基于三星時頻差的無源區間化定位測速*

吳圣蘭， 周 彪， 楊 樂

(1.江南大學 物聯網工程學院，蘇州 無錫 214122；2.坎特伯雷大學 電氣與計算機工程系，新西蘭 基督城 8024)

0 引 言

基于衛星的無源定位追蹤系統是通過導航或者衛星對地球坐標系下的非合作目標進行定位和導航的定位技術，被廣泛運用于探測和電子偵察，具有重要的應用前景[1]。

眾多定位方法中比較常見的是利用非合作目標所輻射出的信號時差(time difference of arrival,TDOA)與頻差(frequency difference of arrival,FDOA)進行聯合定位[1,2]。對于TDOA/FDOA定位的問題，傳統的無源定位系統主要是基于普通數值計算的狀態估計。文獻[3]利用加權最小二乘法得到目標位置與速度的初始值，使用泰勒級數展開將中間變量線性化，對位置和速度初始值進行校正。文獻[4]提出了一種基于加權最小二乘的閉式算法，對兩步加權最小二乘算法進行改進。針對閉式算法受噪聲影響較大的問題，文獻[5]建立了一種約束總體最小二乘模型，采用拉格朗日乘子法求解，均方誤差更低。

傳統的基于數值的無源定位方法可以實現單點定位，但在工程實際中，由于測量誤差較大、測量誤差分布等信息未知的問題，單點定位的結果往往無法保證其可靠程度，甚至可能出現無解的情況，如定位結果不滿足輻射源運動的先驗信息。區間計算的提出解決了數值分析中的確定性問題，同時也提供了計算結果的可信度。區間計算方法在參數估計領域應用廣泛，文獻[6]提出基于區間分析的牛頓迭代法用于求解非線性方程組，文獻[7]在存在有界誤差的條件下，針對非線性方程的參數估計提出了基于區間分析的集逆求解算法。

在上述背景下，本文創新地將區間分析理論應用于時頻差無源定位[8，9]。首先由先驗知識獲得一個初始的位置搜索區間，對其進行分割，并利用二分法進行求解。通過區間逼近、初篩等區間分析方法，利用迭代對其進行區間收縮，最后得到一個包含目標位置真實值的位置區間。

1 三星定位追蹤場景

無源定位系統使用位于地球同步軌道的衛星對地球表面的運動輻射源進行位置和速度估計，定位場景如圖1所示。在地心地固坐標系坐標系中，三個衛星基站s1,s2和s3組成定位系統，對輻射源u的信號到達衛星的TDOA和FDOA進行觀測。

圖1 地心地固坐標系下三衛星定位測速場景

綜上，將輻射源的位置從地心地固坐標系轉換到WGS—84大地坐標系可以減少待求未知量，其轉換關系為

(1)

式中h為輻射源的高程，本文場景下即為地球半徑常數；γ(φ)為輻射源所在的卯酉圈曲率半徑

(2)

式中re為WGS—84橢球的長半軸，e為第一偏心率。而輻射源的速度矢量從WGS—84坐標系到地心地固坐標系的轉換關系為

(3)

2 算法描述

地面輻射源u到基站si的真實距離為

r°i=‖u°-s°i‖,i=1,2,3

(4)

式中 ‖·‖為歐氏距離。設定基站s1為參考基站，輻射源u到基站si與到基站s1的信號會形成時頻差，真實時差和頻差分別為

(5)

i=2,3

(6)

式中c為信號在介質中的傳播速度，f0為載波的中心頻率，ρa,b為從a到b的單位向量。

在實際應用中，觀測到達信號的時差與頻差會存在誤差，由于誤差的概率分布獲取比較困難，而誤差界更容易得到，本文假定觀測的信號誤差為有界誤差[6，7]，則有

(7)

(8)

式中 [Δτ]和[Δf]分別為已知的時差和頻差觀測誤差界。

2.1 區間分析

由于區間計算的特殊性，根據式(5)和式(6)采用Chan等算法進行直接求解會導致結果區間過大無法采用，故本文采用以下三步進行位置和速度的精確區間求解：

1)按緯度方向對先驗區間劃分。根據先驗信息，可以確定輻射源的初始經緯區域[θ]=[[φ],[φ]]T。初始速度區間 []=[[vφ],[vφ]]T可以由位置估計的解區間和觀測基站的頻差關系得到。

2)使用二分法對區間時頻差線進行矩形離散化。以TDOA為例，將劃分的緯度線作為零點，通過在區間內取經度中點，使得TDOA逐步趨于緯度，從而得到近似解。如圖2所示，圖中淺灰色區域為位置初始區域，橫軸和縱軸分別表示為經度和緯度，具有寬度的深灰線表示帶有有界誤差的TDOA。圖中虛線則表示對初始位置區間的緯度進行劃分，利用二分法可以得到對應TDOA劃分的經度。

圖2 TDOA在緯度方向進行矩形離散化

多次二分法求解可以得到TDOA的離散點集，對應圖2中的黑點。區間逼近表現在圖2中則是由點集構成的方框，從圖2中可以看出,方框集合完全覆蓋了TDOA。從初始區間到方框的區間逼近，方法大大實現了區間的收斂。根據積分原理，劃分越密集，其區間逼近越接近。利用矩形區間近似表示TDOA或FDOA，對初始區域進行了收斂。

圖3 區間交疊運算后外接矩形，確定新的先驗信息

對相交的區域外接矩形，將該外接區間作為新的初始區間重新進行劃分，通過二分法求解后進行區間逼近與初篩，重復此過程，運算至外接矩形的寬度恒定不變。最后得到一個極小的區間，該區間作為最后的結果，誤差極小且必定包含真實值。

2.2 速度的初始區間估計

雖然本文將TDOA與FDOA的定位測速區間分析合并討論，在實際算法中卻存在先后順序。輻射源速度的初始區間根據區間分析后的位置解區間和頻差方程可以得到，根據式(3)速度的轉換關系可得

(9)

將上述轉換關系代入頻差方程(6)可得

(10)

其中

(11)

(12)

圖4給出了方法的流程。

圖4 區間化無源定位測速算法流程

本文從包含輻射源真實位置的初始區間開始，利用區間分析對輻射源的位置區間進行估計。根據頻差方程，由位置區間可以得到輻射源的初始速度區間，同樣利用區間分析法估計輻射源的速度區間。

3 仿真分析

為驗證本文利用區間分析實現對運動輻射源定位的可行性，獲取了衛星星歷數據進行仿真分析。地球表面的運動輻射源位置為{20°N,120°E}，其高程為0 km，正北方向和正東方向速度分別為70 m/s和90 m/s，位置的初始區域為{0°N～40°N,90°E～140°E}。

在位置區間分析中，假定TDOA的量測誤差為有界誤差且在誤差內服從均勻分布。實驗設置TDOA量測誤差界[Δτ]=[-500,500]ns，圖5給出了基于TDOA的區間分析算法的估計結果，并加以放大以顯示其細節。解區間的緯度寬度在0.10°左右，經度寬度在0.17°左右。由圖的放大過程，可以看出區間迭代的效果。

圖5 離散化的TDOA線進行區間交疊和迭代估計的輻射源位置區間

將得到輻射源的位置區間代入頻差方程得到速度的初始區間。同樣假定FDOA的量測誤差為有界誤差且服從均勻分布，設置FDOA的量測誤差界[Δf]=[-2,2]Hz。圖6給出了基于FDOA的區間分析算法的速度估計結果，解區間的緯向速度寬度在5 m/s左右，經向速度寬度在10 m/s左右。速度區間估計中輻射源的位置也是區間，所以速度結果的寬度較大。

圖6 離散化的FDOA線進行區間交疊和迭代后得到輻射源速度的估計結果

圖7描述了只考慮TDOA誤差的條件下，位置和速度的估計區間面積隨TDOA誤差界寬度的變化曲線。由圖可知，隨著TDOA誤差界寬度增大，輻射源的位置估計區間和速度估計區間同時增大。

圖7 TDOA誤差界寬度對估計區間外接矩形的面積影響

從TDOA/FDOA定位原理來講，輻射源的位置估計主要由TDOA觀測量得到，而輻射源的速度估計主要由FDOA觀測量得到。目前只存在TDOA誤差影響的情況下，輻射源的速度估計也受到了影響，其原因在于估計輻射源速度區間時，需要代入位置估計區間，速度估計受到位置估計的影響。

圖8描述了在輻射源位置確定，在只考慮FDOA誤差的情況下，其速度的估計區間面積隨FDOA誤差界寬度的變化曲線。由圖可見，隨FDOA誤差界寬度增大，輻射源的速度估計區間同時增大。

圖8 FDOA誤差界寬度對估計區間外接矩形的面積影響

根據區間分析原理，結果區間的大小反映了估計的可信度，隨著TDOA或FDOA誤差的增大，估計的輻射源位置與速度的區間面積也增大，符合區間分析原理。誤差較小時，估計的結果區間也較小，更加貼近真實值；誤差區間增大后，估計的結果區間也增大，雖然也包含真實值，但可信度相對不高。

4 結 論

在假設量測存在有界誤差的情況下，利用TDOA和FDOA的區間觀測量和衛星星歷提出了一種基于區間分析的定位算法，用于對已知高程的運動輻射源進行定位和測速，并得出必定包含輻射源的真實位置和速度的區間解。

算法首先根據時差的觀測量確定輻射源初始的位置區間，根據區間分析原理，利用區間逼近和初篩縮小初始區間，并采用迭代的方式將區間收斂至極接近輻射源的真實位置。根據收斂后的位置區間，通過頻差方程求得輻射源的初始速度區間，同樣利用區間分析對其進行收斂。最后得到的輻射源位置和速度區間結果寬度較小，接近真實值。

基于區間計算的定位追蹤框架所獲得的確定包含真實值的區間結果將使得多系統(包括不同量測體制)間的定位追蹤協作變得方便且高效。多系統所獲得的區間結果之間通過區間交疊便可以縮小目標狀態變量范圍，而后縮小的區間結果又可以作為先驗信息，通過區間逆向收縮運算進行量測區間的縮小；如此往復收縮迭代即可實現多系統間的無縫協同追蹤。據此，未來我們將區間計算理論應用在多系統協同領域展開深入研究。