跳擴散市場環境下有紅利支付的商期權定價

程鵬翔，李志民，何瑞彬，侯婷婷

(安徽工程大學 數理與金融學院，安徽 蕪湖 241000)

目前全球金融市場中有著大量的金融衍生品，如何對金融衍生品合理定價一直以來都是一個重要問題。在傳統的布萊克-斯科爾斯期權定價模型中，通常會假設資產的價格服從Geometric-Brown運動，再運用偏微分方程方法或者鞅方法來對期權進行定價，得到歐式期權的解析定價公式[1]。杜雪樵等[2]通過對隨機微分方程進行解析，利用測度變化方法和鞅方法得到期權的解析定價表達式。隨著學者們的研究發現，模型中資產價格的波動項是服從尖峰厚尾分布的，同時標的資產價格存在著長記憶性。

由于期權中的資產價格在到期日之前并不平穩，會有波動和跳躍，因此研究帶跳過程的期權定價問題逐漸引起學者們的注意。Merton[8]通過研究正態跳擴散模型，給出了帶跳的歐式期權定價。錢曉松[9]利用偏微分方程方法將亞式期權的定價問題轉化為方程的求解問題。張凱華[10]給出了隨機紅利在服從跳過程情況下的三類期權定價公式。楊曉琳等[11]研究了跳擴散環境下的商期權定價問題。隨著金融衍生品定價問題的不斷完善，考慮資產支付紅利的情況也越來越多，紅利的支付在定價中不可忽視。彭勃等[12]研究了考慮股票支付紅利的跳擴散模型下歐式看漲期權定價。沙慶寶[13]推導出了在分數布朗運動中，股票支付紅利的最值期權的定價公式。

本文主要在楊曉琳[11]所研究內容的基礎上，對跳擴散模型進行擴展，提出分數跳擴散模型，并且股票存在紅利的支付，研究分數跳擴散模型下有紅利支付的商期權定價。

1 跳擴散模型下有紅利支付的商期權定價

商期權又稱為比率期權，它是以兩個資產的比率來做標的物的期權，與其他期權相比，商期權可推導出解析定價公式，這是商期權的獨特優勢。同時商期權是比率作為標的物的期權，因此具有名義價值，我們需要提前設定票面數量，與商期權價格相乘可以得到總的價格。

假設商期權中兩個資產價格服從：

(1)

式中,μi、qi、σi為常數，μi為資產的期望收益率，qi為紅利率，σi為波動率。B1(t)與B2(t)都為一維的布朗運動，且其相關系數為ρ；G1與G2為S1(t)和S2(t)發生跳躍時的跳躍比率，當跳躍發生時，S1(t)變為G1S1(t)，S2(t)變為G2S2(t)；w1(t)和w2(t)為兩個標的資產價格發生跳躍的次數。令w1(t)與w2(t)是服從跳躍強度為λi的Poison過程，即在區間(t,t+dt)上，標的資產價格發生跳躍的概率為λidt。

(2)

對上式從0到t進行積分可得式(2)，引理1得證。

(3)

(4)

(5)

從而有

(6)

故由上式可得

由以上證明可知定理1成立。

2 分數布朗運動下有紅利支付的商期權定價

本節中，我們考慮跳擴散過程中，當積分項為分數布朗運動的商期權定價問題。首先給出分數布朗運動的概念。若過程BH(t)是高斯過程，且滿足下列性質：

①E[BH(t)]=BH(0)=0,t>0,

那么稱此隨機過程BH(t)為分數布朗運動，其Hurst指數H∈(0,1)。

(7)

(8)

(9)

對式(9)從0到t進行積分可得到式(8)，即引理2得證。

(10)

(11)

注意到

I1-I2。

(12)

進一步進行整理可得，

(13)

從而由上式可以得到

由以上可以證明定理2成立。