由一道模擬題引發的探索與反思

江蘇江陰市璜塘中學（214407）陸琴花

基于數學學科核心素養的培養要求，近年的中考數學出現了不少創新試題。筆者結合教學實踐，以具有較高研究價值的幾何圖形試題為載體，引導學生探索，從而使其發現題目的內在聯系，掌握解題思路，提升解題能力。

一、題目呈現

如圖1 所示，在△ABC中，已知∠ABC=90°，且AB=6，BC=8，點M，N分別在邊AB，BC上，沿著直線MN把△ABC折疊，點B落在點P處，如果AP∥BC，且AP=4，那么BN= _________。

圖1

圖2

二、解法探索

這道題對大多數學生來說有一定的難度，這種難度不敢說可以難倒一大片，但會讓相當一部分學生丟分。這道題旨在考查學生的邏輯思維能力和空間想象能力，且在解題過程中對數學思維有一定的要求。下面我們分析解題思路的形成過程。如果把△ABC沿直線MN折疊，點B落在點P處，那么很顯然MN垂直平分BP，欲在Rt△BHN中求BN的長，只需知道sin∠BNH即可。又因為∠BNH=∠ABP，所 以sin∠BNH=sin∠ABP，得BN=。當然也可以用△BNH∽△PBA對應邊成比例得到BN的長。

解法1：如圖3，由AP平行且等于，再利用三角形中位線的性質及直角三角形斜邊中線的性質，延長CP，BA交于點K，連接BP交MN于H，易得CK=。又因為∠PBN=∠BCP，所以cos∠PBN=cos∠BCP，得BN=。

圖3

解法2：如圖4，把△ABC沿直線MN折疊，得出BN=PN和∠PBN=∠BPN，由AP∥BC得∠PBN=∠APB，所以∠BPN=∠APB，再利用角平分線性質定理，過B點作BE⊥PN，垂足為E，易得EP=AP=4，BE=AB=6。根據勾股定理及方程思想設BN=x，就能列出方程62+(x-4)2=x2，解 得x=，即BN=。

圖4

解法3：如圖5，把△ABC沿直線MN折疊得出BN=PN，將求BN的長轉化為求PN的長，這樣就可以利用直角三角形的勾股定理求解。過N作NF⊥AP，垂足為F，易得AF=BN，NF=AB=6，設BN=x，則PN=x，PF=x-4，由此可列出方程62+(x-4)2=x2，解得x=，即BN=。

圖5

解法4：把△ABC沿直線MN折疊，得出∠MPN=∠B=90°，構造三角形，同解法3 添加輔助線，過點N作NF⊥AP，垂足為F，得出△MAP∽△PFN，于是=，易得PM=，NF=6，得BN=。

在圖形運動類問題中，圖形翻折及其性質屬于高頻考點。從上述4 種解法可以看出，根據已知條件，通過聯想和類比能找到不同的解題思路。不管解題思路如何多元化，但是萬變不離其宗，都離不開圖形翻折的性質，即所得對應線段和對應角，其對應點連線被對稱軸平分。由此看來，這一類題的實質是幾何計算中求線段長度問題。

三、例題設計

以翻折為背景的中考題并不少見，“圖形變換置于三角形或四邊形”為常見命題形式，目的是考查翻折性質、全等三角形性質、勾股定理、相似三角形性質等，主要考查學生的觀察能力和分析能力。教師在教學中應突出活動探究環節，既要讓學生搞清楚圖形翻折的本質，又要讓學生理解數形之間的轉化，這才是增強學生解題能力的關鍵點。

（一）例題設計，看清圖形翻折本質

圖形翻折的本質有三點：①相互重合的點以折痕為對稱軸，連接兩重合點的線段被折痕垂直平分；②相互重合的線段是以折痕為對稱軸的對稱線段；③相互重合的部分是全等的，也是以折痕為對稱軸的。針對這三點，九年級數學復習可以進行有針對性的拓展訓練。

［例1］菱形ABCD的邊長是1，且∠B=45°，AE為BC邊上的高，現在把△ABE沿AE翻折，請根據以上所給條件畫圖。

這種逆向思維的出題方式，別具一格。這雖說是傳統意義上的一題多解，但它又不同于以往。教師應圍繞圖形翻折的本質進行教學，以此為核心和目標，使學生充分體會數學解題萬變不離其宗。通過這種訓練，不僅能開闊學生的視野，提高學生的創新能力，還能激發學生的學習興趣，改變學生的學習方式。

（二）數形結合，理解數形之間的轉化

在復習教學中，要抓住翻折題型的數形轉化，并且要指導學生以此為學習突破口，這其中的重點在于“數”和“形”。比如說軸對稱、全等、相似形等都是“翻折”中“形”的變化；而線段之間、角與角之間的數量關系則是“翻折”中“數”的變化，這其中的種種聯系，就是“翻折”中的“數形轉化”。針對這一點，筆者結合班情、學情設計例題。

［例2］矩形ABCD的邊AB=1，AD=2，把矩形ABCD折疊，讓折痕過點B，且與邊AD交于點M，點A翻折到點E，直線ME與邊BC交于點P。（1）當點M和點D重合，請求出PC的長；（2）在求PC長度時，發現MP=BP，隨著折痕移動，這兩線段之間的關系有什么變化？（3）假設AM=x，PC=y，請寫出x與y的函數關系式，并給出定義域。

數形轉化是翻折題型的“不變核心”，通過前面例子的一題多解，我們不難找到“數”與“形”之間的變化和聯系。值得注意的是，探索一題多解是一個具有趣味性的過程，教法不應死板，教師應該結合基本學情而設定，要以“趣”為引，“激情”導入，使學生在愉快的氛圍中養成“勤思考，多動腦”和“勤鍛煉，多動手”的良好學習習慣。

學生通過翻折題型的歸納總結，進一步了解了折痕對稱軸，明確了線段相等重合，知道了什么是角相等重合、什么是三角形全等重合。通過線段的數量關系，利用勾股定理和銳角三角形比例方程及相似比等，完成數形轉化，進行問題求解。

四、教學反思

不可否認，“一題多解”是數學學科的奇妙所在，尤其體現在幾何教學的過程當中。在一般情況下，通過一題多解，學生獲得的不僅僅是“多元化”數學思維，更多的是學習興趣及個人“滿足感”的獲得。從現實角度來看，當“知識”和“興趣”只能選擇某一方時，我們以情感需求為出發點，通常會不自覺地傾向于“興趣”。由此得出教學反思：相較于知識與能力的獲得，學生更傾向于情感態度與價值觀的獲取。

［例3］把A4 紙張ABCD，按照圖6 所示，依照順序折疊，使點A、點C恰好落在對角線BD上，得到菱形BEDF，若BC=6，那么AB的長是多少？

圖6

在此例教學中，教師若想嘗試用“一題多解”的教法，就得多層面、多角度、多維度地提出設想。但是，“一題多解”應建立在“因材施教”的基礎之上，這是要符合學生的基本學情的。一題多解的方法雖好，但并不代表一道題必須變著花樣地給出多種解答方法才算好。如果片面地追求“唯多是好”，則很容易弄巧成拙，違背教學規律和基本學情，使學生喪失學習的興趣。

解題時，可設DC=x，通過題意得知BD=2DC=2x，在直角三角形BDC中，(2x)2-x2=62，解得x=

由此得出結論，“一題多解”的核心不應該脫離本質，就像例3，不能脫離“圖形的折疊及性質”這個本質，教師必須讓學生知道它的考點在哪里、難點在哪里，然后根據考點和難點，系統復習勾股定理和二次根式的化簡等知識，繼而把代數與幾何融合學精學透。若有條件，且基本學情允許，教師可以引導學生嘗試一題多解。

總之，要使學生通過“多解”的過程，獲得思維創造上的快樂、個人滿足感以及強烈的數學自信心，以此調動學生學習數學的積極性，使學生在愉悅的學習環境中有效學習。

把一道題研究“精”、研究“透”，這可不是一件容易的事，而教學生把一道題研究“精”、研究“透”，更不是一件容易的事。教師在教學中應注重“授人以漁”而不是只在表面下功夫，對于一個數學問題，要教會學生根據“已知條件”不斷“探索研究未知”，即通過發散思維善于聯系、善于多角度地深入思考，以此獲得多種不同的解決途徑，同時也要提倡自主學習，要讓學生進行“我的發言”。要在喚醒學生學習興趣的同時，有效揭示知識“遷移”和“產生”的過程，繼而引人入勝，使學生大膽嘗試，這樣才能使學生暴露自己的思維過程，讓教師明白學生的見解，進而使教師更加了解學情，進一步給出具有針對性、有效性的建議和指導。