充填作用下頂板底部單裂隙擴(kuò)展研究①

王春元，劉志祥，張雙俠

（中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，湖南 長沙 410083）

隨著工商業(yè)的快速發(fā)展，海底資源成為人類開發(fā)的目標(biāo)之一，而海底開采的主要挑戰(zhàn)是上部海水通過開采形成的巖體裂隙灌入，可能造成采礦事故。針對巖體中的裂隙擴(kuò)展，主要將其轉(zhuǎn)化為壓剪或拉剪應(yīng)力狀態(tài)下的擴(kuò)展進(jìn)行研究［1］，而對于更加復(fù)雜受力狀態(tài)下的裂隙起裂，多采用擴(kuò)展有限元等數(shù)值模擬方法進(jìn)行研究分析［2?7］。目前對于采動下頂板裂隙的擴(kuò)展過程鮮有研究，尤其是針對廢石充填的采場。基于此，本文通過分析頂板與充填體在頂板沉降過程中的不同力學(xué)作用狀態(tài)，將頂板與充填體的作用分為2個階段，第1階段，巖梁剛與充填體接觸尚未有力地傳遞或充填體對巖梁作用微小，此時巖梁底部裂隙短小，張開位移小，裂隙面兩側(cè)應(yīng)力對稱，通過巖梁內(nèi)應(yīng)力場特性分析，構(gòu)建力學(xué)模型1，得到起始裂隙的擴(kuò)展方向；第2階段，巖梁與充填體充分接觸，充填體阻礙巖梁沉降，此時裂隙張開位移增大，裂隙面應(yīng)力不對稱，分析構(gòu)建了裂隙發(fā)生轉(zhuǎn)向的臨界條件，得到了裂隙垂直擴(kuò)展長度與裂隙位置之間關(guān)系的模型2。最后為了說明所建模型的合理性，以三山島金礦新立礦區(qū)為研究背景，采用擴(kuò)展有限元法，分析了頂板底部單裂隙垂直擴(kuò)展長度和裂隙局部應(yīng)力場分布變化規(guī)律。

1 力學(xué)模型分析

充填體與頂板相互作用系統(tǒng)如圖1所示。為了簡化問題，本文首先提出以下假設(shè)：①假設(shè)在起始階段，充填在裂縫擴(kuò)展前剛與頂板接觸，尚沒有力的傳遞，此段時間前假設(shè)頂板未發(fā)生沉降，充填體完全接頂，忽略頂板自重；②頂板的斷裂為彈脆性斷裂，且斷裂服從最大周向應(yīng)力判據(jù)；③充填體如彈簧支撐為完全彈性體，不考慮充填體的塑性變形。因為礦體厚度相對于礦房長度較小，所構(gòu)建的充填開采幾何模型可以作為平面應(yīng)力來處理。

圖1 充填體與頂板巖梁作用實體圖

1.1 模型1

考慮到頂板兩端只允許頂板轉(zhuǎn)動，可將充填頂板模型簡化為簡支梁處理，由于起始充填體與頂板間沒有力的傳遞，充填對整個梁體變形作用微小，可不予考慮。此問題就簡化為彈性梁在均布荷載下的變形問題，如圖2所示。彈性力學(xué)理論［8］，可得：

圖2 無充填作用下頂梁受力簡圖

由式（1）可以得出，在長度遠(yuǎn)大于深度，即l?h時，彎曲應(yīng)力σx的第一項與同階大小，為主要應(yīng)力；切應(yīng)力τxy與同階應(yīng)力，為次要應(yīng)力，而σy和彎曲應(yīng)力σx的第二項均與q同階大小，為更次要應(yīng)力。與材料力學(xué)結(jié)果比較，忽略高階項，可得：

從式（2）可以看出，梁體內(nèi)的應(yīng)力既隨梁體跨度方向變化，又隨寬度方向變化。由工程經(jīng)驗可知，造成裂紋擴(kuò)展的主要是彎曲應(yīng)力σx，此外，裂隙的擴(kuò)展還與周圍應(yīng)力場分布密切相關(guān)。

考慮到裂隙起始一般處在梁體底部，裂隙尺寸相對巖梁可認(rèn)為足夠小，起始裂隙閉合，可認(rèn)為裂隙的存在對原場應(yīng)力影響很小，裂隙周邊拉伸和剪切應(yīng)力均勻分布，且裂隙兩側(cè)拉伸應(yīng)力大小相等，方向相反，因此可將裂隙周圍應(yīng)力場向裂隙面轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)換后的裂隙在拉剪組合應(yīng)力下擴(kuò)展。由于巖梁寬度遠(yuǎn)大于起始裂隙長度，可以將其視作無限大，建立裂隙擴(kuò)展模型（模型1）如圖3所示。

圖3 裂隙擴(kuò)展模型1

假設(shè)梁體內(nèi)的豎向應(yīng)力只與豎向坐標(biāo)有關(guān)，根據(jù)梁體內(nèi)的應(yīng)力分布已知，可將兩端的應(yīng)力向裂隙面切向和法向分解，分解公式如下：

式中α為裂隙面法向與x軸的夾角，，將其代入式（3），求得：

由于τyxcosβsinβ和τxycosβsinβ在裂隙面法向上大小相等、方向相反，相互抵消，即得：

由文獻(xiàn)［9］可知：

考慮到裂隙尺寸相對于巖體尺寸很小，根據(jù)經(jīng)典斷裂理論，裂紋尖端的周向應(yīng)力場表達(dá)式如下：根據(jù)最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則，即得：

當(dāng)θ＝±π時，（τrθ）θ＝±π≠0。

設(shè)θ＝θ0，滿足：

由式（9）可以看出，對于任意位置的微小裂隙，裂隙的擴(kuò)展角度不但與裂隙初始角度有關(guān)，還與應(yīng)力場分布有關(guān)。

將式（2）代入式（9），可得：

即當(dāng)裂隙長度微小，且處在梁體底部邊緣時，剪切應(yīng)力趨向于零，裂隙擴(kuò)展方向僅與初始裂隙角有關(guān)，而與應(yīng)力場大小和位置無關(guān)。當(dāng)β＝90°、θ0＝0時，裂隙垂直梁跨度方向，沿垂直巖梁中心層方向擴(kuò)展，即沿著垂直拉伸應(yīng)力方向擴(kuò)展。

1.2 模型2

考慮到巖梁沉降過程緩慢，與充填體發(fā)生緊密接觸，即充填反力阻礙巖梁沉降，此時巖梁仍向下沉降，因充填反力與頂板狀態(tài)有關(guān)，頂板的沉降曲線為非線性，下部充填反力荷載q′也應(yīng)非線性分布，在梁跨中部達(dá)到最大，此外，由材料力學(xué)知識可知，無充填體時，巖梁撓度曲線為三次冪函數(shù)分布，且應(yīng)滿足邊界條件，關(guān)于y軸對稱，考慮到在巖梁兩端上覆荷載主要由礦柱承擔(dān)，即巖梁兩端充填荷載應(yīng)為0，當(dāng)存在充填體作用時，由文獻(xiàn)［10］可知，此微分方程的一般解應(yīng)具有四階以上的導(dǎo)數(shù)，而此方程只能說明巖梁平衡狀態(tài)，無法描述巖梁緩慢沉降過程，故將巖梁位移假設(shè)為余弦函數(shù)分布，其表達(dá)式應(yīng)為：

式中k≥0，k與充填體參數(shù)有關(guān)，當(dāng)巖梁與充填體不發(fā)生接觸時，k＝0，建立力學(xué)模型如圖4所示。

圖4 充填作用下頂梁受力簡圖

充填體的存在相當(dāng)于對覆巖荷載在巖梁每一點處的彎矩進(jìn)行了削弱，因為巖梁沉降位移相比巖梁跨度較小，變形可認(rèn)為是小變形，巖梁為線彈性體，可以進(jìn)行載荷疊加，即等效載荷為：

采用材料力學(xué)的方法得到剪力和彎矩：

取梁厚度b＝1，計算慣性矩得：

計算矩形梁截面上距中心軸為y的橫線以外面積對中心軸的梁截面靜矩為：

計算任意梁截面上的正應(yīng)力σx和切應(yīng)力τxy為：

經(jīng)過整理，得：

巖梁剛發(fā)生沉降時，充填反力對巖梁的作用微小，可近似認(rèn)為充填反力不起作用，裂隙擴(kuò)展模型仍可采用模型1，但當(dāng)充填反力對巖梁的阻礙不可忽略時，裂隙已擴(kuò)展足夠長度，不可將其視為足夠小，此外，裂隙在拉剪組合應(yīng)力下已有一定的張開位移，裂隙面兩側(cè)所受荷載不對稱。

由模型1的推導(dǎo)分析可知，垂直裂隙的起始擴(kuò)展與應(yīng)力場和位置無關(guān)，當(dāng)巖梁發(fā)生沉降后，隨著裂隙張開位移增大，裂隙面兩側(cè)應(yīng)力分布不再對稱，裂隙擴(kuò)展方向?qū)l(fā)生變化，此時需建立非對稱荷載下的裂隙擴(kuò)展模型。由于此時裂隙長度不可忽略，裂隙面兩側(cè)應(yīng)力分布非均勻，需要從宏觀尺度建立模型進(jìn)行分析。

考慮到巖梁的對稱性，只對左側(cè)巖梁進(jìn)行分析。由于巖梁上裂隙的存在只對巖梁局部應(yīng)力場有影響，梁上離裂紋為W的兩截面上的外力相同，需將裂隙面左端荷載向裂隙左面簡化，裂隙面右端荷載向裂隙右面簡化，且考慮到裂隙面已有一定張開位移，需將左端彎矩和剪力向左側(cè)裂隙面簡化，右側(cè)彎矩向裂隙面右側(cè)簡化，分析非對稱荷載下的裂隙轉(zhuǎn)向的原因，建立的裂隙擴(kuò)展模型（模型2）如圖5所示。

圖5 裂隙擴(kuò)展模型2

左側(cè)面的應(yīng)力分布為：

右側(cè)面的應(yīng)力分布為：

由于巖梁沉降過程比較緩慢，可認(rèn)為覆巖荷載是逐漸增加的，將其視作準(zhǔn)靜力過程，對稱荷載下拉剪裂隙沿與拉應(yīng)力垂直方向擴(kuò)展，但當(dāng)覆巖荷載增加時，裂隙張開位移增大，裂隙面兩側(cè)荷載不再對稱，此時裂隙已有較大張開位移，控制裂隙方向的拉伸荷載在裂隙面兩側(cè)不對稱，對于左側(cè)巖梁，M2＞M1，即左側(cè)拉伸應(yīng)力大于右側(cè)，由荷載疊加原理可知，M2中與M1相等的部分造成裂隙繼續(xù)沿與垂直拉伸荷載方向擴(kuò)展，M2中大于M1的部分造成裂隙向拉伸荷載較大的一側(cè)轉(zhuǎn)向，考慮到裂隙在受力大于材料斷裂韌性后就有張開位移，而裂隙何時發(fā)生轉(zhuǎn)向是問題的關(guān)鍵，本文認(rèn)為當(dāng)裂隙兩側(cè)應(yīng)力差值造成的應(yīng)力強(qiáng)度因子剛好等于巖石斷裂韌性時，裂隙發(fā)生轉(zhuǎn)向，朝著拉伸應(yīng)力較大的一側(cè)偏轉(zhuǎn)。

非對稱荷載下單裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度計算公式為：

式中p－（τ），p＋（τ），q－（τ），q＋（τ）分別為裂隙面兩側(cè)的法向及切向荷載。

由于本文所建立的坐標(biāo)系y軸位于梁體中心，取裂隙面中心應(yīng)力并代入積分，得：

所以裂隙發(fā)生轉(zhuǎn)向的條件為：

其中：

考慮到巖梁跨度很長，高度很大，所取W使之離裂隙足夠遠(yuǎn)，認(rèn)為此處的應(yīng)力場不會受到裂隙的影響，此處，可認(rèn)為W為常數(shù)；k反映充填體剛度大小，k值越大，充填體剛度越大；Fσ為修正系數(shù)。

由式（26）可以看出，當(dāng)x絕對值較小，即巖梁中心附近時，裂隙擴(kuò)展長度越大，即裂隙垂直擴(kuò)展長度越大，x絕對值較大時，裂隙垂直擴(kuò)展長度越小。

2 數(shù)值模擬分析

以三山島金礦新立礦區(qū)為背景，選取巖梁長度80 m、寬度20 m，充填體高度25 m，兩側(cè)礦柱寬度10 m，初始裂隙長度2 m，上部荷載4 MPa，采用最大主應(yīng)力斷裂準(zhǔn)則，巖體抗拉強(qiáng)度取3.18 MPa，損傷演化以位移表示，即單元發(fā)生0.001 m位移時，即認(rèn)為斷裂，采用擴(kuò)展有限元法，研究左側(cè)離梁中心底部0 m，10 m，20 m處單裂隙擴(kuò)展規(guī)律。考慮到頂板沉降過程緩慢，采用靜力分析法，分析計算得到裂隙擴(kuò)展形態(tài)主應(yīng)力云圖如圖6所示。

圖6 擴(kuò)展有限元計算結(jié)果

從圖6可以看出，裂隙的存在和擴(kuò)展只對局部應(yīng)力場產(chǎn)生影響，而對整個巖梁區(qū)域應(yīng)力場影響微小。充填體的存在使巖梁受力狀態(tài)從橫力彎曲到兩向受壓狀態(tài)。此外，充填體剛度越大，壓縮量越小，巖梁沉降越小，裂隙越早尖滅。

以巖梁左端底部為坐標(biāo)原點、以巖梁寬度方向為y軸、以巖梁延伸方向為x軸正向建立局部坐標(biāo)系，采用插件提取裂隙的擴(kuò)展路徑如圖7所示。

圖7 不同位置處裂隙擴(kuò)展路徑

從圖7可以看出，處在梁體中心的裂隙，由于兩側(cè)應(yīng)力對稱，裂隙方向不發(fā)生改變，垂直中心層擴(kuò)展；不同位置的裂隙起始都發(fā)生垂直巖梁中心層方向的擴(kuò)展，且越遠(yuǎn)離巖梁方向，裂隙垂直擴(kuò)展長度越小，當(dāng)裂隙在40 m位置處時，裂隙垂直擴(kuò)展長度達(dá)到了8 m；當(dāng)裂隙在30 m位置處時，裂隙的垂直擴(kuò)展長度僅2.5 m。隨著裂隙張開位移增大，裂隙面右側(cè)應(yīng)力大于左側(cè)應(yīng)力，導(dǎo)致裂隙擴(kuò)展方向偏離原來方向，隨著張開位移繼續(xù)增大，兩側(cè)面應(yīng)力不均衡程度繼續(xù)增大，導(dǎo)致裂隙擴(kuò)展角度即與x軸夾角不斷減小，裂隙路徑越來越平緩。對于離含水層越近的頂板，離巖梁中心越近的裂隙，由于其張開位移大，垂直擴(kuò)展路徑長，更容易與含水層導(dǎo)通，對采場安全的威脅越大；對于遠(yuǎn)離巖梁中心的裂隙，當(dāng)頂板高度超過一定距離后，裂隙擴(kuò)展越加平緩，直至最后接近水平，對安全生產(chǎn)威脅小。

選取40 m處裂隙為研究對象，分析其在擴(kuò)展中的裂隙周邊局部應(yīng)力場變化，結(jié)果如圖8～9所示。

圖8 不同位置處裂隙擴(kuò)展路徑下的拉伸應(yīng)力

在起始階段，由于裂隙閉合或裂隙張開位移很小，裂隙面兩側(cè)水平應(yīng)力最大為4.061 MPa，拉伸應(yīng)力場幾乎對稱，剪切應(yīng)力場兩側(cè)存在不對稱；當(dāng)裂隙開始發(fā)生轉(zhuǎn)向，裂隙面局部區(qū)域右側(cè)拉伸應(yīng)力場明顯大于左側(cè)應(yīng)力場，而此時裂隙兩側(cè)剪切應(yīng)力場幾乎對稱，由此得出裂隙轉(zhuǎn)向主要由拉伸應(yīng)力場的不均勻分布造成；當(dāng)巖梁沉降，裂隙兩側(cè)拉伸應(yīng)力和剪切應(yīng)力強(qiáng)度因子小于材料斷裂韌度，裂隙停止擴(kuò)展。

圖9 不同位置處裂隙擴(kuò)展路徑下的剪切應(yīng)力

3 結(jié) 論

1）針對充填體與頂板作用下頂梁沉降過程中頂板裂隙擴(kuò)展進(jìn)行了較為系統(tǒng)地研究，考慮到起始狀態(tài)下，頂板尚未與充填體發(fā)生力的傳遞作用，此時任意位置的垂直裂隙都只沿著垂直巖梁中心層方向擴(kuò)展。

2）當(dāng)巖梁發(fā)生沉降，裂隙張開位移增大，裂隙面兩側(cè)應(yīng)力分布不對稱，當(dāng)裂隙面兩側(cè)應(yīng)力差造成的應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到材料斷裂韌性時，裂隙擴(kuò)展方向逐漸發(fā)生偏離，朝著拉伸應(yīng)力較大的方向偏轉(zhuǎn)；且離巖梁中心越近的裂隙，垂直擴(kuò)展長度越大；越遠(yuǎn)離巖梁中心的裂隙，垂直擴(kuò)展長度越小。

3）處在離巖梁中心20 m位置處的裂隙，垂直擴(kuò)展長度為8 m，處在離巖梁中心10 m位置處的裂隙，垂直擴(kuò)展長度僅2.5 m，處在巖梁中心的裂隙不發(fā)生偏轉(zhuǎn)。越接近巖梁中心的裂隙，垂直擴(kuò)展長度大，對水流的沿程阻力小，更容易發(fā)生突水。

4）在沉降過程中造成裂隙轉(zhuǎn)向的主要原因是拉伸應(yīng)力場的不均勻分布。