復(fù)雜系統(tǒng)中的層次結(jié)構(gòu)提取與分析*

范開(kāi)宇 劉艷華 楊培才 吳吉哲 王革麗?

1) (大連市氣象局,大連 116001)

2) (中國(guó)科學(xué)院大氣物理研究所,中層大氣和全球環(huán)境探測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100029)

3) (黑龍江省氣象服務(wù)中心,哈爾濱 150036)

4) (蒙陰縣氣象局,蒙陰 276200)

氣候系統(tǒng)是一個(gè)非平穩(wěn)復(fù)雜系統(tǒng)的事實(shí)已經(jīng)得到了廣泛認(rèn)同,產(chǎn)生這種非平穩(wěn)性質(zhì)的根本原因在于氣候系統(tǒng)存在的層次結(jié)構(gòu),處于高層系統(tǒng)中的外強(qiáng)迫信號(hào)隨時(shí)間發(fā)生變化,造成了大氣運(yùn)動(dòng)的非平穩(wěn)現(xiàn)象.慢特征分析法可以從快變的非平穩(wěn)信號(hào)中提取慢變的外強(qiáng)迫信號(hào),并已應(yīng)用于氣候系統(tǒng)的歸因分析中.本文利用慢特征分析法提取改進(jìn)的Henon 映射模型構(gòu)造的非平穩(wěn)時(shí)間序列以及北京月平均氣溫的外強(qiáng)迫信號(hào),并且使用小波變換方法對(duì)外強(qiáng)迫信號(hào)的尺度特征及物理背景機(jī)理進(jìn)行分析.結(jié)果表明,氣候系統(tǒng)受到長(zhǎng)周期的外強(qiáng)迫信號(hào)與短周期外強(qiáng)迫信號(hào)的共同作用.同時(shí),長(zhǎng)周期的外強(qiáng)迫信號(hào)影響短周期外強(qiáng)迫信號(hào).該工作有助于理解氣候系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)特征.

1 引言

近些年,隨著氣候系統(tǒng)平穩(wěn)性的改變不斷被證實(shí),氣候系統(tǒng)是一個(gè)非平穩(wěn)復(fù)雜系統(tǒng)的事實(shí)已經(jīng)得到了廣泛的認(rèn)同[1-5].外強(qiáng)迫因子隨時(shí)間發(fā)生變化是導(dǎo)致氣候系統(tǒng)非平穩(wěn)性質(zhì)產(chǎn)生的根本原因.外強(qiáng)迫因子如何影響氣候系統(tǒng)一直受到科學(xué)家的關(guān)注.復(fù)雜系統(tǒng)的內(nèi)部一般都包含著層次結(jié)構(gòu),而這種非平穩(wěn)現(xiàn)象的發(fā)生正是由于層次結(jié)構(gòu)的存在[6-10].對(duì)氣候系統(tǒng)來(lái)說(shuō),處于高層系統(tǒng)的外強(qiáng)迫隨時(shí)間發(fā)生變化,在大氣運(yùn)動(dòng)中引發(fā)了非平穩(wěn)現(xiàn)象.所以,如何從氣候信息中提取出外強(qiáng)迫驅(qū)動(dòng)因子,并對(duì)提出的外強(qiáng)迫因子進(jìn)行分析,對(duì)提高人們對(duì)氣候過(guò)程本質(zhì)的認(rèn)識(shí)以及發(fā)展新的建模理論具有至關(guān)重要的意義.

慢特征分析法(slow feature analysis,SFA)是一種非監(jiān)督的學(xué)習(xí)方法,它起源于生物視覺(jué)領(lǐng)域,它能夠從給定的快變非平穩(wěn)序列中提取出緩慢變化的外強(qiáng)迫信號(hào).Konen 和Koch[11]通過(guò)一系列實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),SFA 方法提取出的信號(hào)分量只是一個(gè)單一的變化最慢的外強(qiáng)迫信號(hào),它可能包含了所有外強(qiáng)迫信號(hào)分量.潘昕濃等[12]通過(guò)構(gòu)建層次結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模型來(lái)測(cè)試SFA 方法提取外強(qiáng)迫信號(hào)的能力,取得了成功.對(duì)于SFA 方法的探索與應(yīng)用為理想非平穩(wěn)模型外強(qiáng)迫信號(hào)提取提供了新的方法手段,也為氣候系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)力物理機(jī)理的研究提供了新的方向.楊培才等[13]使用SFA 方法對(duì)北半球的月平均氣溫時(shí)間序列外強(qiáng)迫進(jìn)行了重建,利用小波變換技術(shù)分析了外強(qiáng)迫的尺度特征,并探究了背后的物理機(jī)理,推斷太陽(yáng)22 a 磁周期(the Hale cycle)和大西洋多年代際振蕩(atlantic multidecadal oscillation,AMO)的影響.王革麗等[14]利用SFA 方法對(duì)Arosa 臭氧觀(guān)測(cè)資料的外強(qiáng)迫進(jìn)行了提取,重建的外強(qiáng)迫信號(hào)的小波分析表明,存在著兩個(gè)明顯的周期,可能對(duì)應(yīng)著太陽(yáng)活動(dòng)和北大西洋濤動(dòng)(north atlantic oscillation,NAO),體現(xiàn)了太陽(yáng)與海洋活動(dòng)對(duì)臭氧濃度變化的顯著影響.

本文將在Henon 映射模型中加入具有層次結(jié)構(gòu)的外強(qiáng)迫信號(hào),構(gòu)造非平穩(wěn)復(fù)雜系統(tǒng)來(lái)測(cè)試SFA 方法的提取能力.并以北京月平均氣溫時(shí)間序列為例,利用SFA 方法,對(duì)其進(jìn)行外強(qiáng)迫的提取,結(jié)合小波變換對(duì)北京月平均氣溫時(shí)間序列外強(qiáng)迫的尺度結(jié)構(gòu)與可能存在的物理機(jī)理進(jìn)行分析,探尋其中的層次結(jié)構(gòu).

2 SFA 簡(jiǎn)介

SFA 是由Wiskott 和Sejnowski[15]提出的一種信號(hào)處理方法,它可以在一個(gè)已知的復(fù)雜多維時(shí)間序列中得到一個(gè)緩慢變化的信號(hào)分量.SFA 方法可以保證從一般的有限維度函數(shù)空間中獲取全局最優(yōu)解,并且在模擬的過(guò)程中,能夠依據(jù)原始信號(hào)的大小與尺寸對(duì)輸出結(jié)果進(jìn)行合理有效的調(diào)整[16].SFA 方法是在Packard 狀態(tài)空間重構(gòu)理論[17]與Takens 嵌入定理[18]的思想上建立的,經(jīng)過(guò)函數(shù)空間重構(gòu),再經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化、非線(xiàn)性擴(kuò)展、球化以及主分量分析等一系列處理,將原始信號(hào)向變化最慢的方向投射,得到的這個(gè)分量即可視為原始信號(hào)的外強(qiáng)迫信號(hào).下面對(duì)慢特征分析法的主要算法步驟進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹.

重構(gòu)后的序列長(zhǎng)度N=n-m+1 .

然后,利用(1)式中產(chǎn)生的一階項(xiàng)和二階項(xiàng)進(jìn)行非線(xiàn)性擴(kuò)展,得到一個(gè)k維的函數(shù)空間H(t) :

方便起見(jiàn),記為

進(jìn)行積分,求得輸出信號(hào):

(8)式中r與c均為常數(shù).選取最小的特征值λ,將對(duì)應(yīng)的權(quán)重向量w代入到(8)式中,即可得到原始信號(hào)最慢變的分量信號(hào),即外強(qiáng)迫信號(hào).由于在積分的過(guò)程中產(chǎn)生了常數(shù)r與c,所以通過(guò)SFA 方法獲取的外強(qiáng)迫信號(hào)與真實(shí)的外強(qiáng)迫相比,相差一個(gè)放大因子和平移因子.

3 模型實(shí)驗(yàn)

Henon 映射是一種可以產(chǎn)生混沌的動(dòng)態(tài)系統(tǒng),它僅包含一個(gè)非線(xiàn)性項(xiàng),因此它是高維非線(xiàn)性映射中最簡(jiǎn)單的映射[19].它的動(dòng)力學(xué)方程為

Henon 映射的收斂性只與參數(shù)a和b有關(guān),與初值無(wú)關(guān).最經(jīng)典的Henon 映射是令參數(shù)a=1.4,b=0.3,此時(shí)系統(tǒng)可進(jìn)入混沌狀態(tài).

Lyapunov 指數(shù)是用來(lái)判斷非線(xiàn)性系統(tǒng)存在混沌運(yùn)動(dòng)的特征數(shù)值之一,可以衡量系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性.當(dāng)系統(tǒng)存在一個(gè)Lyapunov 指數(shù)為正數(shù)時(shí),系統(tǒng)一定處于混沌狀態(tài),在實(shí)際應(yīng)用中,通常把最大Lyapunov 指數(shù)的正負(fù)作為判斷指標(biāo)[20,21].本文將最大Lyapunov 指數(shù)作為判斷系統(tǒng)模型是否處于混沌狀態(tài)的判據(jù).

利用正弦函數(shù),將小周期的正弦信號(hào)作為基頻信號(hào),將大周期的正弦信號(hào)作為調(diào)制信號(hào),構(gòu)造一個(gè)具有層次結(jié)構(gòu)的時(shí)變參數(shù),設(shè)置基頻信號(hào)

圖1 (a) 基頻信號(hào) { n(t)} ;(b) 調(diào)制信號(hào) { m(t)} ;(c) 時(shí)變參數(shù) { a(t)} (藍(lán)線(xiàn))與其調(diào)制信號(hào)(包絡(luò))M(紅線(xiàn))Fig.1.(a) Fundamental frequency signal { n(t)} ;(b) modulation signal { m(t)} ;(c) time-varying parameter{a(t)}(blue line) and its modulation signal (envelope) M (red line).

將{a(t)}作為外強(qiáng)迫信號(hào),并代入Henon 映射模型{y(t)}中[22]:

將時(shí)變參數(shù){a(t)}迭代10000 次得到序列記 為{s1(t)}t=1,2,···,10000,然后將{s1(t)}作為外強(qiáng)迫信號(hào)代入(13) 式中,迭代10000 次得到{y(t)}t=1,2,···,10000.選 取{y(t)}的第一 維序列{y1(t)}進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特征的判斷,經(jīng)計(jì)算{y1(t)}前600 步的最大Lyapunov 指數(shù)λ=0.3938,說(shuō)明{y1(t)}處于混沌狀態(tài).截取{y1(t)}后5000 個(gè)數(shù)據(jù)作為非平穩(wěn)時(shí)間序列模型進(jìn)行外強(qiáng)迫信號(hào)提取(圖2(b)),嵌入維數(shù)m=13,時(shí)滯系數(shù)τ=1,得到外強(qiáng)迫信號(hào){as1(t)}如圖2(c)所示.可以看到,外強(qiáng)迫信號(hào){as1(t)}是一個(gè)明顯的調(diào)幅信號(hào),其信號(hào)包絡(luò)即為調(diào)制信號(hào)M.將提取出的外強(qiáng)迫信號(hào){as1(t)}與真實(shí)外強(qiáng)迫信號(hào){s1(t)}進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)提取的{as1(t)}缺少一個(gè)放大因子,對(duì)其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理后再與真實(shí)外強(qiáng)迫信號(hào)進(jìn)行比較,二者變化趨勢(shì)具有較好的一致性,相關(guān)系數(shù)可以達(dá)到0.98(圖2(d)).

圖2 (a) 真實(shí)外強(qiáng)迫信號(hào) { s1(t)} ;(b) 非平穩(wěn)時(shí)間試驗(yàn)序 列 { y1(t)} ;(c) SFA 方法提 取得到 的外強(qiáng) 迫{as1(t)}(藍(lán)線(xiàn))及其包絡(luò) M(紅線(xiàn));(d) 外強(qiáng)迫 { as1(t)} (紅線(xiàn))及真實(shí)外強(qiáng)迫信號(hào) { s1(t)} (藍(lán)線(xiàn))比較Fig.2.(a) The true driving force signal { s1(t)} ;(b) the testing non-stationary time series { y1(t)} ;(c) the driving force signal extracted by SFA method { as1(t)} (blue line)and its modulation signal (envelope) M (red line);(d) the driving force signal extracted by SFA method{as1(t)}(red line) and the true driving force signal { s1(t)} (blue line).

從外強(qiáng)迫信號(hào)的提取實(shí)驗(yàn)中可以看到,利用快變信號(hào)作為基頻信號(hào),慢變信號(hào)作為調(diào)制信號(hào)生成具有層次結(jié)構(gòu)的外強(qiáng)迫信號(hào),將其加入到Henon映射模型中構(gòu)造非平穩(wěn)的混沌系統(tǒng).利用SFA 方法可以成功將外強(qiáng)迫信號(hào)提取出來(lái),提取出的外強(qiáng)迫信號(hào)層次結(jié)構(gòu)清晰完整,基頻信號(hào)和調(diào)頻信號(hào)與系統(tǒng)的外強(qiáng)迫初始信號(hào)一致.

4 氣溫時(shí)間序列的外強(qiáng)迫重建與分析

在前期的工作中,我們重建了北京月平均氣溫距平時(shí)間序列的外強(qiáng)迫信號(hào),測(cè)試了SFA 方法對(duì)嵌入維數(shù)選取的敏感性,結(jié)果表明,在一定范圍內(nèi)選取不同的嵌入維數(shù),提取得到的外強(qiáng)迫信號(hào)差別不大.并結(jié)合小波分析對(duì)外強(qiáng)迫信號(hào)所包含的周期、尺度特征進(jìn)行了討論[23].從外強(qiáng)迫信號(hào)的6 個(gè)特征尺度中,找到了與太陽(yáng)22 a 磁周期(the Hale cycle)、太陽(yáng)11 a 黑子周期(the Schwabe cycle)以及東太平洋赤道海區(qū)海表溫度周期對(duì)應(yīng)的尺度分量,并發(fā)現(xiàn)這些特征尺度間存在著諧波關(guān)系(如表1 所列).本文將在前期工作的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步對(duì)這些外強(qiáng)迫信號(hào)的尺度特征及可能的物理機(jī)理進(jìn)行深入分析,分析過(guò)程如圖3.

圖3 北京月平均氣溫外強(qiáng)迫信號(hào)的提取與分析流程圖Fig.3.Flow chart of extraction and analysis of driving force signal of monthly mean temperature of Beijing.

表1 北京月平均氣溫時(shí)間序列外強(qiáng)迫信號(hào)小波分析周期頻率及諧波關(guān)系Table 1. Periods and frequencies of the driving force signal of temperature extracted by SFA method of Beijing.

利用帶通濾波器,將各個(gè)尺度對(duì)應(yīng)的信號(hào)分量提取出來(lái),如圖4(a)—圖4(f)中黑色曲線(xiàn)所示,這些信號(hào)分量揭示了外強(qiáng)迫信號(hào)各個(gè)尺度在時(shí)域上的基本特征.從圖4 可以看到,除了S5和S6尺度分量外,其他尺度分量的振幅都受到調(diào)制信號(hào)的調(diào)制.因此,考慮利用正弦函數(shù)來(lái)繪制信號(hào)包絡(luò),恢復(fù)這些調(diào)制信號(hào),結(jié)果如圖4(a)—圖4(f)中藍(lán)色曲線(xiàn).這些調(diào)制信號(hào)的周期遠(yuǎn)比尺度分量自身的周期大得多,它們的相位變化反映出對(duì)應(yīng)尺度分量的能量變化.其中,尺度分量S2的調(diào)制信號(hào)可用正弦函數(shù)近似表示為

類(lèi)似于S2,尺度分量S3和S4的調(diào)制信號(hào)可以近似表示為

M3和M4這兩個(gè)調(diào)制信號(hào)反映了尺度分量S3和S4振幅在時(shí)域上的變化特征.在1986 年S3和S4的振幅達(dá)到最小,在1986 年前振幅減小,此后振幅增大.它們與S2振幅變化呈相反趨勢(shì).通過(guò)觀(guān)察,尺度分量S1同樣受到一個(gè)周期性的調(diào)制信號(hào)調(diào)制,這個(gè)調(diào)制信號(hào)可以近似表示為

從圖4(a)可以看出,尺度分量S1的振幅存在準(zhǔn)42 年周期振蕩,在1955,1976 和1997 這三個(gè)年份,振幅達(dá)到最大.在1965,1986 和2007 三個(gè)年份振幅達(dá)到最小.

圖4 (a)—(f)北京月平均氣溫外強(qiáng)迫信號(hào)特征尺度 S 1 — S 6 對(duì)應(yīng)的信號(hào)分量Fig.4.(a)—(f) Signal components corresponding to the characteristic scale S 1 — S 6 of the driving force signal of monthly mean temperature in Beijing.

尺度分量S5和S6的振幅較為穩(wěn)定,為固定常數(shù),M5=0.06,M6=0.075 .

利用以上調(diào)制信號(hào)M1—M6,我們嘗試對(duì)尺度分量S1—S6進(jìn)行擬合,并記為(n=1,2,···,6),具體表述如下:

模擬的尺度分量信號(hào)—如圖4(a)—(f)中的紅色曲線(xiàn).將模擬信號(hào)與實(shí)際尺度分量進(jìn)行比較,相關(guān)系數(shù)記為R,標(biāo)準(zhǔn)差之比記為Ds′/Ds,具體結(jié)果見(jiàn)表2 所列.

表2 模擬尺度分量 — 與真實(shí)尺度分量信號(hào) S 1 — S 6 比較Table 2. Comparison of analog scale component signal — and real scale component signal S 1 — S 6 .

表2 模擬尺度分量 — 與真實(shí)尺度分量信號(hào) S 1 — S 6 比較Table 2. Comparison of analog scale component signal — and real scale component signal S 1 — S 6 .

值得注意的是,在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)尺度分量S1的調(diào)制信號(hào)M1周期為42 a 左右,這與尺度分量S6的周期十分接近.通過(guò)對(duì)比觀(guān)察,發(fā)現(xiàn)M1與S6曲線(xiàn)變化趨勢(shì)基本一致,如圖5 所示.對(duì)二者進(jìn)行比較表明它們的相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.98.

圖5 尺度分量 S 6 (黑線(xiàn))與調(diào)制信號(hào) M 1 (紅線(xiàn))比較Fig.5.Comparison of scale component signal S 6 (black line) and modulated signal M 1 (red line).

將尺度分量S6作為尺度分量S1的調(diào)制信號(hào),對(duì)S1進(jìn)行擬合,結(jié)果如圖6 所示.圖6 中黑色曲線(xiàn)為尺度分量S1,藍(lán)色曲線(xiàn)為調(diào)制信號(hào),即尺度分量S6,紅色曲線(xiàn)為利用分量S6擬合的分量信號(hào),記為.表示為

圖6 利用尺 度分量 S 6 (藍(lán) 線(xiàn))來(lái)擬合 尺度分 量 S 1 (黑線(xiàn))得到結(jié)果 (紅線(xiàn))Fig.6.Use the scale component signal S 6 (blue line) to simulate the scale component signal S 1 (black line) to obtain the result (red line).

S1分量的物理背景被認(rèn)為是東太平洋赤道區(qū)海表溫度的周期變化,S6分量的物理背景被認(rèn)為是與太陽(yáng)黑子周期有關(guān),S6分量可以看作是S1分量的調(diào)制信號(hào),且二者共用作用北京月平均氣溫溫度時(shí)間序列,這樣的結(jié)果體現(xiàn)了氣候系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu),如圖7 所示.長(zhǎng)周期的外強(qiáng)迫信號(hào)與短周期外強(qiáng)迫信號(hào)共同作用于氣候系統(tǒng).同時(shí),長(zhǎng)周期的外強(qiáng)迫信號(hào)也影響短周期外強(qiáng)迫信號(hào).

圖7 氣候系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)示意圖Fig.7.Schematic diagram of the hierarchy of the climate system.

5 結(jié)論與展望

本文將具有層次結(jié)構(gòu)的外強(qiáng)迫信號(hào)加入Henon 映射模型中,構(gòu)造非平穩(wěn)復(fù)雜系統(tǒng)來(lái)測(cè)試SFA 方法的提取能力.并將北京月平均氣溫作為真實(shí)氣候要素時(shí)間序列進(jìn)行外強(qiáng)迫的提取和分析,結(jié)合小波變換技術(shù)對(duì)外強(qiáng)迫的尺度結(jié)構(gòu)與可能存在的物理機(jī)理進(jìn)行分析,探尋其中的層次結(jié)構(gòu),主要結(jié)論如下.

1)在Henon 映射模型外強(qiáng)迫提取實(shí)驗(yàn)中加入包含快變和慢變這樣具有層次結(jié)構(gòu)的外強(qiáng)迫信號(hào),SFA 方法可以從非平穩(wěn)的Henon 映射模型中提取出快變信號(hào),它的包絡(luò)表現(xiàn)為慢變信號(hào);提取出的外強(qiáng)迫信號(hào)與真實(shí)外強(qiáng)迫的相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.98.

2)在對(duì)北京月平均氣溫時(shí)間序列的外強(qiáng)迫信號(hào)提取實(shí)驗(yàn)中,通過(guò)利用小波變換技術(shù)分析發(fā)現(xiàn),北京月平均氣溫時(shí)間序列的外強(qiáng)迫信號(hào)存在6 個(gè)明顯的特征周期,可推斷其中的11.6 a,21.3 a 和42.7 a 周期代表了太陽(yáng)活動(dòng),3.2 a 周期代表了海洋活動(dòng),它們共同作用于氣候系統(tǒng).

3)利用正弦函數(shù)對(duì)外強(qiáng)迫信號(hào)6 個(gè)尺度分量進(jìn)行模擬表明,外強(qiáng)迫信號(hào)尺度分量的振幅受到調(diào)制信號(hào)的調(diào)制,調(diào)制信號(hào)的相位變化反映出對(duì)應(yīng)尺度分量的能量變化.其中,42 a 周期的尺度分量與3.2 a 周期尺度分量的調(diào)制信號(hào)具有較高的相似程度.利用42 a 周期的尺度分量作為調(diào)制信號(hào)對(duì)3.2 a周期的尺度分量進(jìn)行擬合,相關(guān)系數(shù)達(dá)0.588,可以揭示出氣候系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu).長(zhǎng)周期的外強(qiáng)迫信號(hào)與短周期外強(qiáng)迫信號(hào)共同作用于氣候系統(tǒng),同時(shí),長(zhǎng)周期的外強(qiáng)迫信號(hào)還在影響短周期外強(qiáng)迫信號(hào).

本文的工作有助于理解氣候系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)和驅(qū)動(dòng)成因,以及驅(qū)動(dòng)因子間復(fù)雜的相互作用.SFA 方法在實(shí)際應(yīng)用中,嵌入維數(shù)和時(shí)滯參數(shù)的選取還沒(méi)有一個(gè)普適方法.對(duì)于嵌入維數(shù)來(lái)說(shuō),可以通過(guò)敏感性實(shí)驗(yàn)來(lái)考察提取的效果.在一定范圍內(nèi),嵌入維數(shù)的選取對(duì)結(jié)果影響不大,還會(huì)增加計(jì)算時(shí)間,損耗序列長(zhǎng)度;對(duì)于時(shí)滯參數(shù)的選取,還需要更多的探索,目前只能依靠經(jīng)驗(yàn)和大量試探進(jìn)行選取.另外,在不同的時(shí)間尺度上,存在的耦合層次關(guān)系是否不同.特別是,如何結(jié)合氣候系統(tǒng)內(nèi)在物理機(jī)理的理解,進(jìn)一步探究氣候系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)特征以及影響因子之間的相互作用.這些問(wèn)題需要在今后的研究工作中繼續(xù)探索.