微分學于經濟學的應用

王程輝，賈松偉

(河南科技大學，河南 洛陽 471000)

微積分的引入是數學發展的里程碑。隨著我國經濟的發展，微積分在經濟學中的應用逐漸多了起來，也引起了人們的重視，另外微積分也是高等數學中的重要知識，在許多領域都有應用，經濟中也不例外[1]。

1 拉格朗日乘數法在經濟學中的應用

1.1 拉格朗日乘數法

區域D內，二元函數f(x,y)和φ(x,y)都有一階連續偏導數，求z=f(x,y)在D內滿足條件φ(x,y)=0極值就可以轉化為求拉格朗日函數L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)(λ是常數)的無條件極值的問題。

因此，在條件φ(x,y)=0下拉格朗日乘數法求函數z=f(x,y)的極值的運算步驟為：

①構造存在λ為某一常數的拉格朗日函數L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)；

求解x，y，λ其中x，y就是條件極值的可能極值點。

拉格朗日乘數法是可以運用到企業多個自變量和多個經濟條件一般情況下的，運算思路都是一樣的。拉格朗日乘數法運算出的結果只能給出特定函數取到極值的必要條件，再結合實際問題來選取得出的結果是否為極值點(或最值點)，因為這些問題都是經濟學中的實際問題，比如最大利潤、利潤最大化這種問題，因此拉格朗日乘數法是經濟優化問題的首要選擇方法[2]。

1.2 拉格朗日數乘法求解經濟最優化問題

制造商制造某種產品時需要勞動力和資本，假設它們分別用x1與x2代替。該產品的柯布-道格拉斯生產函數(單位：元)：

y=f(x1,x2)=1 200x13/5x22/5

如果生產廠家制造該產品所需的單位人工成本和單位資金成本分別為240元和480元，而該廠家對該產品的總投資為9.8萬元，那么資金應該如何分配才能最大化生產(條件極值問題)。

分析與求解：此情況為條件極值問題，分類為在條件240x1+480x2=98 000的約束下求y=f(x1,x2)的數學模型。

則拉格朗日函數為：

L(x1,x2,φ)=2 000x13/5x22/5+φ(96 000-240x1-480x2)L(x1,x2,φ)的偏導數滿足:

通過該方程組可求得唯一組解：

因此，當單位人工成本為240元，單位資本成本為80元時，制造商可以獲得的產量y=f(x1,x2)=185 585.47元即為最大產量。

2 多元函數微分法在經濟學中的應用

2.1 多元函數微分學相關理論

要知道的是，若函數f滿足f(P)≤f(P0)或者f(P)≥f(P0) 且沒約束條件，那么這個點P0就稱為f的極大(小)值點，討論時應該注意僅限制于定義域的內點，一般通過判斷函數f在特定點處的偏導數的值，即：fx(x0,y0)和fy(x0,y0)是否為零來判斷函數的穩定點，若都為零，則該點為f的穩定點，值得注意的是，上述過程得到的穩定點可能不是極值點[3]。

由上述得到穩定點后，再結合實際中所遇到經濟問題中的現實意義，選擇出決策變量的取值，再將上述過程中得到的穩定點和端點處的數值進行比較，最終得到適合的極值。

2.2 多產品壟斷利潤最大化問題求解

在經濟問題中有很多地方都需要用到最值問題，當材料有限時該如何獲得要求的最值顯得尤為重要，這時，偏導數的概念和性質就可以給我們一個簡單又科學的方法，從而解決經濟生產中的最優生產決策及相關問題。

某地區有個企業，生產x1和x2兩種產品，若這倆產品的需求函數是線性的，需求函數如下：

x1=130+4t1-3t2

x2=110-3t1+2t2

如果t1和t2表示產品x1與x2的單價，單位為元，則以上以矩陣形式表示：

用Cramer法則解得：

t1=2(130-x1)+3(110-x2)

t2=3(130-x1)+4(110-x2)

即這兩種產品的逆需求函數為：

t1=590-2x1-3x2

t2=830-3x1-4x2

值得了解的是，上述逆需求函數表明，當兩個產品相互替代時，一個產品的輸出在負的情況下代表另一個產品的逆需求函數。若一種產品(假設是x1)的產量上升，可能會導致這個產品x1價格回落，導致消費者對另一個產品x2的需求下降，使任何已知產品x2的產量對應的t2值同時下降。

假定該企業的這兩種產品的生產成本函數關系為：

R=16 200+13x1+19x2

則該企業生產銷售這兩種產品的所得利潤是:

w(x1,x2)=x1t1+x2t2-R

即：w(x1,x2)=-2x12-4x22-6x1x2+577x1+811x2-16 200

求一階條件：

用Cramer法則求得使企業利潤最大化的產品產量為：

由此可以計算出，最大利潤時產品單價(單位：元)：t1=301.49，t2=425.82

通過以上結果得出該企業的最大利潤(單位：元)：wmax=23 934.56

3 邊際分析在經濟學中的應用

3.1 邊際分析方法的引出

如果函數y=f(x)的導數存在于區間(a,b)中且連續存在，那么f′(x)稱為邊際函數，取某點x0∈(a,b)處的導數值f′(x0)作為邊際函數值。

產品的收益、利潤和成本等都可以用產量x來表示出相關的函數形式，分別記為R(x)，L(x)和C(x)。假設出售了所有的產品，顯然可以得出L(x)=R(x)-C(x)。把成本函數C(x)一階導函數叫作邊際成本函數MC(x)；同理，邊際收益和邊際利潤也是一樣的，分別記為MR(x)和ML(x)。

經濟學對邊際成本MC(x)的解釋是制造商必須為一種商品的每增加一個生產單位支付的成本。同理，邊際收益函數MR(x)可理解為一個廠商生產某種商品，每增加一個生產單位的收益。邊際利潤函數ML(x)可以理解為一個廠商生產某種商品，每增加一個單位所產生的利潤[4]。

3.2 邊際分析方法的現實化

根據實際成本函數中自變量的值，在實際經濟活動中必是自然數。比如臺燈、杯子等產量都是以自然數計量，因此，我們可以認為，在市場經濟的分析中，產出是一個離散量。這種情況下連續變量和離散變量，這兩種不同情況我們并沒有太大的區別。因此，它可以被認為是不斷變化的。

在市場發展經濟進行分析中，邊際分析的應用是一個不可或缺的。例如，邊際分析可以用來求解產品產量、生產成本、營銷利潤、生產效用、大眾消費、營銷收入、個人投資和儲蓄的最優策略匹配[5]。

3.3 實際應用與分析

案例：某地區有一家食品企業，需要在一個固定時間內生產一批食品。設x為產品的產量(單位：件)，生產這種食品所需的各種原材料的總成本函數是C(x)=0.8x2+80x+6 000,總收入函數是R(x)=0.6x2+160x(單位：萬元)。

使用邊際分析來解決這個問題:從上面的信息可以得到這個產品的利潤函數：

L(x)=R(x)-C(x)

=-0.2x2-80x-6 000

自變量x可視為連續自變量，求一階偏導：

邊際利潤函數(在x0點處)：

讓邊際成本等于0。得出x的值是200。為了使邊際收益變化率<邊際成本變化率，并將邊際成本變化率轉化為邊際函數:d2L=dx2=-0.4<0，因此滿足這一要求。當上述收入帶入時，最高利潤為2 000萬元。

上述研究過程是在無約束條件下可以進行的，在實際的經濟活動中，人們對該產品互補產品的替代品的需求與該產品價格等外部因素密切相關。在這些主要影響因素中，產品價格對銷量的影響較大，可以考慮。首先，假設企業擁有準確的數據，能夠得出產品價格和人們對其需求的關系，得到一個近似擬合函數x=15 000-2p2，其中x是該食品的需求，P就是其價格。

R(x)=x·P(x)

R′(x)=P(x)+x·P′(x)

邊際收益函數:

R′(x)=0時x=100，其經濟意義為:當產品的產量為100件時，邊際收益為0，這時產量等于人們需求，總收益最大[6]。

4 結束語

隨著社會的進步和經濟的發展,微積分應用于經濟學的范圍逐步增加，也引起了人們的重視。函數廣泛應用于自然科學、應用科學的分支，如天文學、生化學和經濟學，特別是電子產品的出現，更有利于這些應用的不斷發展，由于生產函數進行概念的產生和應用，繼解析幾何之后又產生了這樣一個新的數學分支——微積分，微積分在數學和其他領域的發展中起著重要的作用。可以說是繼歐幾里得幾何之后最偉大的數學發明。企業在實際的生產活動中，掌握了微積分等數學知識，才能更好地為企業的發展提供新思路，為社會發展提供更好的服務[7]。