基于格拉布斯準則的膛壓測試儀校準數據擬合方法*

郝旭娥， 沈大偉， 張艷兵， 黃福峰

(1.中北大學 電子測試技術重點實驗室，山西 太原 030051； 2.遼沈工業集團有限公司,遼寧 沈陽 110045)

0 引 言

火炮膛壓測試對檢驗火炮性能十分重要[1]。用靜態標定的測壓器由于高溫高壓等環境力的作用存在實測不準或測試精度不高等問題，于是采用環境因子的準靜態校準方法，對膛壓測試儀實施校準[2，3]，并對校準數據進行擬合來獲得靈敏度系數。靈敏度系數是通過對校準的數據擬合而來，所以選取數據擬合的方法至關重要。文獻[4]將校準數據用最小二乘(least square,LS)法擬合，但是其描述的系數矩陣是固定的，沒有考慮隨機誤差；文獻[5]將LS法與整體最小二乘(total LS,TLS)法擬合對比，并通過實驗證明TLS法的擬合精度更高，但是沒有考慮粗差的影響；在實際試驗中，人為、儀器以及環境的影響，不可避免的系數矩陣也含有誤差，甚至有一定量的粗差，為解決這些不足，本文提出了在TLS法的基礎上采用格拉布斯準則的算法。

1 模擬膛壓校準系統

1.1 校準系統的組成和原理

校準系統主要包含模擬膛壓發生器、標準測壓系統和高低溫試驗箱三大部分[6]，其示意圖如圖1所示。校準時先將測壓器放進模擬膛壓發生器內，接著經點火裝置點燃發射藥[7]，在模擬膛壓發生器的腔體內產生與火炮膛內相似的高溫、高壓環境，產生的壓力共同作用在標準壓力傳感器和被校準的測壓器上，然后二者同時采集信號，待信號記錄完畢，在計算機上讀出測壓器數據[8]。把多次校準的測壓器數據和標準測壓系統的數據進行處理，獲得被校準測壓器的工作直線方程。

圖1 火炮膛壓測試模擬環境因子的校準系統組成示意

1.2 基于上升沿校準數據的線性擬合

膛壓測試儀基于壓力曲線上升沿的校準過程是：選擇測壓器滿量程的95 %～100 %的壓力值作為校準點，分別在低溫(-40 ℃)、常溫和高溫(55 ℃)下各獲得10組有效數據[9]。在同一直角坐標系下，以標準測壓系統的平均壓力曲線為基準，逐點平移測壓器曲線，當二者具有最大的相關系數時，在曲線峰值壓力30 %～80 %壓力范圍內，對應取n對數據(y1,x1)，(y2,x2)，…，(yn,xn)[10]。在某溫度環境下重復10次校準試驗，把從10組壓力曲線中得到的所有的數據樣本進行線性擬合，從而獲得測壓器在該溫度下的工作直線方程[11,12]

y=ax+b

(1)

式中y為該測壓器某溫度下某數據點的壓力，MPa；a為該工作方程的靈敏度系數，MPa/bit;b為該工作方程的截距，MPa;x為某數據點的bit值。

2 本文算法

2.1 TLS法原理

TLS法考慮到數據在x，y兩個方向的觀測誤差，其誤差方程可寫為[13～15]

yi+vyi=a(xi+vxi)+b

(2)

其約束準則為

(3)

利用拉格朗日乘數法進行解算，則構成的目標函數為

2∑λi(yi+vyi-a(xi+vxi)-b)

(4)

式中λ為拉格朗日乘積因子，對式(4)中的各待估計量求偏導得

(5)

式中 帶小冒的量表示估計量。綜合式(5)可以得到

(6)

由式(6)可得參數b的估計公式為

(7)

(8)

式(8)可進一步簡化為

(9)

整理式(9)，可以得到

(10)

單位權方差的計算公式為

(11)

2.2 格拉布斯準則

對一組服從正態分布的數據x1,x2,x3,…,xn按大小順序排成順序統計量x(i)，然后利用式(12)計算標準偏差δ，利用式(13)計算g1和gn的格拉布斯值[16,17]

(12)

(13)

2.3 基于格拉布斯準則的TLS法

格拉布斯準則是對一組一維數據進行異常值判定，但本文的背景是一元線性擬合，是一組二維數據，所以本文先將數據進行預處理，再利用準則，其算法步驟如下：

1)利用TLS法擬合出待估參數a,b的值。

2)計算每個校準點到擬合工作直線的距離di

(14)

3)計算標準偏差δ

(15)

4)將服從正態分布的di的數據按從小到大的順序排列，并利用公式Gi=(di-)/δ計算G1和Gn。

5)查表獲取臨界值Gp(n)，一般取置信概率P=0.95，若G1≥Gn,且G1>Gp(n)，則d1為異常點，剔除；Gn≥G1,且Gn>Gp(n)，則dn為異常點，剔除；G1

6)利用TLS法計算待估參數的值。

3 校準數據與擬合結果分析

3.1 觀測數據僅含隨機誤差

以1#測壓器在低溫條件下10組壓力上升沿曲線中的數據(僅含隨機誤差)為樣本進行實驗，數據如表1所示，其殘差圖如圖2所示。

表1 1#測壓器校準數據

圖2 1#測壓器校準數據殘差

分別采用LS法、TLS法和本文提出的算法三種方法對實驗數據進行擬合，其擬合結果如表2所示。

表2 1#測壓器擬合結果

從表2可以看出,TLS法和本文算法的結果完全一樣，且單位權重誤差比LS法的小，這是因為當觀測數據僅存在隨機誤差時，采用格拉布斯準則對數據進行檢驗時，沒有異常值，所以擬合方法和TLS法一樣；基于Gauss-Markov模型的LS法僅對于觀測向量進行約束，要求觀測值殘差平方和最小，而基于EIV模型的TLS法對誤差中所有受誤差干擾的隨機變量進行約束，所以精度比LS法的高。

3.2 觀測數據包含隨機誤差和粗差

對2#測壓器在低溫條件下進行校準，其校準數據(有粗差)如表3所示,其殘差圖如圖3所示,分別用三種方法擬合的結果如表4所示。

表3 2#測壓器校準數據

圖3 2#測壓器校準數據殘差

表4 2#測壓器擬合結果

從表4可以看出,本文算法的擬合精度最高，單位權重誤差最小。這是因為當觀測數據不僅存在偶然誤差，也有粗差時，LS的平方差不能有效區別偶然誤差和粗差，對誤差的分配具有公平性，其平方差結果將嚴重受到粗差的干擾；而本文算法在TLS法改正系數陣的基礎上，利用準則還可以將有粗差的數據剔除掉，從而在一定程度上減弱了誤差的影響，提高了擬合精度，獲得了較好的擬合參數。

3.3 多組傳感器的校準數據擬合

分別對4只傳感器的數據進行擬合，來證實這一結論，其擬合結果如表5所示。

表5 三種方法擬合結果

表5中3#和5#的校準數據僅含偶然誤差，4#和6#兩組在偶然誤差的基礎上還有粗差，由表5可知,不管觀測數據有沒有粗差，本文提出的算法擬合精度最高，證實了該算法的可靠性。

4 結 論

本文針對膛壓測試儀模擬應用環境下的準靜態校準數據存在偶然誤差，甚至有異常數據的問題，提出了將Grubbs準則和TLS法相結合的算法，試驗結果表明:該算法提高了擬合數據的精度，獲得了較好的靈敏度系數，而且算法簡單實用，很適合在膛壓測試儀校準過程環境中使用。但本文提出的算法每次只能對一個粗差數據進行剔除，如何一次性篩選出所有異常值有待進一步研究。