用洛必達法則求參數取值范圍的方法

廣西防城港市北部灣高中（538000）覃寶鋒

在數學學習的過程中，學生往往對不等式中求參數的取值范圍的問題感到困難，但這類問題又是高考中常出現的題型。因此，我們很有必要去研究它。解決這類問題的通法是直接求導，然后對參數進行分類討論。然而，運用此法，有的學生可能會出現對參數討論不清或討論不全的情況。有一些學生會采用分離參數的方法，通過分離參數求函數的最值，進而求解，這種求解往往對判斷函數的單調性要求比較高，可能有些復雜，但一般都能得到結果。而有時用洛必達法則可輕松解決問題。

洛必達法則是高等數學的內容，運用洛必達法則要滿足以下條件。

［例1］已知函數f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)，

（1）當a=4時，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

（2）若當x＞1時，f(x)＞0，求a的取值范圍。

分析：根據已知條件，容易將參數a分離出來，接著構造函數g(x)，并對其進行求導，通過判斷其函數的單調性，求g(x)的極值。我們發現g(x)在x=1 處沒有意義，不能求出g(x)的極值，這時，可利用洛必達法則來求其極限值。

解：（1）略；

點評：在判斷函數的單調性時，我們不一定要對整個函數進行二次求導，可對其中的一部分求導。

［例3］已知函數(x)=(ax-2)ex-e(a-2)。

（1）討論f(x)的單調性；

（2）當x＞1時f(x) ＞0，求a的取值范圍。

解：（1）略。

點評：由上面的例子可知，求參數的取值范圍，都可以分離參數，通過判斷函數的單調性，運用洛必達法則進行求解。

［例4］已知函數f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0，其中a＞0。

（1）求a的值；

（2）若對任意的x∈[ 0,+∞)有f(x) ≤kx2成立，求實數k的取值范圍。

分析：對于第（2）問，可以將參數分離出來，通過判斷函數的單調性，觀察能否用洛必達法則進行求解。

解：（1）a=1，過程省略。

（2）由題意知，對任意的x∈[ 0,+∞)，當x=0時，f(x) ≤kx2恒成立，

（1）求曲線y=f(x)在點(π,f(π))處的切線方程；

（2）若x2f(x)+cosx≤mx2+1，求m的取值范圍。

分析：含有三角函數的求導，在判斷函數的單調性時顯得比較困難，可視為恒成立求參數范圍的問題，因此可通過分離參數進行求解。

解：（1）略。

（1）求f(x)的單調區間；

（2）若x2f(x) ≤m對任意x≥1恒成立，求m。

分析：第（2）問，學生若用直接法則要對m進行分類討論，會比較困難，因此可通過分離參數進行求解。

解：（1）略。

通過上述的例題可知，洛必達法則是解決未定式函數極值的一種非常有效的方法，但并不是所有的未定式函數極值都可以應用洛必達法則解決，如多次應用洛必達法則后，極值出現循環現象時，洛必達法則失效。

應用洛必達法則求極值，必須熟練掌握洛必達法則的結論，注意洛必達法則的條件要求，不能盲目地套用公式，以免出現解題錯誤。