解析幾何運算策略的分析與選擇

廣東省佛山市順德區第一中學 魏 智

解析幾何向來是高考的必考題，且分值占比較大，而且對學生基本功與素養的要求較高。日常教學與備考向來重視解析幾何題的反復磨煉，總結模型，積累技巧，花費了很多時間與精力。然而事實是相當大的一部分學生在考試中仍然拿不到理想的分數。原因當然是多方面的，但其中重要一條是，考試的時候學生花相對多的時間去想“怎么算”，真正計算、寫步驟的時間不夠，以至于錯漏百出。那么怎樣才能減少想的時間，增加算與寫的時間呢？

實際上，我們可以將解析幾何題目當作一個小故事來看，有背景交代與情節發展。有的題目背景清晰，情節簡單，而有的題目背景繁雜、情節“跌宕起伏”或“一波三折”?？偨Y近年來各類高考的解析幾何解答題，不難發現如下特點：（1）情節簡單的題目相對較多（約占55%），情節相對豐富的約占45%；（2）全國卷多以簡單情節為主，地方卷多以復雜情節為主。一般而言，情節簡單的，主要工作在于翻譯符號語言、圖形語言，情節豐富的，主要工作在于分析故事情節，選擇運算路徑。

一、簡單情節的理解與翻譯

圖1

分析：直線l過點F（1，0），很容易設出其方程?！螼MA＝∠OMB，說明x軸是∠AMB的角平分線，則有直線MA與直線MB關于x軸對稱，進而有MA與MB的傾斜角互補，從而有MA與MB的斜率之和為零。

解析：當直線l與x軸重合時，∠OMA＝∠OMB＝0°。

當直線l與x軸垂直時，△AMF?△BMF，所以∠OMA＝∠OMB。

當直線l與x軸既不重合又不垂直時，設其方程為

思路二：要證∠OMA＝∠OMB，只需證直線MA與直線MB關于x軸對稱，只需證點A（x1，y1）關于x軸的對稱點A′（x1，－y1）在直線MB上，只需證kA′M＝kBM，

思路三：要證∠OMA＝∠OMB，只需證MA與MB的傾斜角互補，即證

本題是2018年高考全國Ⅰ卷理科第19題，非常具有典型性與代表性。此題背景為方程已知的橢圓，簡單清晰；情節簡單，過焦點的直線l與橢圓相交。按通性通法來看，此題會走“聯立方程＋消元＋韋達定理”的路子。計算量的大小，關鍵在于如何翻譯∠OMA＝∠OMB。由上可以看出，由角平線來翻譯最復雜，用對稱翻譯適中，用斜率來翻譯最簡潔。一般而言，情節簡明的題目，首先要做好翻譯工作，然后就是按部就班地進行計算。當然有的翻譯工作簡單，有的翻譯工作相對比較困難。

由于一般而言依照題目的表達方式去直接計算，往往計算量較大，抑或者題目沒有正面告訴怎么算，只是告訴要算什么。因此就需要解題者去做一個翻譯工作。所謂的翻譯就是將題目要算的東西轉換成一種恰當的相對簡潔的方式去計算，比如上述例題，題目只是讓證明兩個角相等，如何證明？就需要做另外的翻譯。

二、情節豐富時的分析與選擇

例2 過定點（6，0）的直線l與拋物線y2＝4x交于P，Q兩點．連接QF（F為拋物線的焦點）并延長交拋物線的準線于點R，當直線PR與拋物線相切時，求直線l的方程（見圖2）。

圖2

分析：此題背景簡單，為方程的已知的拋物線、過定點的直線。

但其情節較為復雜，將此小故事按情節發展解構可有：直線l→點P、Q→直線QF→點R→直線PR。

結局是PR與拋物線相切。理清情節以后，一般可以選擇的運算路徑有：①情節發展計算（順算）；②從結局倒推式計算（倒算）；③從中間選擇一處作為計算的起點。

解析：設直線l的方程為x＝my＋6（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）聯立直線與拋物線可得y2－4my－24＝0，于是y1＋y2＝4m，y1·y2＝－24。

代入（*）式可得x2＋x1＝13，所以有x1＝9，x2＝4或x1＝4，x2＝9。

所以直線PQ的方程為2x±y－12＝0。

對于情節較復雜的題，首先必須理清題目所講故事的來龍去脈，將前因后果的條理弄清楚。一般而言，可先選擇依照故事的情節來計算即順算（思路一）；當順算比較復雜或難以處理時，可考慮從情節的終點出發倒著算即倒算（思路二）；能力較高的同學經過分析亦可以從中間選擇一個節點開始計算（思路三）。不同的計算順序，計算細節、計算量有所不同。選擇計算順序后，不能一味地死算，需要注意計算細節的優化，如思路一中，直線PR與拋物線相切，可以用△＝0或者導數處理，明顯用△＝0處理會非常麻煩；思路二中，點R在直線QF上，可以用直線方程或者三點共線處理，顯然三點共線處理更清晰；思路三中，在得出x1x2＝36后，要能抓住其與前兩式的聯系，從而想到將二者相乘。

分析：本題背景簡單清晰，不過情節較為豐富，先理清題目情節，如下：點A→直線l→點B，垂線MH→BF⊥FH，∠MOA≤∠MAO，結局是直線l的斜率范圍。

可以設直線l的斜率為k（k≠0），將情節整理為：點A→直線l→點B→BF⊥FH→點H→垂線MH→點M→∠MOA≤∠MAO。

解析：設直線l的方程為y＝k（x－2）。

聯立直線與橢圓得（4k2＋3）x2－16k2x＋16k2－12＝0（△＞0）。

此題故事情節較為豐富，參與的幾何元素較多，各個角色的登場是有先后順序的。需要對情節進行較為明晰的梳理，認清內在邏輯，才能找到恰當的計算方法，不然盲目按照常規套路走，可能什么都算不出來。對能力較強的學生來說，可以很順利，對能力較弱的學生則比較困難，一般可以嘗試順序與倒序的路子。

三、結語

綜上所述，對背景清晰、情節簡單的題目一定要做好翻譯工作，翻譯得當題目才更有把握。對情節復雜的題目，先將題目的情節理清楚，一步一步看懂。先按題目的順序進行預估，可行就落實，覺得計算量大或節點不清，可嘗試換成倒序式的計算。當然解析幾何題作為傳統的中等難度題，本質上是綜合性的題目，是考查學生學科素養的重要板塊，所以要完成得漂亮需要較強的綜合能力，如運算能力、數形結合能力、邏輯推理能力等。本文的研究旨在為考生提供一個處理問題的一般思維與切入點，讓考生知道做圓錐曲線題要干什么，解題不再盲目，真正根據題目已知來解題，而不是記套路、記模式，依據經驗解題，從而真正在解題中培養與提升學科素養。