中考探究型試題的考向研究

廣西天峨縣中學（547300）付小玲

近幾年中考，考查學生動手操作能力的探究型試題在逐年增加。此類試題集動手操作與新知探究于一體，需要學生通過前期的觀察與分析，中期的操作、比較與猜想，后期的抽象與概括等，靈活運用課本知識與生活經驗解決問題。這類試題有利于培養學生的創新意識、直覺思維與綜合實踐能力。

一、利用圖形變換作圖

平面幾何圖形的變換主要包括平移、旋轉、軸對稱、位似等。利用平移作圖，就是把一個圖形沿規定的方向移動一定的距離，平移前后的兩個圖形全等，對應線段平行或在同一直線上，且圖形各部分所處的方位不變；利用旋轉作圖，就是把一個圖形繞一個固定點按順時針或逆時針轉動一定的角度，旋轉前后的兩個圖形全等，對應點連線的中垂線經過旋轉中心，每組對應點與旋轉中心連線的夾角都等于旋轉角；利用軸對稱作圖，就是把一個圖形沿一直線翻折，翻折前后的兩個圖形全等，對應點的連線被對稱軸垂直平分，對應線段或所在直線如果相交，交點在對稱軸上；利用位似作圖，就是把一個圖形按規定的比例放大或縮小，位似前后的兩個圖形相似，對應線段平行，對應點的連線經過位似中心。

［例1］如圖1，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(3,3)，B(-1,0)，C(4,0)。

（1）如果將△ABC平移，使點O與點A重合，那么平移后點C的對應點C1的坐標是多少？

（2）將△ABC以點B為中心逆時針旋轉90°，畫出所得的三角形。

（3）以點A為位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使S△ABC∶S△AB2C2=1∶4，在圖中畫出△AB2C2。

圖1

分析：（1）因為平移后點A與點O重合，點A的坐標為（3，3），點O的坐標為（0，0），所以點A需要向下平移3 個單位，再向左平移3 個單位。因為點C的坐標為（4，0），向下平移3 個單位，向左平移3個單位，得點C1的坐標為（1，-3）。

（2）直接利用旋轉的性質得出對應點位置，進而畫出圖形。如圖2 所示，△A′BC′即為所求，A′點的坐標為（-4，4）。

She heard a song full of feelings on the radio.（她從收音機里聽到了一首充滿感情的歌曲。）

（3）直接利用位似圖形面積比得出相似比為1∶2，即可得出對應點位置。如圖2 所示，△AB2C2即為所求。

圖2

評注：此類題型常需在網格中作圖，且有坐標系。在網格中作圖要充分利用網格的水平線和豎直線所指的方向，找到圖形變化后的對應點。一般圖形頂點為格點的，對應點也在格點上，作圖時要依靠關鍵點來控制圖形的形狀。

二、設計測量方案

對于過高或過寬的物體，或者有障礙物的物體，通常不能直接測量其高度或寬度，對此可以利用所學數學知識設計測量方案，根據易測出的數據算得所求物體的高度或寬度。其中，可利用的數學知識包括全等三角形、三角形的中位線、相似三角形、勾股定理及銳角三角函數。測量工具包括皮尺、測角器、平面鏡、標桿等。

［例2］為了測量某電線桿（如圖3）的高度，老師給學生準備了如下測量工具：皮尺、標桿、測角儀和平面鏡。其中測角儀是用來測量仰角、俯角的儀器。請根據你所設計的測量方案，回答下列問題：（1）請畫出你的測量方案示意圖，并寫出你所選用的測量工具；（2）根據示意圖，寫出你求電線桿高度的思路。

解析：（1）根據題意，測量方案示意圖如圖4 所示；選用的測量工具為高1.5 m的測角儀、皮尺。

圖3

圖4

（2）根據正切函數設計測量方案。先測得CA的長度，因為四邊形ACDE是矩形，可得DE=CA，AE=CD=1.5；根據正切函數求得BE，AB=BE+1.5，即CA（測角儀離電線桿的距離）=a，CD（測角儀的高）=1.5，∠BDE（測角儀測得的仰角）=α，

根據正切函數得tanα=，因為DE=CA=a，得BE=atanα，則AB=BE+AE=atanα+1.5，故電線桿高度為(atanα+1.5)米。

評注：本題構造的圖形是直角三角形和矩形，根據測得的仰角和水平距離，利用銳角三角函數求得電線桿的高度。本題選用正切設計方案是最好的選擇，因為構造的直角三角形的斜邊也無法測量，所以正弦與余弦都不能選擇。

三、按要求剪拼圖形

［例3］如圖5 所示，把一個三角形沿中位線剪切后，可以得到一個三角形和一個四邊形，這兩個圖形可以拼成平行四邊形，仿照上面的方法，完成下面的操作：（1）如圖6 所示的平行四邊形ABCD，把它剪成兩個圖形，使這兩個圖形可以拼成一個矩形，要求在圖中畫出剪切線；（2）如圖7 所示的梯形ABCD，把它剪成兩個圖形，使這兩個圖形能拼成一個平行四邊形，要求在圖中畫出剪切線。

圖5

圖6

圖7

解析：（1）因為有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以可以考慮通過作高得到一個直角，如圖8，過點A作AE⊥BC，垂足為E，再把△ABE剪切下來，移到△DCF的位置；

（2）因為梯形與平行四邊形的主要區別是：平行四邊形有兩組對邊分別平行，梯形只有一組對邊互相平行。因此，可以考慮作不平行對邊的平行線。如圖9，過AB的中點G作GF∥DC，再把△BGF剪開，然后旋轉到△AEG的位置即可。

評注：本題的剪切線表現出三種形態，分別是中位線、高、平行線。其實還有對角線、對邊中點的連線、過中心的直線等，它們都屬于一次剪切線，剪切線就是一條折線。本題第（1）小題剪切后得到的△ABE通過平移進行拼接；第（2）小題剪切后得到的△BGF通過旋轉進行拼接。當然拼接時也有借助軸對稱的。

圖8

圖9

四、通過函數圖像解決幾何問題

通過觀察函數圖像獲得信息，不僅可以解決實際生活問題，還可以提高學生分析問題和解決問題的能力。用函數圖像解決幾何問題時，要厘清圖像的含義，要有一定的識圖技能。

［例4］九（1）班的數學興趣小組正在探究這樣一個問題：如圖10，點D是上一動點，弦BC的長為8 cm，取線段BC的中點為點A，過點C作CF∥BD，點F是DA延長線與CF的交點。△DCF為等腰三角形時，線段BD的長度是多少？

興趣小組的學生發現，此問題不易通過直接推理計算解決，于是嘗試通過函數圖像研究此問題的答案。請將下面的探究過程補充完整：

圖10

（1）當點D在上移動時，線段BD的長不斷變化，小組學生分別測量線段BD，CD，FD的長度，得到下表的幾組對應值（單位：cm）。

①當點D為的中點 時，上 面表格中a的 值為多少？

②有學生說：“線段CF的長度不用測量就能得到答案。”這種說法對嗎？為什么？

（2）興趣小組的學生將線段BD的長度作為自變量x，把CD和FD的長度作為x的函數，標記為yCD和yFD，其中函數yFD的圖像（如圖11）興趣小組的學生已經畫出來了，你能在同一坐標系中畫出函數yCD的圖像嗎？

圖11

（3）在同一坐標系內根據需要繼續畫圖，結合圖像你能看出當△DCF為等腰三角形時，線段BD長度的近似值嗎？

分析：（1）①在同圓或等圓中，等弧所對的弦也相等，得a=5.0；②通過“角邊角”證明△BAD≌△CAF，可得BD=CF；（2）用描點法畫出函數yCD的圖像；（3）先畫出yCF的圖像，那么函數yCD，yFD，yCF的圖像彼此的交點的橫坐標就是BD的長度。

解：（1）①因為點D為的中點，所以由圓心角定理，得BD=CD=a=5.0；②因為點A是線段BC的中點，所以AB=AC，因為CF∥BD，根據“兩直線平行，內錯角相等”得∠F=∠BDA，因為∠BAD=∠CAF，得△BAD≌△CAF，所以BD=CF，所以這種說法正確。

（2）根據表格中BD、CD的每組對應值，描出相應的點，再用平滑的曲線畫出函數yCD的圖像（如圖12）。

圖12

圖13

（3）yCF的圖像如圖13 所示。△DCF為等腰三角形有以下三種情況：一是CD=FD，二是FD=CF，三是CF=CD。當CD=FD時，則函數yCD與yFD圖像的交點的橫坐標就是BD的長，由圖像可得BD=3.8；當FD=CF時，則函數yFD與yCF圖像的交點的橫坐標就是BD的長，由圖像可得BD=6.2；當CF=CD時，則函數yCD與yCF圖像的交點的橫坐標就是BD的長，由圖像可得BD=5.0。由圖像可得：BD的長度為3.8 cm或6.2 cm或5.0 cm時，△DCF為等腰三角形。

評注：本題解決幾何圖形問題的方法別具一格。本題既考查了等腰三角形的判定，又考查了函數圖像交點的意義，體現了數形結合思想。