非套利流動市場模型無條件穩定的單調性保持的向后Euler格式

紀建萍，劉長迎

（南京信息工程大學數學與統計學院，江蘇 南京 210044）

0 引言

基于“無風險套利”的假設，Bakstein和Howison[1-2]推廣了Black-Scholes模型，提出了一個具有固定波動率的非套利流動模型：

為便于對問題(1.1)-(1.4)的數值研究，本文考慮以下變量變換：

則原系統可以轉化為

初值條件和邊值條件分別為：

文獻[3]中基于非線性Black-Scholes方程對非套利市場模型建立差分格式并進行數值研究。本文首先將原模型轉化為一個正向的非線性擴散問題并對轉換的問題建立了隱式Euler格式，然后分析了期權Gamma的非負性、數值解的非負性和單調不減性，并證明了數值格式在無窮范數下的無條件穩定性，最后數值實驗驗證了本文的結論。

1 建立差分格式

是按行嚴格對角占優的，所以系數矩陣是非奇異矩陣，故差分格式（2.4）的解是存在唯一的。對（2.4）兩邊同時作用算子，則期權Gamma滿足：

3 數值實驗

圖1 步長h=1/100,k=1/20時的數值解曲面圖

圖2 步長h=1/10,k=1/200時不同時間層Gamma曲線圖