jié)果得到體系的能量值,而體系能量值為零的點(diǎn)對(duì)應(yīng)該體系的非厄米奇異點(diǎn).在此基礎(chǔ)上,課題組引入周期性的驅(qū)動(dòng)和耗散,將定態(tài)哈密頓量擴(kuò)展為含時(shí)哈密頓量,并測(cè)量了系統(tǒng)的能量和相圖(圖3(d)),而且觀測(cè)到系統(tǒng)哈密頓量的周期與量子態(tài)耦合強(qiáng)度滿足一定條件下發(fā)生的多光子共振現(xiàn)象.

圖3 (a) 在冷原子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn) PT 對(duì)稱的示意圖[54];(b) 在單個(gè)囚禁離子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn) PT 對(duì)稱的鐿離子 1 71Yb+ 的能級(jí)示意圖[55];(c) 系統(tǒng)密度矩陣測(cè)量圖[55];(d) 系統(tǒng)的相圖[55],紅色和黃色區(qū)域?qū)?yīng) PT 對(duì)稱相,藍(lán)色區(qū)域?qū)?yīng) PT 對(duì)稱破缺相Fig.3.(a) Schematic diagram of realizing PT symmetry in cold atom system[54];(b) schematic diagram of energy levels of ytterbium ion 1 71Yb+ for realizing PT symmetry in a single trapped ion system[55];(c) system density matrix measurement diagram[55];(d) the phase diagram of the system[55].The red and yellow areas correspond to the PT -symmetric phase,and the blue area corresponds to the PT -symmetry-broken phase.

5 光學(xué)系統(tǒng)中的 PT 反對(duì)稱

PT反對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)有很多奇特的性質(zhì),如連續(xù)譜激光[34]、光完全單向無反射傳播[33]、模式選擇的光放大[32]和散射中心決定的散射特性[40,41]等.2017 年,清華大學(xué)尤力、劉永椿課題組[31]提出了利用間接耗散耦合在光學(xué)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)PT反對(duì)稱哈密頓量的方法.2019 年,吉林大學(xué)張旭霖課題組、香港科技大學(xué)陳子亭課題組[37]利用該方法在波導(dǎo)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了光的手性傳輸.

圖4 (a) 耦合波導(dǎo)示意圖;(b) 耦合波導(dǎo)的截面示意圖,波導(dǎo) c 紅色部分表示存在較大耗散;(c),(d) 波導(dǎo)本征模式的特性;(e) 波導(dǎo)場(chǎng)強(qiáng)的特性;數(shù)據(jù)點(diǎn)是有限元模擬結(jié)果,實(shí)線是理論計(jì)算結(jié)果[31]Fig.4.(a) Schematic diagram of coupled waveguide;(b) cross section diagram of coupled waveguide,the red part of waveguide c indicates large dissipation;(c),(d) characteristics of waveguide eigenmodes;(e) property of waveguide field strength.Data points are finite element simulation results,and solid lines are theoretical calculation results[31].

PT相變過程會(huì)顯著改變系統(tǒng)的傳輸特性,利用演化算符U(z)=e-iHz可以得到在兩個(gè)相中的分束比例隨著光沿z方向傳播的變化:

時(shí)域的PT反對(duì)稱同樣可利用間接耦合在光學(xué)微腔(如圖6(a),(b))中進(jìn)行構(gòu)建.用來描述系統(tǒng)的狀態(tài),系統(tǒng)的演化方程可以寫成i?tΨ=HΨ,其中

圖5 波導(dǎo)內(nèi)的光場(chǎng)演化圖 [31] (a),(b) PT 對(duì)稱相和 PT 對(duì)稱破缺相的傳播特性,數(shù)據(jù)點(diǎn)是有限元模擬結(jié)果,實(shí)線是理論計(jì)算結(jié)果;(c) 傳統(tǒng)厄米系統(tǒng)和 PT 反對(duì)稱系統(tǒng)的光場(chǎng)分布對(duì)比圖;(d) 分束比例對(duì)波長(zhǎng)的依賴特性,紅色線是 PT 反對(duì)稱系統(tǒng),藍(lán)色線是傳統(tǒng)厄米系統(tǒng)Fig.5.Evolution diagram of light field in the waveguides[31]: (a) (b) The propagation characteristics of PT -symmetric phase and PT-symmetry-broken phase,respectively,the data points are the result of finite element simulation,and the solid lines are the result of theoretical calculation;(c) comparison diagram of light field distribution between traditional Hermitian system and anti-PTsymmetric system;(d) the dependence of beam splitting ratio on wavelength,the red line is the anti-P T -symmetric system,and the blue line is the traditional Hermitian system.

圖6 光學(xué)微腔構(gòu)型I (a)和構(gòu)型II (b)及相應(yīng)本征頻率在復(fù)平面上的演化(c)(d),數(shù)據(jù)點(diǎn)是有限元模擬結(jié)果,實(shí)線是理論計(jì)算結(jié)果 [31]Fig.6.Optical microcavity configuration I (a) and configuration II (b) and the corresponding eigenfrequencies on the complex plane.Data points are finite element simulation results,and solid lines are theoretical calculation results[31].

6 原子系統(tǒng)中的 PT 反對(duì)稱

2016 年,復(fù)旦大學(xué)肖艷紅課題組[38]在原子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了宇稱-時(shí)間反對(duì)稱的哈密頓量.在該研究中,利用原子的熱運(yùn)動(dòng)構(gòu)建了光學(xué)模式之間的耦合.如圖7(a)所示,實(shí)驗(yàn)在87Rb 原子氣室中進(jìn)行,溫度約為40 ℃.氣室的內(nèi)表面覆蓋著不破壞量子態(tài)相干的石蠟,這使原子能夠經(jīng)受數(shù)千次與壁的碰撞,而不會(huì)破壞其內(nèi)部量子態(tài).原子蒸汽室被封裝在一個(gè)四層屏蔽層內(nèi),從而屏蔽環(huán)境磁場(chǎng).在屏蔽層內(nèi)部,利用螺線管產(chǎn)生均勻的磁場(chǎng),該磁場(chǎng)可誘導(dǎo)一個(gè)塞曼位移δB到雙光子失諧上.利用半波片(HWP)和偏振分束器(PBS)將來自腔外半導(dǎo)體激光器(ECDL)的一束激光分為4 束.探測(cè)光和控制光(具有正交線性偏振)首先通過1/4 波片(QWP)重新組合并轉(zhuǎn)換為圓偏振,然后被引導(dǎo)到兩個(gè)相距1 cm 的光學(xué)通道(稱為Ch1 和Ch2).Ch1 和Ch2的能級(jí)結(jié)構(gòu)如圖7(b)所示,Ch1 和Ch2 中的右旋圓偏振控制場(chǎng)分別與躍遷|1〉→|3〉共振;而Ch1 和Ch2 中的左旋圓偏振控制場(chǎng)分別與躍遷|2〉→|3〉近似共振,但與共振頻率在相反方向上偏移了相同的大小|Δ0|,其中Δ0是探測(cè)光和控制光頻率之間的差值.Δ0利用聲光調(diào)制器產(chǎn)生,為了穩(wěn)定探測(cè)光和控制光之間的相位關(guān)系,所有聲光調(diào)制器都由彼此間相位固定不變的振蕩器驅(qū)動(dòng).在每個(gè)通道中,共同傳播的探針光和控制光構(gòu)建了 Λ 型EIT 效應(yīng),并產(chǎn)生了壽命約為100 ms的基態(tài)相干性.一個(gè)光通道中的光和原子相互作用,改變了原子的量子態(tài),然后該原子通過熱運(yùn)進(jìn)入另外一個(gè)光通道,與另一個(gè)通道的光相互作用,將之前通道內(nèi)的光的信息傳遞給這束光,從而實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)通道內(nèi)的光模式之間的間接耦合.兩個(gè)自旋波通過氣室中87Rb 原子的運(yùn)動(dòng)自然耦合,在一些特定的近似下,兩個(gè)集體自旋波激發(fā)的動(dòng)力學(xué)可以由以下非厄米哈密頓量Heff來描述:

圖7 (a) 通過熱 87Rb 蒸汽池中的快速原子相干傳輸,實(shí)現(xiàn) PT 反對(duì)稱 性的示意圖;(b) 兩個(gè)通道中的三能級(jí)Λ型EIT 構(gòu)型 [38]Fig.7.(a) Schematic diagram of realizing anti-P T -symmetry through fast atomic coherent transmission in hot 87Rb vapor cell;(b) three level Λ-type EIT configuration in two channels[38].

此 2×2 哈密頓量H滿足{PT,H}=0,為PT反對(duì)稱的哈密頓量.

該工作在實(shí)驗(yàn)上能觀察到了相變現(xiàn)象,在對(duì)稱相,兩個(gè)光模式的諧振峰位置完全重合;在對(duì)稱破缺相,兩個(gè)光模式的諧振峰位置劈裂.由于原子的量子態(tài)壽命較長(zhǎng),因此相變的觀測(cè)精度達(dá)到了1 Hz 級(jí)別.在此PT反對(duì)稱系統(tǒng)中,在體系對(duì)稱性破缺前,雖然兩束光經(jīng)過的介質(zhì)的折射率不同,但實(shí)現(xiàn)了無折射傳播.

7 基于非厄米奇異點(diǎn)的傳感

由于PT對(duì)稱與反對(duì)稱系統(tǒng)中存在非厄米奇異點(diǎn),因此在精密傳感領(lǐng)域有重要的應(yīng)用價(jià)值.在厄米系統(tǒng)中,微擾(|ε|?1)引起的本征譜的偏移或劈裂最多與微擾ε自身在一個(gè)階次上.對(duì)于N個(gè)模式合并所對(duì)應(yīng)的N階非厄米奇異點(diǎn),本征頻率分裂 Δω對(duì)外界微擾具有ε1/N的依賴關(guān)系.當(dāng)外界微擾|ε|?1 時(shí),與厄米系統(tǒng)相比,在非厄米系統(tǒng)的奇異點(diǎn)附近可以極大地提高對(duì)外界微擾的探測(cè)靈敏度.理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,二階非厄米奇異點(diǎn)可以增強(qiáng)諧振模式對(duì)外部擾動(dòng)的敏感性[56,57],而使用更高階非厄米奇異點(diǎn)在原則上可以進(jìn)一步提高系統(tǒng)對(duì)外界微擾響應(yīng)的靈敏度.

2017 年,美國(guó)Khajavikhan 課題組[58]利用耦合腔構(gòu)造了具有3 個(gè)模式的PT對(duì)稱系統(tǒng),實(shí)驗(yàn)證明了系統(tǒng)中存在高階非厄米奇異點(diǎn),且系統(tǒng)對(duì)外界微擾的響應(yīng)表現(xiàn)出對(duì)微擾強(qiáng)度的立方根特性.如圖8 所示,系統(tǒng)由3 個(gè)諧振腔組成: 增益腔和損耗腔被無增益和損耗的中性腔隔開,兩側(cè)的環(huán)形腔的增益和損耗強(qiáng)度相等,環(huán)形腔之間以相同的耦合強(qiáng)度交換能量.此PT對(duì)稱系統(tǒng)的模場(chǎng)的演化由如下方程決定:

圖8 (a) 3 個(gè)等距微環(huán)腔構(gòu)成的 PT 對(duì)稱系統(tǒng)示意圖,兩側(cè)的諧振腔具有平衡的增益和損耗,而中間的諧振腔是中性的;(b) 系統(tǒng)處于三階非厄米奇異點(diǎn)的激光模式的強(qiáng)度分布;(c) 相鄰激光譜線之間的分裂隨微擾強(qiáng)度 ε 的變化,數(shù)據(jù)點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果,實(shí)線是理論計(jì)算結(jié)果[58]Fig.8.(a) Schematic diagram of PT -symmetric system composed of three equidistant micro-ring cavities,the resonators on both sides have balanced gain and loss,while the resonators in the middle are neutral;(b) the intensity distribution of the laser mode with the system at the third-order non-Hermitian exception point;(c) splitting between adjacent laser spectral lines with perturbation intensity ε .Data points are experimental measurement results,and solid lines are theoretical calculation results[58].

其中,g和-g分別描述增益和損耗,ε為在增益環(huán)形腔上加的外界微擾.

當(dāng)系統(tǒng)不存在微擾時(shí)(ε=0 ),假設(shè)V對(duì)時(shí)間的依賴關(guān)系為,則系統(tǒng)本征頻率可以通過求解如下方程得到:

當(dāng)系統(tǒng)環(huán)形腔的增益和損耗強(qiáng)度g和環(huán)形腔之間的耦合強(qiáng)度κ滿足時(shí),系統(tǒng)的3 個(gè)本征頻率合并為相同的ωn=0,與此同時(shí),系統(tǒng)3 個(gè)本征矢量合并為相同的其中A0為歸一化常數(shù).此時(shí)系統(tǒng)處于三階非厄米奇異點(diǎn),當(dāng)系統(tǒng)受到微擾ε時(shí),系統(tǒng)的本征頻率頻率發(fā)生劈裂,該課題組求解得到了系統(tǒng)本征頻率對(duì)外界微擾依賴關(guān)系的近似解析表達(dá)式,并進(jìn)行了數(shù)值求解驗(yàn)證,在此基礎(chǔ)上,該課題組實(shí)驗(yàn)證明了系統(tǒng)相鄰本征頻率的劈裂與微擾強(qiáng)度之間具有三次方根的形式.這表明,與傳統(tǒng)的微腔傳感器相比,此系統(tǒng)對(duì)足夠小的微擾的探測(cè)靈敏度有極大提高.

盡管這些實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證明在奇異點(diǎn)處可以獲得劈裂增強(qiáng),但沒有仔細(xì)考慮噪聲的變化.之后的一些分析顯示奇異點(diǎn)附近的噪聲也得到了增強(qiáng),因此對(duì)于信噪比來說并沒有提高[59].目前,相關(guān)方面的研究仍然在進(jìn)行中,例如在文獻(xiàn) [60]中通過發(fā)展量子噪聲理論來計(jì)算奇異點(diǎn)傳感器的信噪比性能,利用量子Fisher 信息來確定信噪比的下限,結(jié)果表明奇異點(diǎn)傳感器是有可能改善信噪比的,在實(shí)驗(yàn)方面,基于奇異點(diǎn)探測(cè)器增強(qiáng)的Sagnac 效應(yīng)[61],基于六階奇異點(diǎn)PT對(duì)稱電路的靈敏度增強(qiáng)傳感[62],基于奇異點(diǎn)增強(qiáng)信噪比的加速度計(jì)[63]等實(shí)驗(yàn)也已經(jīng)實(shí)現(xiàn).

8 總結(jié)與展望

本文介紹了PT對(duì)稱和反對(duì)稱的基本物理原理,主要回顧了PT對(duì)稱和反對(duì)稱在光學(xué)系統(tǒng)和原子系統(tǒng)中的理論和實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn),并介紹了基于非厄米奇異點(diǎn)的精密傳感研究.在未來,關(guān)于PT對(duì)稱和反對(duì)稱的研究有望進(jìn)一步加深對(duì)相關(guān)基礎(chǔ)理論的理解,以及在多個(gè)領(lǐng)域獲得應(yīng)用.

在理論方面,盡管PT對(duì)稱量子力學(xué)的數(shù)學(xué)形式已經(jīng)比較完善,但大部分研究中只考慮了經(jīng)典區(qū)域,例如將經(jīng)典波動(dòng)方程寫成類似于薛定諤方程的形式.如果進(jìn)一步考慮更一般性的量子效應(yīng),有可能揭示更加豐富的物理.例如,由于PT對(duì)稱與反對(duì)稱系統(tǒng)中具有增益和耗散,這與量子漲落-耗散定理、量子噪聲等有本質(zhì)聯(lián)系,因此可以探索系統(tǒng)中的量子漲落和噪聲等[64,65].

PT對(duì)稱的相關(guān)變體也PT大的研究?jī)r(jià)值.例如,PT對(duì)稱中的操作可以被另一種空間操作(例如旋轉(zhuǎn))所取代[66,67].這將進(jìn)一步擴(kuò)展相關(guān)領(lǐng)域.此外,基于PT對(duì)稱啟發(fā)的對(duì)稱范式,如超對(duì)稱性、非厄米粒子-空穴對(duì)稱性[68]等也是一個(gè)重要的發(fā)展方向.例如,超對(duì)稱性可為設(shè)計(jì)光學(xué)結(jié)構(gòu)提供有效的工具[69],在光通信等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[70].不僅如此,近年來,在光學(xué)系統(tǒng)中非PT對(duì)稱復(fù)勢(shì)(即的研究也引起了關(guān)注,在這種情況下也可以保證哈密頓量具有實(shí)能譜[71-73],可以實(shí)現(xiàn)單向無反射的光傳輸[74],非局域孤子[75]等.

除了在理論方面的發(fā)展,在具體應(yīng)用方面,PT對(duì)稱的光子系統(tǒng)可能為未來集成光子學(xué)器件的實(shí)現(xiàn)提供一條新的途徑.實(shí)際應(yīng)用的物理器件不可避免地與環(huán)境有耦合導(dǎo)致耗散的存在,而PT對(duì)稱系統(tǒng)可以巧妙地設(shè)計(jì)增益模式,可以有效地補(bǔ)償損耗或者放大光脈沖,也可以設(shè)計(jì)高效可集成的新型光開關(guān)、單向非反射光學(xué)器件[11,12]、CPA 激光器[49]、聲子激光器[76]等新型器件.除了在光學(xué)系統(tǒng)中的應(yīng)用外,在原子系統(tǒng)中,利用PT對(duì)稱原理實(shí)現(xiàn)耦合調(diào)控,也為構(gòu)造新型光子器件和原子器件提供了新的思路.